中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8918（2025）24-0063-04

新課標(biāo)背景下，運(yùn)算教學(xué)的一致性為培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、提高核心素養(yǎng)又指明了一條新路。特別是新課標(biāo)通過(guò)“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題厘清數(shù)與運(yùn)算的一致性，促使“數(shù)與運(yùn)算”教學(xué)進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化，有助于學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)與運(yùn)算的一致性，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、運(yùn)算教學(xué)一致性的認(rèn)識(shí)

（一）對(duì)四則運(yùn)算意義一致性的認(rèn)識(shí)

1.四則運(yùn)算的一致性

在小學(xué)階段，只學(xué)習(xí)加、減、乘、除四則運(yùn)算和整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。其實(shí)無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)的運(yùn)算意義，還是分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算的意義都是一致的。從這個(gè)角度上來(lái)說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師早就在落實(shí)一致性了，只是這種一致性是比較淺層的，它體現(xiàn)在三種不同數(shù)理的數(shù)中。

2.四則運(yùn)算之間的一致性

加法作為一個(gè)核心概念，減、乘、除都和加法有關(guān)系。有了加法，才有了減法，因?yàn)闇p法是它的逆運(yùn)算；有了加法，才有了乘法，因?yàn)槌朔ㄊ撬暮?jiǎn)便運(yùn)算；乘法實(shí)質(zhì)上就是在做加法，它只是一組組數(shù)的加，如 5×3 ，就是3個(gè)3個(gè)的加；而除法也就是在做減法，它只是一組組數(shù)的減，如 15÷3 ，就是3個(gè)3個(gè)的減。這樣，以加法為統(tǒng)領(lǐng)，加減乘除之間的關(guān)聯(lián)，正是四則運(yùn)算之間的一致性。

3.運(yùn)算本質(zhì)上的一致性

教師已經(jīng)逐步在引導(dǎo)學(xué)生從“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”運(yùn)算的角度來(lái)理解算理并掌握算法，也逐步能把這樣的方法應(yīng)用到整數(shù)和小數(shù)的乘、除法。另外，在分?jǐn)?shù)乘除以一個(gè)整數(shù)的教學(xué)中，也能夠比較清楚地理解運(yùn)算本質(zhì)。例如， 135+32 就是1個(gè)百3個(gè)十5個(gè)一加3個(gè)十2個(gè)一； 就是5個(gè)十分之一加3個(gè)十分之一；+5 就是1個(gè) 加2個(gè)1等，在這里，加法就是相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加，在三種不同數(shù)理的數(shù)的運(yùn)算中，都是一致的；減法是加法的逆運(yùn)算，減法運(yùn)算是把相同計(jì)數(shù)單位上個(gè)數(shù)進(jìn)行相減。

乘除法的算理要比加減法稍微復(fù)雜一些，以整數(shù)乘法為例：

這里的整數(shù)乘法的運(yùn)算其實(shí)是被分成兩種運(yùn)算：一是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位（即加粗?jǐn)?shù)字）；二是計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字（未加粗?jǐn)?shù)字）相乘得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

在整數(shù)的乘除法運(yùn)算中，還是比較容易理解產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位的算理;而在小數(shù)中，可以采用數(shù)形結(jié)合，如計(jì)算 0.24×1.2 可以借助圖形來(lái)理解，如圖1所示。

分?jǐn)?shù)單位相乘的算法也一樣。如 1×2 就表示求出新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，而 則表示求出新的計(jì)數(shù)單位。采用數(shù)形結(jié)合，借助圖形就可以理解產(chǎn)生的新的計(jì)數(shù)單位就是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分。（圖2）

除法是乘法的逆運(yùn)算，除法的算理和算法的探求可以還原為乘法。乘除法運(yùn)算（整數(shù)除法可以把除數(shù)看成分母是1的分?jǐn)?shù)）的算理和算法一致性體現(xiàn)為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘除，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)之間相乘除。

（二）對(duì)四則運(yùn)算定律一致性的認(rèn)識(shí)

在小學(xué)階段，運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)都是從整數(shù)的運(yùn)算定律開(kāi)始，再把整數(shù)的運(yùn)算定律推廣到小數(shù)的運(yùn)算中去，最后推廣到分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中去，這也很好地說(shuō)明了運(yùn)算的一致性。

