中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）21-0014-04

重視結(jié)構(gòu)不良問題的教學(xué)，既能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及解決新問題的能力.根據(jù)幾十年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和關(guān)鍵能力的有效載體.下面，筆者將結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勔恍w會(huì)和反思.

1" 結(jié)構(gòu)不良問題

在教學(xué)過程中，通過設(shè)計(jì)條件缺失、沒有明確解決方案或答案不唯一的結(jié)構(gòu)不良問題，可以充分考查學(xué)生的素養(yǎng)和能力，有效發(fā)揮考試的選拔功能.下面以河池市2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)第14題第一空為例進(jìn)行說明.

例1已知 agt;0 ，函數(shù)""，整理，得"

若曲線 y=f（x） 與直線 y=2 相交于 ^A，B 兩點(diǎn)，設(shè) A ，B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x₁，x₂ ，寫出 x₁，x₂ 與 Ψ_a 的一個(gè)關(guān)系式

解析 不妨設(shè) 012 ，則有 和 （204號(hào)

設(shè) ，因?yàn)?y=x 和 y= 都在 （0，+∞） 單調(diào)遞增，所以函數(shù) 在 （0，+∞） 單調(diào)遞增，如圖1.根據(jù)絕對(duì)值幾何意義得到函數(shù) f（x） 的圖象，如圖2，從圖2易得

通分，得 因?yàn)?x₂+x₁≠0 ，所以 a=x₁x₂

評(píng)注全市共27341份答卷，本題平均分僅為0.09，得分率僅為 4.59% ，由于是答案不唯一的結(jié)構(gòu)不良問題，所以能得分的答案較多，歸納起來有下列六種：

（1）

（2）

（3

（4 （5 （20

（6）x₁x₂=a.

仔細(xì)推敲這些答案可知：答案（1）僅淺層次地翻譯了題意；答案（2）能正確理解絕對(duì)值的代數(shù)意義；答案（3）體現(xiàn)了學(xué)生有約分化簡的思想；答案（4）顯示學(xué)生會(huì)用兩邊平方的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)；答案（5）由兩個(gè)等式分別解出兩個(gè)根再相加得到；答案（6）最為簡潔，既體現(xiàn)了學(xué)生扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，又展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.因此，答案（6）為最佳答案.

命題依據(jù)本題的命題依據(jù)是人教版高中數(shù)學(xué)必修一第92頁“探究與發(fā)現(xiàn)”專欄所介紹的方法：利用已知的兩個(gè)函數(shù)圖象通過疊加來研究新函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，并由圖象得出新函數(shù)的性質(zhì).本題函數(shù) 由正比例函數(shù) y=x 和反比例函數(shù) 相加得到，易知它在區(qū)間 （-∞） ，0）和 （0，+∞） 上單調(diào)遞增，直線 y=x 和 y 軸是它的兩條漸近線，圖象的每一支與 x 軸均有一個(gè)交點(diǎn)，因其圖象變化趨勢(shì)像斜寫的“八”字，所以把這個(gè)函數(shù)稱為“歪八函數(shù)”，其作為一個(gè)重要的函數(shù)模型，與對(duì)勾函數(shù)既有區(qū)別又有聯(lián)系.

這個(gè)新題型打破了常規(guī)的試題模式，從問題本身、解題方案到答案都具有較大的開放性.學(xué)生在解決這類問題時(shí)，需要充分調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)思維，靈活地從多角度進(jìn)行分析，提出解決問題的不同路徑，并最終選擇最佳的解決方案.這種結(jié)構(gòu)不良問題已然成為化知識(shí)為素養(yǎng)的教學(xué)催化劑[1].

2 結(jié)構(gòu)不良問題的教學(xué)反思

“立德樹人、服務(wù)選才和引導(dǎo)教學(xué)[2]”是新高考的三大核心功能.一線教師不應(yīng)墨守成規(guī)，而應(yīng)充分發(fā)揮新高考指揮棒的正向作用，不斷改進(jìn)課堂教學(xué)模式，精心設(shè)計(jì)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)積極滲透結(jié)構(gòu)不良問題，多方位培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決新問題的能力.然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，大部分教師對(duì)結(jié)構(gòu)不良問題沒有進(jìn)行深人研究，在講評(píng)試卷中的結(jié)構(gòu)不良問題時(shí)，多數(shù)教師只是輕描淡寫，這嚴(yán)重限制了學(xué)生靈活性、批判性、創(chuàng)新性等數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.根據(jù)結(jié)構(gòu)不良問題的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者提出以下幾點(diǎn)建議，與同行們交流，以期能共同提升.

