中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）20-0060-03

尺規(guī)作圖是指用圓規(guī)和無刻度的直尺作圖.縱觀歷年全國各地中考試題，尺規(guī)作圖問題大致分為兩種：一種是已知作圖痕跡，要求學(xué)生據(jù)此說明作圖原理或進行計算證明；另一種是需要學(xué)生按要求作圖.筆者，說明教師應(yīng)如何幫助學(xué)生克服作圖障礙，提高學(xué)生分析和解決復(fù)雜尺規(guī)作圖問題的能力，從而促進其全面發(fā)展

1 問題呈現(xiàn)

如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

初步嘗試如圖1，已知扇形AOB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心 o 作一條直線，使扇形AOB的面積被這條直線平分

問題聯(lián)想 如圖2，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形.

問題再解 如圖3，已知扇形AOB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點 o 為圓心的圓弧，使扇形AOB的面積被這條圓弧平分。

2解法分析

本題是2022年揚州市中考數(shù)學(xué)第26題，是一道綜合性的尺規(guī)作圖問題.縱觀近幾年揚州市中考數(shù)學(xué)試題，對學(xué)生尺規(guī)作圖能力的考查大多數(shù)以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，通常用語言向?qū)W生描述某種尺規(guī)作圖的方法，同時給出作圖痕跡，要求學(xué)生據(jù)此判斷正確說法或通過計算解決問題

初步嘗試本題要求學(xué)生過圓心作一條直線，使已知扇形的面積被這條直線平分.如圖4所示，作∠AOB的平分線即可.

分析 為使過圓心的直線平分扇形的面積，結(jié)合扇形的面積公式，學(xué)生容易想到作∠AOB的平分線.“作已知角的平分線”是初中階段的五個基本尺規(guī)作圖之一，學(xué)生可以很輕松地完成本題

問題聯(lián)想本題要求學(xué)生作一個以MN 為斜邊的等腰直角三角形.如圖5所示，作線段MN的垂直平分線，垂足為 R 以點 R 為圓心，以RM為半徑畫弧，交線段MN的垂直平分線于點 P ，連接 PM，PN △PMN即為所求三角形

點評在解決此題時，學(xué)生剛開始可能會感到迷茫，但如果畫出目標(biāo)圖形 一個以線段MN為斜邊的等腰直角三角形，然后參照等腰三角形的性質(zhì)，可以得出直角三角形的直角頂點 P 一定在線段MN的垂直平分線上，最后利用等腰直角三角形的性質(zhì)，在MN的垂直平分線上截取 RP=RM. 此題看似簡單，但需要學(xué)生掌握線段垂直平分線的畫法，還要求學(xué)生熟練掌握等腰三角形的軸對稱性、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的特殊性質(zhì)等相關(guān)知識.如果學(xué)生對其中某一個知識點掌握不扎實，那么在作圖過程中可能會出現(xiàn)無從下手的感覺

問題再解本題要求學(xué)生用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點 o 為圓心的圓弧，使扇形AOB的面積被這條圓弧平分.如圖6所示，構(gòu)造以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形OBM，然后以 o 為圓心，OM的長為半徑畫弧，交OA于點 C ，交 OB 于點 D ，弧 CD 即為所求作的圓弧.

點評在解決此題的過程中，學(xué)生需首先畫出目標(biāo)圖形.結(jié)合扇形面積計算公式，學(xué)生易發(fā)現(xiàn)兩個扇形的圓心角相同，欲使所作扇形的面積為原來的一半，只能是半徑不同.通過計算可以得出，扇形AOB的半徑是所作扇形的半徑的 倍，由此可聯(lián)想到通過構(gòu)造等腰直角三角形解決問題

由此可以看出，本題不僅涉及等腰直角三角形的有關(guān)知識，而且還涉及扇形的面積公式、等腰直角三角形三邊關(guān)系等知識，對學(xué)生綜合能力的要求較高.在解決問題的過程中，通過對題目的綜合分析和理解，結(jié)合題目的鋪墊，學(xué)生不難完成尺規(guī)作圖.不論哪一種作圖方法，都需學(xué)生理解基本圖形的性質(zhì)，并借助基本圖形的性質(zhì)解決問題

3 解題反思

通過解決此題可以發(fā)現(xiàn)，為更好地完成尺規(guī)作圖問題，學(xué)生必須先明確直尺和圓規(guī)在作圖中所起到的作用.尺規(guī)作圖中的“直尺”是無刻度的直尺，它的作用只能是畫線段、射線和直線，因此直尺具有“保直”的功能.圓規(guī)最基本的用處則是作圓，但在尺規(guī)作圖題中，圓規(guī)除了作圓以外的另一個重要作用是度量，因此在尺規(guī)作圖中，圓規(guī)具有“保長”的功能.在理清直尺和圓規(guī)作用之后，學(xué)生還要熟練掌握五種基本尺規(guī)作圖的方法和原理，才能在獨自面對復(fù)雜尺規(guī)作圖問題胸有成竹

在解題過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確尺規(guī)作圖可以分為兩種，一種是五種基本尺規(guī)作圖，另一種是其他作圖，但五種基本尺規(guī)作圖是其他作圖的基礎(chǔ).為此，在學(xué)生解題的過程中，對于復(fù)雜的尺規(guī)作圖問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生先畫出目標(biāo)草圖，讓學(xué)生借助草圖分析各個量之間數(shù)量和位置關(guān)系，從而使學(xué)生更深入地理解問題.借助草圖，學(xué)生能夠準(zhǔn)確分析作圖的關(guān)鍵點性質(zhì)，然后利用五種基本尺規(guī)作圖畫圖并解決問題，從而提升學(xué)生的問題解決能力.