而運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)難點(diǎn)在于這些運(yùn)算定律在整數(shù)運(yùn)算中和在小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的掌握情況完全不同。要解決運(yùn)算定律在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中能夠靈活運(yùn)用的問(wèn)題，還是要通過(guò)“簡(jiǎn)便運(yùn)算的本質(zhì)”，也就是計(jì)數(shù)單位來(lái)解決。

1.以整數(shù)加法的結(jié)合律為例

在計(jì)算 64+58+36 時(shí)，通常把 58+42 先相加，因?yàn)樗麄兡堋皽愓?，所以?jì)算就簡(jiǎn)便了；那為什么他們“湊整”了，就能夠簡(jiǎn)便了呢？沒(méi)有弄清楚這個(gè)原因，教師就不能把整數(shù)加法運(yùn)算定律的本質(zhì)教給學(xué)生。

學(xué)生都知道\" 3+5^，， 和“ 30+50^? ，“ 300+500 \"“300+800 ”一樣好算，但 3+5 是一位數(shù)加一位數(shù)的“簡(jiǎn)單”;而‘ 30+50^99…300+500^99…300+800⁹ '是只有一個(gè)計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算的“簡(jiǎn)單”。而這正是簡(jiǎn)便運(yùn)算的本質(zhì)?！皽愓本褪前褞讉€(gè)計(jì)數(shù)單位，整合成一個(gè)計(jì)數(shù)單位，學(xué)生只需要進(jìn)行一個(gè)計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算就可以，自然簡(jiǎn)單多了。

2.乘法的結(jié)合律、分配律

整數(shù)乘法的結(jié)合律、分配律常見(jiàn)的是把25和4先相乘、125和8先相乘，它們相乘后，計(jì)數(shù)單位變得簡(jiǎn)單，再用整十、整百，或整千數(shù)進(jìn)行乘法計(jì)算，就簡(jiǎn)單多了；同理推廣到小數(shù)，再到分?jǐn)?shù)計(jì)算時(shí)，把不同的分?jǐn)?shù)單位（計(jì)數(shù)單位）轉(zhuǎn)化為整數(shù)，復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算也就變得簡(jiǎn)單多了。

二、運(yùn)算教學(xué)一致性的意義

（一）基于新課標(biāo)理念的要求

新課標(biāo)把“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域里的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”與“數(shù)的運(yùn)算”整合為“數(shù)與運(yùn)算”，這樣就把數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)打通了，使它們二者具有整體性與一致性；而把整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算的算理都落實(shí)到計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)上來(lái)，就可以將整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)的運(yùn)算都結(jié)合到一起，學(xué)生也能從一個(gè)整體的角度去把握和理解數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，從而形成數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)等核心素養(yǎng)。

（二）基于當(dāng)前課堂教學(xué)現(xiàn)象

當(dāng)前，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)處于新舊課標(biāo)更迭的時(shí)期。有的教師仍難以按新課標(biāo)要求從該節(jié)課所要落實(shí)的核心素養(yǎng)表現(xiàn)出發(fā)去解讀教材，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的核心問(wèn)題是模糊的，對(duì)教材中隱性的、深層的內(nèi)容的提煉更是無(wú)從說(shuō)起。這樣淺層的教學(xué)，無(wú)法引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，不利于形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此，基于這樣的課堂教學(xué)現(xiàn)象，落實(shí)運(yùn)算教學(xué)一致性就更加迫切。

（三）基于數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)

新課標(biāo)一再?gòu)?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整體性。整體性就是指教材的編寫(xiě)、教師的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該關(guān)注如何突出數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容，使它們?cè)诳此撇煌闹R(shí)之間，突出相關(guān)的本質(zhì)問(wèn)題，構(gòu)建出知識(shí)與知識(shí)之間互聯(lián)互通的橋梁，從而形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。而數(shù)與運(yùn)算本身就是一個(gè)整體。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教師不僅要把握好數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性和運(yùn)算的一致性，還要把握好數(shù)與運(yùn)算的一致性，并找到它們的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)與運(yùn)算”的一致性。

三、運(yùn)算教學(xué)一致性的策略

（一）聚焦核心內(nèi)容，優(yōu)化運(yùn)算教學(xué)整體建構(gòu)