2.1全面認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)不良問題的評(píng)價(jià)功能，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)深入發(fā)展

新高考評(píng)價(jià)體系指出：新高考既要考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，又要考查學(xué)生解決問題的能力，更要考查其創(chuàng)造性的探究能力.結(jié)構(gòu)不良試題是新時(shí)期高考改革的一個(gè)具象.教育部考試中心的任子朝等在《數(shù)學(xué)考試中的結(jié)構(gòu)不良問題研究》中指出：結(jié)構(gòu)不良問題具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等特點(diǎn)，解決過程能有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，幫助其多角度把握問題本質(zhì)，追尋知識(shí)背后的價(jià)值，形成跨學(xué)科綜合解決問題的關(guān)鍵能力[3」.例如，在完成“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教材內(nèi)容之后，教師可依據(jù)人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第92頁的“探究與發(fā)現(xiàn)”專欄中提到的“很多新函數(shù)是由熟悉的函數(shù)通過四則運(yùn)算得到的”，設(shè)計(jì)以下結(jié)構(gòu)不良問題，供學(xué)生課后進(jìn)行探究

例2由 四則運(yùn)算后能得到哪些函數(shù)？請(qǐng)各學(xué)習(xí)小組利用信息技術(shù)畫出這些函數(shù)的圖象，并嘗試將這些函數(shù)圖象進(jìn)行歸類，再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行深入系統(tǒng)地研究.

小結(jié)通過探究，學(xué)生不僅充分感受到探究學(xué)習(xí)的樂趣，還學(xué)會(huì)了研究新函數(shù)的方法，并在教師的引導(dǎo)下認(rèn)識(shí)了 Inx等函數(shù).

2.2 精心設(shè)計(jì)三類結(jié)構(gòu)不良問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度發(fā)展

“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑.通過“四基”學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能，還能理解數(shù)學(xué)的思想方法、積累解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，從而全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).結(jié)構(gòu)不良問題的研究則是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要手段，教師可精心設(shè)計(jì)以下三類結(jié)構(gòu)不良問題，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

類型1以重要數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，在重要知識(shí)的理解與運(yùn)用中設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問題，以夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)，不同函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)存在差異，為此在高一年級(jí)的授課中，教師可設(shè)計(jì)以下兩個(gè)題型.

問題1 函數(shù) lnx的零點(diǎn)為

問題2 已知 a∈R ，求函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 問題1是結(jié)構(gòu)良好問題，直接解出方程 的實(shí)數(shù)根為1，所以零點(diǎn)是1.問題 2中的 Ψ_a 未知，方程不能解，也不清楚函數(shù) 圖象是什么模樣，對(duì)學(xué)生而言，這類問題屬于條件不確定、目標(biāo)狀態(tài)和解法均未知的結(jié)構(gòu)不良問題

小結(jié)通過對(duì)問題2的探究，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的研究方法，還掌握了從漸近線等角度精確分析新函數(shù)圖象的技巧，并在解決問題的過程中提升了數(shù)學(xué)思維的靈活性、批判性和創(chuàng)新性.

類型2以數(shù)學(xué)思想方法為引領(lǐng)，在靈活運(yùn)用思想方法的過程中設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問題，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).中間變量法是解決比較大小問題的常用方法，但其往往具有模糊性和不確定性，給學(xué)生的解題帶來一定困難.為突破這一難點(diǎn)，在高一年級(jí)的授課中，教師講解完課本中以0或1作為中間變量的例題后，可通過設(shè)計(jì)下列結(jié)構(gòu)不良問題，幫助學(xué)生更好地掌握中間變量的概念

問題3 比較α=log3 三個(gè)數(shù)的大小

問題4 比較 a=log₂3，b=log₃4，c=log_ab 三個(gè)數(shù)的大小.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生通過分析尋找最佳中間變量并進(jìn)行比較.

