“植樹(shù)問(wèn)題”是小學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容，為培養(yǎng)學(xué)生的建模思維提供了良好的載體。它來(lái)源于生活實(shí)踐，具有多種現(xiàn)實(shí)情境（如沿路植樹(shù)、環(huán)湖植樹(shù)等），其核心在于探究“物體數(shù)量\"與“間隔數(shù)量”之間的關(guān)系。問(wèn)題的條件（如總長(zhǎng)、間距、是否兩端栽種、是否為封閉圖形等）靈活多變，不同的變化對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)學(xué)模型。解決“植樹(shù)問(wèn)題\"的過(guò)程，就蘊(yùn)含著觀察、分析、抽象、簡(jiǎn)化、歸納、應(yīng)用等一系列建?；顒?dòng)。學(xué)生探究不同情況下植樹(shù)棵數(shù)的計(jì)算方法，實(shí)際上就是在經(jīng)歷一個(gè)“非形式化\"的建模過(guò)程：從具體情境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用算式（初步模型）來(lái)表達(dá)規(guī)律，并通過(guò)進(jìn)一步的驗(yàn)證和應(yīng)用來(lái)檢驗(yàn)與鞏固模型。

教師可聚焦“植樹(shù)問(wèn)題\"這一具體教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)有效的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模的全過(guò)程，為學(xué)生“植”入數(shù)學(xué)模型的基本思想，使學(xué)生“樹(shù)\"立初步的建模思維，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生模型意識(shí)的啟蒙和建模能力的初步培養(yǎng)，為提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供可借鑒的路徑與方法。

一、數(shù)學(xué)建模理論與“植樹(shù)問(wèn)題\"教學(xué)的融合

為有效培養(yǎng)學(xué)生的建模思維，在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題\"時(shí)，首先要對(duì)數(shù)學(xué)建模的核心理念、其在小學(xué)階段的育人目標(biāo)以及“植樹(shù)問(wèn)題”自身的教育價(jià)值建立清晰的認(rèn)識(shí)，從而為構(gòu)建有效的教學(xué)策略提供必要的理論依據(jù)。

（一）數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程

數(shù)學(xué)建模并非一套刻板的程序，它本質(zhì)上是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)連接現(xiàn)實(shí)與理論的思考方式和實(shí)踐方法。這個(gè)過(guò)程通常始于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界某個(gè)問(wèn)題的關(guān)注與探究，要求研究者深入情境，識(shí)別其中關(guān)鍵的數(shù)學(xué)要素，明確要解決的核心議題。為了運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，往往還需要對(duì)復(fù)雜情境進(jìn)行簡(jiǎn)化和理想化處理，抓住主要矛盾，忽略次要細(xì)節(jié)，從而抽象出問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。緊接著，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，如符號(hào)、圖表、算式或方程等，描述變量間的關(guān)系或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建起初步的數(shù)學(xué)模型。在模型建立后，則可通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算求解得到理論結(jié)果。然而，這一結(jié)果是否符合實(shí)際？能否有效解釋現(xiàn)象？研究者必須對(duì)此進(jìn)行反思與檢驗(yàn)，重新評(píng)估假設(shè)、調(diào)整參數(shù)甚至重構(gòu)模型。只有經(jīng)歷了這樣驗(yàn)證與完善的模型，才能被信賴(lài)地用于解釋世界、解決問(wèn)題，并可能被推廣應(yīng)用于更廣闊的領(lǐng)域。

（二）小學(xué)階段數(shù)學(xué)建模能力的目標(biāo)

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)并不追求學(xué)生能獨(dú)立構(gòu)建多么精密的模型，而是重在啟蒙和培育學(xué)生的基礎(chǔ)\"模型意識(shí)”。依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)模型意識(shí)內(nèi)涵的解釋?zhuān)@意味著要讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)模型的普適性，理解一個(gè)模型往往能解決一類(lèi)具有共同特征的問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用魅力；同時(shí)，引導(dǎo)他們認(rèn)識(shí)到生活處處有數(shù)學(xué)，樂(lè)于并敢于用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)觀察、思考、解釋身邊的簡(jiǎn)單現(xiàn)象。具體而言，就是要培養(yǎng)學(xué)生初步具備從具體情境中抽象出關(guān)鍵信息，建立簡(jiǎn)單模型（如圖式、算式）的能力，并使學(xué)生能?chē)@特定問(wèn)題進(jìn)行初步的推理與應(yīng)用?？梢?jiàn)，小學(xué)建模教學(xué)的核心目標(biāo)是促進(jìn)靈活、探究的建模思維的萌芽，而非純粹的技能訓(xùn)練。