小學(xué)生知識(shí)建構(gòu)受到了兩個(gè)方面的影響，一個(gè)是小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，另一個(gè)是教師的教學(xué)風(fēng)格。現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材是遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律分年級(jí)編排的，有一定的碎片化、零散化，不利于小學(xué)生自行建立系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。而由于數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)（簡(jiǎn)潔性、實(shí)用性），教師習(xí)慣總結(jié)提煉，不同數(shù)理的數(shù)的不同運(yùn)算總會(huì)被歸納成各自的算法，有些教師走向了只教算法、不教算理的極端。

基于一致性的運(yùn)算教學(xué)，教師要積極尋找不同數(shù)理的數(shù)的不同運(yùn)算之間的連接點(diǎn)（計(jì)數(shù)單位），從而引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用比較、類推、遷移等學(xué)習(xí)方法，逐步學(xué)會(huì)自主分類整理，梳理脈絡(luò)，建立知識(shí)整體結(jié)構(gòu)，即建立以數(shù)學(xué)核心內(nèi)容為主體的承重墻，打通各年級(jí)碎片知識(shí)的隔斷墻，把知識(shí)穿成線、連成串、織成網(wǎng)，統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)知識(shí)，從而來(lái)優(yōu)化知識(shí)建構(gòu)。

以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個(gè)單元為例，這個(gè)單元共有5個(gè)例題，有5個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)建議用6課時(shí)來(lái)完成。教師需要將知識(shí)點(diǎn)整合起來(lái)進(jìn)行教學(xué)，這就要抓住它的核心，聚焦核心概念，通過(guò)計(jì)數(shù)單位把知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）聚焦學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)運(yùn)算教學(xué)方法遷移

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律是一個(gè)同步循序漸進(jìn)的過(guò)程。隨著學(xué)生思維能力的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)的編排也逐步螺旋上升，學(xué)生掌握知識(shí)與技能的過(guò)程，也是一個(gè)不斷遷移應(yīng)用、積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)方法的過(guò)程，通過(guò)不斷積累，提升學(xué)習(xí)能力，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。

以教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效遷移，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的時(shí)候，已經(jīng)積累了拆、算、合的方法，并初步認(rèn)識(shí)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)從未知到已知的轉(zhuǎn)化的感悟也逐步加深。所以在這一節(jié)課中，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)遷移拆、算、合的方法到三位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算中。并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“如何求三位數(shù)乘三位數(shù)？四位數(shù)乘三位數(shù)？多位數(shù)乘多位數(shù)？”進(jìn)而感悟已有經(jīng)驗(yàn)是可以遷移到更多位數(shù)乘法的計(jì)算的一致性，更好地發(fā)展運(yùn)算能力、推理意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)。因此，基于一致性的運(yùn)算教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)W法的一致性，使學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程中通過(guò)遷移體會(huì)感悟“一致”的學(xué)習(xí)方法，體會(huì)到數(shù)學(xué)的一致性和關(guān)聯(lián)性。

（三）聚焦核心問(wèn)題，推動(dòng)運(yùn)算教學(xué)方式變革

所有運(yùn)算的算理都是基于計(jì)數(shù)單位，要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，就要特別重視計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生圍繞“核心問(wèn)題”（計(jì)數(shù)單位）展開(kāi)學(xué)習(xí)，理解一致性，設(shè)計(jì)“核心問(wèn)題”是關(guān)鍵，把學(xué)生從貌似熱鬧非凡的討論中拉回來(lái)到“核心問(wèn)題”上思考更關(guān)鍵。而聚焦核心問(wèn)題的課堂教學(xué)，也滿足了新課標(biāo)關(guān)于課堂學(xué)習(xí)方式變革的要求，即“改變單一講授式教學(xué)方式，注重啟發(fā)式、探究式、參與式、互動(dòng)式等”。所以，基于一致性的運(yùn)算教學(xué)，更應(yīng)注重運(yùn)算教學(xué)的整體性，以大單元整體教學(xué)理念，聚焦核心問(wèn)題，通過(guò)核心問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)，呈現(xiàn)學(xué)生圍繞著核心問(wèn)題展開(kāi)思考、交流、討論的課堂學(xué)習(xí)方式，逐步優(yōu)化課堂學(xué)習(xí)方式。