解析問題3易知 ^{a，b，c} 都小于0，所以0不能作為中間變量.學(xué)生可以先大膽猜測(cè)中間變量為-1，再通過估算得出： -1a 最大.而對(duì)于 b 和 Ψ_c 的比較，需選取哪個(gè)數(shù)作為中間變量呢？學(xué)生可根據(jù)二分法進(jìn)一步猜測(cè)以 作為中間變量，經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證確實(shí)可行.同理，在問題4中，可輕松確定 α_a 與 b 的中間變量是

小結(jié)通過解決這兩個(gè)結(jié)構(gòu)不良問題，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到中間變量并非永遠(yuǎn)局限于0或1，需根據(jù)具體問題自主探索分析，找到恰當(dāng)?shù)闹虚g變量以輔助解決問題.此類練習(xí)不僅有助于提升學(xué)生的批判性思維能力和問題解決能力，還能加深他們對(duì)中間變量作用的理解。

類型3以數(shù)學(xué)情境為載體，在新情境中設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問題，提升學(xué)生的創(chuàng)新性探究能力.教育部考試中心在《中國高考評(píng)價(jià)體系說明》中指出：考查情境從學(xué)科知識(shí)化轉(zhuǎn)向真實(shí)情境化；試題條件從結(jié)構(gòu)良好轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)不良[4].不可否認(rèn)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)不良問題較為生疏，解決此類問題的能力有待提高，尤其是在面對(duì)新情境下的結(jié)構(gòu)不良問題時(shí)更是困難重重.教師在為學(xué)生提供真實(shí)情境和新問題時(shí)，需同步提供足夠的相關(guān)信息，幫助學(xué)生清晰理解問題的背景與上下文，這有助于學(xué)生更精準(zhǔn)地把握問題核心，從而更高效地解決問題.例如，在教學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三第七章第一節(jié)“條件概率與全概率公式”的密碼問題時(shí)，教師可先向?qū)W生介紹信息加密和密碼破譯等相關(guān)知識(shí)，待學(xué)生順利解決課本問題后，再讓其完成與密碼問題相關(guān)、情境新穎的結(jié)構(gòu)不良試題，以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

2.3 開展豐富開放的學(xué)習(xí)活動(dòng)，提高學(xué)生靈活創(chuàng)新的探究能力

結(jié)構(gòu)不良問題的研究與學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)息息相關(guān).學(xué)生解決結(jié)構(gòu)不良問題的能力并非一蹴而就，而是需要通過長期系統(tǒng)的培養(yǎng).教師可采用案例研究法、小組討論法、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)法、引導(dǎo)式發(fā)現(xiàn)法等方法，開展結(jié)構(gòu)不良問題的探究活動(dòng).例如，在完成人教版選擇性必修二第五章“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)后，教師可安排學(xué)生對(duì)課本第99頁的\"拓廣探索\"欄目進(jìn)行深入探究，并補(bǔ)充一個(gè)開放性問題：你能提出新的研究問題嗎？并試著解決它.本題以小組合作討論的形式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)研究，不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)三次函數(shù)圖象及性質(zhì)的深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其交流合作能力，更重要的是能激發(fā)其創(chuàng)新性地提出并解決數(shù)學(xué)問題。

3 結(jié)束語

結(jié)構(gòu)不良問題題型新穎，可研究的方向豐富，學(xué)生既可以從自身興趣愛好及已有經(jīng)驗(yàn)入手，也可以大膽開展全方位探究.這對(duì)學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以及鍛煉思維具有重要意義，且符合新高考從“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四個(gè)方面對(duì)學(xué)生知識(shí)、能力和素養(yǎng)目標(biāo)的全面評(píng)價(jià)要求.因此，在教學(xué)中，教師除了要引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、培養(yǎng)綜合運(yùn)用能力，還需通過多種途徑提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，并精心設(shè)計(jì)開放多樣的結(jié)構(gòu)不良問題，以培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，助力其增強(qiáng)應(yīng)對(duì)未來不確定性和挑戰(zhàn)的能力.

參考文獻(xiàn)：

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