分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)是青島版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法單元的教學(xué)內(nèi)容。這部分內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，以及商不變規(guī)律、通分等的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往根據(jù)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，很自然地認(rèn)為分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)也是“顛倒相乘”的計(jì)算方法，導(dǎo)致教學(xué)中只側(cè)重運(yùn)算法則的記憶及模仿運(yùn)用，而缺少讓學(xué)生理解為什么要“顛倒相乘”的學(xué)習(xí)過程。沒有推理的支撐，學(xué)生雖記住了算法，但對(duì)算理的理解很難走向深入。

在一次省級(jí)教師培訓(xùn)中，有幸觀摩了煙臺(tái)于慶洋教師執(zhí)教的《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)》，于老師帶領(lǐng)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去思考和學(xué)習(xí)，注重培養(yǎng)學(xué)生思考及表達(dá)的有序和嚴(yán)謹(jǐn)，做到了方法多樣且分析有理有據(jù)，促進(jìn)理法融通，發(fā)展學(xué)生的理性精神。以下擷取幾個(gè)教學(xué)片段，具體分析解讀。

一、依托推理，理解算理提煉算法

出示方法1，指名交流。 [探究卡1

你會(huì)計(jì)算[58]" ÷" [23]嗎？

畫一畫，算一算或用推理的方法，計(jì)算出[58]" ÷" [23]的結(jié)果，并記錄下思考的過程和依據(jù)。

[58]" ÷" [23]" =" [58×23]" ÷" [23×32]" =" [58×32]" ÷" 1" =" [58]" ×" [32]" =" [1516]]

生1：我發(fā)現(xiàn)[23] × [32] = 1，用[58] × [32]的積再除以[23] × [32]的積，等于[58] × [32]的積除以1。1可以忽略，[58] × [32] = [1516]。

[探究卡1

你會(huì)計(jì)算[58]" ÷" [23]嗎？

畫一畫，算一算或用推理的方法，計(jì)算出[58]" ÷" [23]的結(jié)果，并記錄下思考的過程和依據(jù)。

[58]" ÷" [23]" =" [58×24]" ÷" [23×24]" =" 15" ÷" 16" =" [1516]]

生1：依據(jù)商不變的規(guī)律。因?yàn)閇23] × [32] = 1，這樣更好算。

師：依據(jù)商不變的規(guī)律，我們將分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。

出示方法2，指名交流。

生3：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘了兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)24，把它們轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法，最后結(jié)果是[1516]。

師：為什么要同時(shí)乘24呢？

生3：同時(shí)乘了分母的最小公倍數(shù)，可以把它們轉(zhuǎn)化成整數(shù)。

師：觀察這兩種推算過程，你認(rèn)為分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)可以怎么計(jì)算？

生5：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)等于分?jǐn)?shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。（完善板書）

師：回顧這兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，你覺得怎樣計(jì)算分?jǐn)?shù)除法？

師：如果用甲和乙表示這兩個(gè)數(shù)，誰能再來說一說？

生：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

教學(xué)中，教師通過問題情境引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法推算出[58] ÷ [23]的結(jié)果，在探究過程中，學(xué)生嘗試從分?jǐn)?shù)的意義、除法的意義、商不變規(guī)律等方面，靈活運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法。在算法交流中教師引導(dǎo)學(xué)生說清推理的依據(jù)，并鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，使學(xué)生透徹理解了算理和算法。雖然算法不同，推理依據(jù)各異，但最終結(jié)果都把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法，殊途同歸。“顛倒相乘”的算法也最終浮出水面。隨后引導(dǎo)學(xué)生舉例驗(yàn)證，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程。最后引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算法則的表達(dá)，感受用字母表示數(shù)量關(guān)系的優(yōu)越性，體會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)練與嚴(yán)謹(jǐn)，發(fā)展理性精神。在猜想、驗(yàn)證、得出結(jié)論的全過程，我們看到了推理在運(yùn)算教學(xué)中的價(jià)值。

二、溝通聯(lián)系，感受數(shù)運(yùn)算的一致性

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，我們簡(jiǎn)稱為“顛倒相乘法”。這里的兩個(gè)數(shù)。只能是分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)同學(xué)們選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)，寫出一道除法算式，用“顛倒相乘法”來算一算？學(xué)生舉例驗(yàn)證。

師：除了“顛倒相乘法”，剛才我們?cè)谘芯縖58] ÷ [23]的時(shí)候，還想到了其他的方法，我們一起再來看一看。

出示方法3：[58] ÷ [23] = [1524] ÷ [1624] = 15 ÷ 16 = [1516]

師：我們?cè)谟?jì)算[58] ÷ [23]時(shí)，為什么可以用15 ÷ 16計(jì)算？

生：因?yàn)樗麄兊挠?jì)數(shù)單位統(tǒng)一了。計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一就可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。

師：看來分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法、小數(shù)除法、的算理都是一致的。都可以先統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，再把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。

于老師通過“顛倒相乘法”在小數(shù)除法和整數(shù)除法中的推廣嘗試，帶領(lǐng)學(xué)生初步感受分?jǐn)?shù)除法、小數(shù)除法和整數(shù)除法之間的聯(lián)系。借助對(duì)算法“[58] ÷ [23] = [1524] ÷ [1624] = 15 ÷ 16 = [1516]”的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法也可以用統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，用計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相除的方法來計(jì)算。從計(jì)數(shù)單位的視角，溝通了分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法、小數(shù)除法在算理和算法上的一致性，即都可以先統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，再把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除，深刻體會(huì)數(shù)運(yùn)算的一致性。

三、滲透數(shù)學(xué)文化，優(yōu)化推理過程

師：古人是怎么研究分?jǐn)?shù)除法的？（播放視頻，了解分?jǐn)?shù)除法的歷史）

師：古人的方法和我們的方法比，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系嗎？

生：“通分法”就是我們計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一后用分子相除的方法。

生：“同乘法”就是同時(shí)乘分母和分母的最小公倍數(shù)，化成整數(shù)除以整數(shù)。

生：“化一法”和我們通分的方法其實(shí)是一樣的，也是化成相同的計(jì)數(shù)單位之后再用分子相除。

師：數(shù)學(xué)發(fā)展就是這樣一個(gè)不斷優(yōu)化的過程。正因?yàn)椤邦嵉瓜喑恕焙芎?jiǎn)便，所以從古代一直沿用至今。

教學(xué)中，于老師梳理了國(guó)內(nèi)外有關(guān)分?jǐn)?shù)除法的歷史，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課推理的經(jīng)驗(yàn)，尋找自己的方法與數(shù)學(xué)家的方法之間的聯(lián)系，完善形式表征，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解算理算法、優(yōu)化推理過程。在方法的對(duì)比分析中，培養(yǎng)了學(xué)生的文化自信，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的算法和數(shù)學(xué)家的方法一致時(shí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的自豪感和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

總之，整節(jié)課于老師循著學(xué)生的思維起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，借助推理，從不同角度理解分?jǐn)?shù)除法中“顛倒相乘”的道理。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)算法、提出猜想、驗(yàn)證猜想、得出并完善結(jié)論的全過程，我們見證了分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)“顛倒相乘”的運(yùn)算法則從“幼苗”萌芽，再到吸收四面八方的“陽(yáng)光”和“水分”，最后茁壯成長(zhǎng)為“大樹”的歷程。在整個(gè)過程中，我們聽到了學(xué)生有理有據(jù)的表達(dá)，看到了推理在運(yùn)算教學(xué)中的力量，真切感受到了學(xué)生運(yùn)算能力和推理意識(shí)的充分發(fā)展。