（四）聚焦思維創(chuàng)新，拓寬運(yùn)算教學(xué)發(fā)展路徑

1.調(diào)整教材，另辟蹊徑

在實(shí)際教學(xué)中，不少學(xué)生對(duì)小數(shù)除法的算理掌握得還不錯(cuò)，而算法方面掌握得不是很好，分?jǐn)?shù)除法主要表現(xiàn)在一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理較為抽象，學(xué)生較難掌握。這是因?yàn)閺恼麛?shù)除法到小數(shù)除法，因其形式相似，利用將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想，基本實(shí)現(xiàn)了整數(shù)除法與小數(shù)除法的一致性。但是到分?jǐn)?shù)除法這一部分，沒(méi)有很好地遷移整數(shù)、小數(shù)除法的方法和經(jīng)驗(yàn)。這三者之間的不一致，不利于學(xué)生整體知識(shí)建構(gòu)、理解相關(guān)內(nèi)容，更不利于學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣。這個(gè)難點(diǎn)可以通過(guò)調(diào)整教材實(shí)現(xiàn)破解：可以先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，再將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)除法。這就需要對(duì)自前的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整。也就是在學(xué)習(xí)整數(shù)除法的時(shí)候，整數(shù)除以整數(shù)能整除的用整數(shù)表示；不能整除的，用小數(shù)表示結(jié)果，進(jìn)一步從運(yùn)算的角度體會(huì)小數(shù)的意義。接著調(diào)整為先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，這部分主要解決以下問(wèn)題： ① 分?jǐn)?shù)意義：整數(shù) ÷ 整數(shù)（用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果），滲透整數(shù)除法與乘倒數(shù)的關(guān)系。 ② 分?jǐn)?shù)除法的算理算法。最后再學(xué)習(xí)小數(shù)除法，這時(shí)候只需要把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)除法就可以了。

在這種調(diào)整思路下，只要解決好三個(gè)問(wèn)題就能夠較好地實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的一致性： ① 讓學(xué)生體會(huì)整數(shù)除法與乘倒數(shù)的關(guān)系； ② 利用代數(shù)推理驗(yàn)證分?jǐn)?shù)除法的算法的正確性； ③ 幫助學(xué)生同化小數(shù)除法獲得通法。這樣最終在小數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)除法，實(shí)現(xiàn)了“分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法運(yùn)算的一致性”。

2.主題研究，尋求突破

針對(duì)分?jǐn)?shù)除法的算理較難掌握，無(wú)法和小數(shù)除法形成運(yùn)算的一致性，不需要重組教材，而只需要就類似分?jǐn)?shù)除法的難點(diǎn)內(nèi)容開(kāi)展小主題研究，探索出和其他運(yùn)算“一致”的方法。（圖3）

如在學(xué)習(xí)了多邊形的面積后，把多邊形面積計(jì)算公式“統(tǒng)一”為 （a+b）×h÷2 ，實(shí)現(xiàn)面積計(jì)算的一致性。

平行四邊形： a=b，（a+b）×b÷2=（a×2）×b÷2= （20 a×h （204號(hào)

三角形： a=0，（a+b）×b÷2=（a+0）×b÷2=a× h÷2

長(zhǎng)方形： ?h=b，（a+a）×b÷2=（a×2）×b÷2=a×b

圓形還是按照轉(zhuǎn)化成近似直線圖形（平行四邊形或者三角形）的思路來(lái)理解。由此可見(jiàn)，通過(guò)一個(gè)公式就完成面積計(jì)算的“一致性”。另外，體積計(jì)算也可以通過(guò)這樣的形式。

同理，在六年級(jí)開(kāi)展總復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以通過(guò)計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念的溝通聯(lián)結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算之間的一致性，幫助學(xué)生梳理數(shù)與運(yùn)算結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

3.因材施教，促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展

新課標(biāo)提出運(yùn)算一致性的重要目的是使學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性和聯(lián)系性，加深他們對(duì)運(yùn)算的理解，發(fā)展其運(yùn)算能力和推理意識(shí)。對(duì)一致性，教師應(yīng)合理地加以研究、掌握，以及引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用。在實(shí)際教育教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的真實(shí)想法，鼓勵(lì)他們思考如何遷移已有經(jīng)驗(yàn)探索算法、算理，如何將未知轉(zhuǎn)化為已知，如何建立運(yùn)算之間的溝通關(guān)聯(lián)。有時(shí)學(xué)生的想法并不一定與教師的教學(xué)設(shè)計(jì)一致，教師應(yīng)及時(shí)關(guān)注生成點(diǎn)，通過(guò)多維評(píng)價(jià)鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的思考，并互相分享交流，從而真正促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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