（三）“植樹(shù)問(wèn)題”蘊(yùn)含的建模價(jià)值

“植樹(shù)問(wèn)題\"蘊(yùn)含多重的教育價(jià)值。首先，它的情境來(lái)源于生活，無(wú)論是路邊植樹(shù)還是池塘圍欄，都易于學(xué)生理解和想象。其次，它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力提出了適切的要求。學(xué)生需要從具體的“樹(shù)\"和“間隔\"出發(fā)，提煉出“棵數(shù)”與“間隔數(shù)\"這兩個(gè)核心概念，并探索它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。再次，它以條件的多樣性驅(qū)動(dòng)著模型的建構(gòu)。直線與封閉、兩端栽與不栽等不同情況，能夠引向不同的數(shù)學(xué)模型（如：棵數(shù) 間隔數(shù) ±1 或棵數(shù) ?= 間隔數(shù)）。學(xué)生探究不同解法的過(guò)程，便是在主動(dòng)經(jīng)歷模型選擇與構(gòu)建的活動(dòng)。此外，解決“植樹(shù)問(wèn)題\"的過(guò)程必然伴隨著豐富的數(shù)學(xué)思考與推理過(guò)程，如分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、比較不同算法的優(yōu)劣、運(yùn)用“化曲為直”的轉(zhuǎn)化策略等，這些都極大地促進(jìn)了學(xué)生思維品質(zhì)的提升。最后也是非常重要的一點(diǎn)，“植樹(shù)問(wèn)題”所建立的“數(shù)量一間隔”關(guān)系模型具有顯著的可遷移性，其基本結(jié)構(gòu)能廣泛應(yīng)用于排隊(duì)、鋸木、敲鐘等眾多生活問(wèn)題，這使得學(xué)生能夠真切體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的普適性和應(yīng)用價(jià)值，從而有效促進(jìn)模型意識(shí)的內(nèi)化與生成。正是這些特質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，使得“植樹(shù)問(wèn)題”成為小學(xué)階段進(jìn)行數(shù)學(xué)建模啟蒙、發(fā)展學(xué)生建模思維的理想載體。

二、基于建模理論的“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)策略

數(shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng)并非一蹴而就的。教師需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從理解到應(yīng)用的完整過(guò)程。基于“植樹(shù)問(wèn)題\"的教學(xué)特點(diǎn)和建模理論，可合理運(yùn)用以下四個(gè)策略，共同促進(jìn)學(xué)生建模思維的萌發(fā)與成長(zhǎng)。

（一）情境驅(qū)動(dòng)：從生活問(wèn)題到建模需求

數(shù)學(xué)建模始于現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題。將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)置于有意義的、貼近學(xué)生生活的真實(shí)情境中，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生內(nèi)在建模需求的首要環(huán)節(jié)。因此，教師與其直接拋出“植樹(shù)問(wèn)題”的概念，不如從學(xué)生熟悉的環(huán)境或事件人手展開(kāi)教學(xué)。

例如，可以利用學(xué)校新校區(qū)建設(shè)的契機(jī)，創(chuàng)設(shè)“要在校園里一條新建的道路旁植樹(shù)\"的情境；或者圍繞美化校園，提出“給一個(gè)正方形池塘四周布置綠植\"的任務(wù)。當(dāng)一個(gè)具體、可感的問(wèn)題擺在面前，如“在長(zhǎng)20米的道路一旁栽樹(shù)，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹(shù)？”，學(xué)生往往會(huì)憑借直覺(jué)給出初步的猜測(cè)。這些猜測(cè)常常是多樣的，甚至可能是相互矛盾的。這種由真實(shí)情境引發(fā)的認(rèn)知沖突，恰恰是激發(fā)學(xué)生探究欲望，產(chǎn)生“我需要用數(shù)學(xué)方法弄清楚\"這一建模需求的寶貴契機(jī)。它讓學(xué)生感受到簡(jiǎn)單的估算可能無(wú)法解決問(wèn)題，而是需要借助更精確的數(shù)學(xué)思考和方法。