尺規(guī)作圖作為特殊的幾何問題，其解題方法也是解決幾何證明題的常用方法之一.在解決幾何證明或幾何計算問題時，學(xué)生需會從條件出發(fā)，去探索結(jié)論；也可倒推，從結(jié)論去反推條件，即執(zhí)果索因；還可以將條件和結(jié)論綜合起來，得出正確解法.這里的尺規(guī)作圖，便是從結(jié)論去反推條件，先畫出目標(biāo)圖形，再分析性質(zhì).因此，尺規(guī)作圖是幾何學(xué)習(xí)中不可或缺的內(nèi)容.隨著學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的不斷深入，他們所接觸到的基本圖形越來越多，每一個復(fù)雜圖形都是由若干個基本圖形構(gòu)成的，利用基本圖形的性質(zhì)分析問題和解決問題，是解決尺規(guī)作圖問題最基礎(chǔ)的方法，學(xué)生只有熟知常見基本圖形的性質(zhì)和判定，才能分析出關(guān)鍵點的位置，進而正確作圖

4教學(xué)啟示

4.1 立足教材，重視尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出的初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的重要內(nèi)容之一.尺規(guī)作圖被分散編排在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，這樣的編排便于學(xué)生掌握尺規(guī)作圖基礎(chǔ)知識，還能較好地將尺規(guī)作圖和理論依據(jù)聯(lián)系起來，讓學(xué)生不僅知其然，還能知其所以然.但在實際教學(xué)過程中，大多數(shù)教師對于尺規(guī)作圖教學(xué)并不重視，課堂教學(xué)浮于表面，教師只是帶著學(xué)生將課本上的作圖過程重復(fù)一遍，讓學(xué)生會作圖便結(jié)束了尺規(guī)作圖教學(xué).這種情況下，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)教師不重視尺規(guī)作圖，從而自己在心理上對尺規(guī)作圖產(chǎn)生輕視.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須足夠重視尺規(guī)作圖教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生理解尺規(guī)作圖的原理與依據(jù)，這樣才能提高學(xué)生的作圖能力.為了幫助學(xué)生更好地理解作圖原理，教師應(yīng)立足課本，不但要求學(xué)生能夠作出圖形，而且要能夠說出或?qū)懗鐾暾淖鲌D步驟

4.2 重視思維，加強作圖理解

在尺規(guī)作圖教學(xué)中，教師要求學(xué)生能夠說出或?qū)懗鐾暾淖鲌D步驟，并不是要求學(xué)生死記硬背課本內(nèi)容.《課程標(biāo)準(zhǔn)》多次強調(diào)，要讓學(xué)生了解尺規(guī)作圖的操作過程，理解作圖的基本原理和本質(zhì).數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)學(xué)生思維的學(xué)科，在尺規(guī)作圖教學(xué)中，如果按照作圖步驟生搬硬套，會讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥無味，無法有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果.筆者認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需帶領(lǐng)學(xué)生感悟知識之間的相互聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的連貫性和完整性，體會數(shù)學(xué)知識的生長和積累.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維需要借助數(shù)學(xué)知識來培養(yǎng).在尺規(guī)作圖學(xué)習(xí)中，學(xué)生對作圖的步驟理解不夠，這恰恰是教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的絕佳機會.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，讓學(xué)生自主串聯(lián)所學(xué)知識，深入發(fā)掘課本中介紹的作圖依據(jù)，并以此作為依據(jù)和出發(fā)點，用幾何語言對尺規(guī)作圖依據(jù)進行說理和證明，加強訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

4.3 提高素養(yǎng)，學(xué)會綜合思考

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，復(fù)雜的尺規(guī)作圖題一直是學(xué)生避之不及的問題.究其原因，學(xué)生沒有真正理解尺規(guī)作圖問題，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有待提升，因而不能有效解決問題.為培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞膶W(xué)生，教師發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要幫助學(xué)生理解所學(xué)知識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這些素養(yǎng)包括知識、技能、思維方式、情感態(tài)度、價值觀念和行為習(xí)慣數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，需要在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，通過學(xué)生獨立思考及與他人互相交流，最終需要他們自己“悟”出來，這是一個逐漸培養(yǎng)的過程，涉及學(xué)生的思維習(xí)慣和思想方法的培養(yǎng).只有具備良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，學(xué)生才能較快地提取題目中的關(guān)鍵條件，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和基本技能解決較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.故此，在日常的教學(xué)中，教師要重視學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，從而提升學(xué)生的問題解決能力

5 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生獲取知識的過程是一個循序漸進的過程.作為一名初中數(shù)學(xué)教師，在尺規(guī)作圖教學(xué)中不能急于求成，不應(yīng)該只是簡單地講授和學(xué)生機械地模仿，而是應(yīng)該幫助學(xué)生建立尺規(guī)作圖知識網(wǎng)絡(luò)，幫助學(xué)生理清知識之間的脈絡(luò)[2]，讓學(xué)生知道為什么要這樣作圖以及作圖的依據(jù)，理清作圖的來龍去脈，培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展的數(shù)學(xué)眼光去看待所學(xué)數(shù)學(xué)知識.此外，初中數(shù)學(xué)教學(xué)更重要的目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生能夠靈活運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、作圖基本方法以及數(shù)學(xué)基本思想解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的問題解決能力，

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2022.

[2］李卓，代紫涵.落實新課標(biāo)對尺規(guī)作圖的新要求：對初中數(shù)學(xué)教材中尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容修訂的若干思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2023（12）：19-21.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]