☉甘肅省蘭州市第十中學 溫慶峰

題目已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，求點M的軌跡方程.

解析：如圖1所示，設動點M（x，y），連結MO，MA，有：|MA|=

化簡得：x2+y2+2x-3=0，

圖1

則方程（1）即為所求點M的軌跡方程，它表示以C（-1，0）為圓心，2為半徑的圓.

這是人教A版高中數學必修2（P124 B組，3題）的一道習題，若對教材進行二次開發(fā)，從系統(tǒng)的高度切入，可以進行從特殊到一般的推廣探究，還可以分析挖掘出這道題的幾何背景，題中所求出的圓，我們習慣上稱這種圓為“阿波羅尼斯”圓.“阿波羅尼斯”圓不僅是具有數學文化的探究素材，而且在高考中以它為背景的考題也經常出現.

背景展示：阿波羅尼斯（Apolloning，約公元前260～170），是古希臘著名的數學家，與歐幾里得、阿基米德一起被稱為亞歷山大時期的數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.

將上面的習題推廣到一般形式，這就是人教A版高中數學必修2（P144 B組，2題）的一道復習參考題.

推廣：已知點M（x，y）與兩個定點M1，M2距離的比是一個正數m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（考慮m=1和m≠1兩種情形）.

解析：以線段M1M2所在的直線為x軸，線段M1M2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，設M1（-a，0），M2（a，0）（a＞0）.

化 簡得：（1-m2）x2+（1-m2）y2+2a（1+m2）x+（1-m2）a2=0，（1）

①當m=1時，方程為x=0，圖形是直線x=0，也就是線段M1M2的垂直平分線（定義這樣的直線為阿波羅直線）；

幾何畫板探究：如圖2所示，即得軌跡問題

圖2

通過幾何畫板進行簡單的幾何實驗，構造出了符合條件的圖形，激發(fā)了學生觀察思考、動手實踐、交流探究的能力.

人教A版高中數學必修2（P139）信息技術應用，用幾何畫板探究點的軌跡.

例1已知點P（2，0），Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的，用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡的方程.

通過探究知道：到兩個定點的距離之商為定值的點的軌跡是圓，然后就可以引發(fā)學生探究：

（1）到兩個定點的距離之和為定值的點的軌跡是橢圓.

（2）到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡是雙曲線.

（3）到兩個定點的距離之積為定值的點的軌跡是卡西尼卵形線.

掌握了探究方法，橢圓、雙曲線的學習就會變得輕而易舉了，這樣以題練技，以技通法，明在閱讀題目后將其翻譯成數量關系，暗在學思維、找工具、找方法，培養(yǎng)數學思維、數據處理能力.

例2（2013·江蘇卷17題）如圖3所示，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

解析：點C在直線l：y=2x-4上，故設C的坐標為（a，2a-4）.因為半徑r1=1，所以圓C的方程是：（x-a）2+［y-（2a-4）］2=1.

設點M（x，y），則由|MA|=2|MO|可得點M的軌跡正是阿波羅尼斯圓D，即

化簡整理得：x2+（y+1）2=4.

圖3

所以點M（x，y）在以D（0，-1）為圓心，r2=2為半徑的圓上.又點M（x，y）在圓C上，所以兩圓有公共點的條件是：|r-r|≤|DC|≤|r+r|，即1≤5a2-12a+9≤9，解得0≤1212

評注：由圖3可以直觀地觀察出兩圓公共點的變化情況，當a=0時，圓C為x2+（y+4）2=1與所求圓D相切；當a=時，圓C為=1，也與所求圓D相切.這樣，答案0≤a的正確性也就不言而喻了.

例3（2014·湖北卷文17）已知圓O：x2+y2=1和點A（-2，0），若定點B（b，0）（b≠-2）和常數λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則：

（1）b=______；（2）λ=______.

評注：解本題的常用方法是“坐標轉移法”，但是條件中依然有比例，所以仍然可以采用“阿波羅尼斯圓”來處理.

例4（2008·江蘇卷，13題）滿足條件AB=2，AC=的△ABC的面積的最大值是______.

圖4

解析：建立如圖4所示的平面直角坐標系，因為c=1，λ=，代入阿波羅尼斯圓公式得：（x-3）2+y2=8.設圓心為M，顯然當CM⊥x軸時，△ABC面積最大，此時|CM|=，所以（故填答案

評注：顯然這又是一例“阿波羅尼斯圓”，既然△ABC存在，說明其軌跡不包括與x軸的兩個交點P，Q，由于所以CP為△ACB的內角平分線；同理，CQ為△ACB的外角平分線.這就是說，P，Q分別是線段AB的內分點和外分點，而PQ正是阿氏圓的直徑.于是“阿波羅尼斯圓”又被稱為“內外圓”.因此，上例又有如下的解法：

解析二：因為動點C到定點A（-1，0）和B（1，0）的距離之比為，則有|x+1|=|x-1|，整理得x2+2x+1=2（x2-2x+1），即x2-6x+1=0，解得x1=3-2，x2=3+2，所以x1=3-2為內分點，x2=3+2為外分點.圓半徑（x-x）=2即為三角形高的最大值，即△ABC高的最大值是2故△ABC面積的最大值是2F