（二）操作抽象：從具身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型

從具體的現(xiàn)實(shí)情境走向抽象的數(shù)學(xué)模型需要經(jīng)歷一個(gè)關(guān)鍵的抽象過(guò)程。對(duì)于以具體形象思維為主的小學(xué)生而言，動(dòng)手操作、親身體驗(yàn)是完成這一過(guò)程的重要橋梁。教師需要給學(xué)生提供手與腦協(xié)同活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在做中思。

例如，在引入“間隔\"這一核心概念時(shí)，教師在運(yùn)用口頭解釋之外，還可以通過(guò)繪制清晰的線段圖，讓學(xué)生直觀地看到“兩點(diǎn)之間的一段\"就是間隔。更進(jìn)一步，也可以設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)單（如表1），要求學(xué)生針對(duì)具體問(wèn)題（如20米路，隔5米栽）畫(huà)一畫(huà)樹(shù)的位置;或者直接提供學(xué)具，讓學(xué)生用小樹(shù)苗模型在黑板上模擬栽種過(guò)程；或在小組內(nèi)利用“池塘模型\"和“樹(shù)模型\"進(jìn)行實(shí)際操作。在這些操作活動(dòng)中，學(xué)生能夠獲得關(guān)于數(shù)量、距離、排列方式的豐富感知經(jīng)驗(yàn)。

但需要注意的是，操作本身不是目的，關(guān)鍵在于教師的引導(dǎo)。比如在封閉圖形的植樹(shù)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)學(xué)生操作后，教師需要引導(dǎo)他們辨析：為什么18米長(zhǎng)的邊，每隔6米栽一棵，有的小組栽了3棵，有的小組卻栽了4棵？從而使學(xué)生明確 18÷6=3 得到的是段數(shù)（間隔數(shù)），而在兩端都要栽的情況下，棵數(shù)需要在段數(shù)的基礎(chǔ)上再加1。只有經(jīng)歷這樣的具身體驗(yàn)和針對(duì)性的討論，學(xué)生才能逐步將具體的物（樹(shù)）和空間（路長(zhǎng)、間隔）轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)概念（棵數(shù)、間隔數(shù)）及其關(guān)系，為后續(xù)建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

（三）多元建構(gòu)：從個(gè)體探究到集體共識(shí)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)往往不是一次就能完成的，而是需要在多樣化的探索和深度的交流中逐步明晰和完善。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考，生成多元的解決方案，并通過(guò)交流碰撞，深化對(duì)模型本質(zhì)的理解。

比如，當(dāng)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作對(duì)“20米路，隔5米栽\"的問(wèn)題有了初步想法后，教師可以組織學(xué)生展示不同的栽法和對(duì)應(yīng)的算式，如 20÷5=4.20÷5+1=5 20÷5-1=3 。然后適時(shí)追問(wèn)：“這里為什么要 +1？ 這里為什么又要-1？”引導(dǎo)學(xué)生闡述算式背后的道理，即不同栽法（只栽一端、兩端都栽、兩端都不栽）與棵數(shù)、間隔數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種對(duì)不同模型及其適用條件的辨析，是模型建構(gòu)的核心環(huán)節(jié)。

在處理更復(fù)雜的封閉圖形，如邊長(zhǎng)為18米的正方形池塘的植樹(shù)問(wèn)題時(shí)，這種探究交流顯得更為重要。學(xué)生在課堂上可能會(huì)產(chǎn)生如下幾種不同的算法。

算法一：先算一條邊兩端都栽需要栽 18÷6+1= 4（棵），四條邊共需要栽 4×4=16 （棵），再減去重復(fù)計(jì)算的4個(gè)頂點(diǎn)，得出一共需要栽12棵。

算法二：將每條邊看作只栽一端（或另一端不栽），即需要栽 18÷6=3 （棵），四條邊就要栽 3×4= 12（棵）。

算法三：先算出周長(zhǎng)為 18×4=72 （米），再用周長(zhǎng)除以間隔長(zhǎng)度得到段數(shù)，即 72÷6=12 （段），直接等于棵數(shù)。

教師需要珍視這些不同的思維成果，并組織學(xué)生充分交流：“這種算法是怎么想的？”“為什么算出16棵后還要減4？”“為什么這里的 18÷6 不用加1？”“為什么周長(zhǎng)除以間隔長(zhǎng)度得到的段數(shù)正好是棵數(shù)？\"如此，通過(guò)師生以及生生之間的質(zhì)疑、解釋、辯論，學(xué)生不僅能理解各種方法的合理性，還能體會(huì)到不同模型是從不同角度對(duì)同一問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。而適時(shí)借助多媒體動(dòng)畫(huà)演示“化曲為直\"的過(guò)程，還能進(jìn)一步幫助學(xué)生直觀理解封閉圖形植樹(shù)問(wèn)題（棵數(shù) 段數(shù)）與直線型植樹(shù)問(wèn)題（只栽一端，棵數(shù) ?= 間隔數(shù)）之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)模型的融會(huì)貫通。

（四）遷移應(yīng)用：從單一模型到廣泛領(lǐng)域

一個(gè)真正被理解和掌握的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該具有一定的生命力，即能夠被靈活應(yīng)用于新的、變化了的情境中。模型意識(shí)的核心之一就是對(duì)模型普適性的感悟。因此，在學(xué)生初步構(gòu)建起“植樹(shù)問(wèn)題”的基本模型后，教師需要設(shè)計(jì)有層次的變式練習(xí)和拓展應(yīng)用，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)模型的理解，鍛煉其遷移應(yīng)用能力。

教師既可以通過(guò)改變問(wèn)題和條件來(lái)設(shè)計(jì)變式。如在直線型植樹(shù)問(wèn)題中，在保持間隔長(zhǎng)度（5米）不變的情況下，將總長(zhǎng)從20米變?yōu)?5米、30米，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的三種模型（棵數(shù) 間隔數(shù)、棵數(shù) 間隔數(shù) ±1 ）進(jìn)行計(jì)算，在不變的關(guān)系中鞏固模型。也可以通過(guò)改變問(wèn)題的幾何背景來(lái)設(shè)計(jì)變式。如在封閉圖形植樹(shù)問(wèn)題中，在探討了正方形池塘的栽樹(shù)問(wèn)題后，緊接著提出：“如果池塘變成三角形、六邊形，甚至是圓形或不規(guī)則圖形，但周長(zhǎng)仍然是72來(lái)，間隔也還是6米，需要栽種多少棵樹(shù)？\"當(dāng)學(xué)生通過(guò)思考或計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然是12棵時(shí)，他們就能更深刻地體會(huì)到“棵數(shù) 段數(shù)\"這一模型對(duì)于封閉圖形的普遍意義。此外，教師還可以嘗試引入字母（如用 a 代表間隔數(shù)），用代數(shù)式表達(dá)模型，進(jìn)一步提升模型的概括性。

最終，教師要引導(dǎo)學(xué)生將“植樹(shù)問(wèn)題\"的模型遷移到更廣泛的生活場(chǎng)景中。教師可以啟發(fā)性地提問(wèn)：“我們今天研究的植樹(shù)問(wèn)題，跟生活中的哪些現(xiàn)象有點(diǎn)像？”進(jìn)而引出安裝路燈、設(shè)置公交站牌、鋸木頭、排隊(duì)、鐘表敲鐘等例子，并引導(dǎo)學(xué)生分析這些問(wèn)題是否也存在類(lèi)似“物體數(shù)量”與“間隔數(shù)量\"的關(guān)系，能否運(yùn)用植樹(shù)模型來(lái)解決。這種從具體問(wèn)題模型向更廣闊應(yīng)用領(lǐng)域的延伸，是幫助學(xué)生真正建立模型意識(shí)、發(fā)展應(yīng)用能力的關(guān)鍵一步。

總之，“植樹(shù)問(wèn)題”為小學(xué)階段開(kāi)展建模教學(xué)提供了得天獨(dú)厚的平臺(tái)。教師應(yīng)精心創(chuàng)設(shè)能夠激發(fā)學(xué)生內(nèi)在探究需求的真實(shí)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、畫(huà)圖、模擬等方式親歷抽象過(guò)程，并積極組織多元化的探究與交流活動(dòng)，巧妙設(shè)計(jì)富有層次的變式與拓展練習(xí)，使學(xué)生完整經(jīng)歷“提出問(wèn)題一分析問(wèn)題一建立模型一求解模型一檢驗(yàn)與應(yīng)用\"的建模過(guò)程，從而掌握“植樹(shù)問(wèn)題\"的解法，初步形成“模型意識(shí)”，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的能力。

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（廣西壯族自治區(qū)柳州市景行小學(xué)）