【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2025）23-0059-04

【作者簡(jiǎn)介】，黨支部書記兼校長(zhǎng)，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”明確提出：“通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。\"因此，教師需要從整體上把握教材，理解教材內(nèi)容的前后聯(lián)系，將有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)串聯(lián)，有針對(duì)性地系統(tǒng)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及性質(zhì)之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

蘇科版初中數(shù)學(xué)新教材將原屬于“圖形的變化”主題的內(nèi)容進(jìn)行了優(yōu)化、重整，集中安排在七年級(jí)下冊(cè)的第9章《圖形的變換》。這種安排有助于學(xué)生理解三種變換（剛體運(yùn)動(dòng)）的共性與特征，整體感悟圖形變換的思想方法。下面，筆者結(jié)合新課標(biāo)的具體要求，對(duì)蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)“平移”一節(jié)進(jìn)行內(nèi)容分析與提出教學(xué)建議。

一、“圖形的平移”內(nèi)容分析

1.“平移”的本質(zhì)分析

圖形的平移的實(shí)質(zhì)就是把一個(gè)圖形上的每一個(gè)點(diǎn)沿著一定方向平行移動(dòng)相同的距離。圖形的平移包含兩個(gè)要素：平移方向和平移距離。圖形平移的性質(zhì)有：（1）圖形的形狀與大小不變（全等）；（2）對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等；（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段平行（或在同一直線上）且相等；（4）圖形頂點(diǎn)字母排列順序的方向不變。

2.“平移”的新課標(biāo)要求

新課標(biāo)從內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示三個(gè)方面對(duì)平移給出了具體要求。

內(nèi)容要求：通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索它的基本性質(zhì)，一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等；認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；運(yùn)用圖形的平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

學(xué)業(yè)要求：理解平移這樣的圖形運(yùn)動(dòng)，知道平移的基本特征，會(huì)用圖形的運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界；發(fā)展幾何直觀和空間觀念。

教學(xué)提示：可通過(guò)信息技術(shù)的演示或?qū)嵨锏牟僮鳎寣W(xué)生感悟平移變化的基本特征，知道對(duì)變化的感知需要參照物，可借助參照物述說(shuō)圖形變化的基本特征;知道平移有一個(gè)基本性質(zhì)，即圖形中任意兩點(diǎn)間的距離保持不變，夾角也保持不變。

3.“平移”教學(xué)內(nèi)容的安排

平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)是初中幾何的難點(diǎn)，蘇科版舊教材中將這些內(nèi)容分散在七、八兩個(gè)年級(jí)學(xué)習(xí)：“平移”的內(nèi)容安排在七下第7章《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》的第3節(jié)，“軸對(duì)稱”的內(nèi)容安排在八上全等三角形后，“旋轉(zhuǎn)\"的內(nèi)容安排在八下《中心對(duì)稱圖形—平行四邊形》的第1節(jié)。這樣的安排內(nèi)容分散，時(shí)間跨度長(zhǎng)，缺乏整體性和系統(tǒng)性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)無(wú)法感悟知識(shí)間的結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性，所掌握的知識(shí)是零散的，無(wú)法有效構(gòu)建完整的知識(shí)體系，不利于學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究圖形，更不能為后續(xù)運(yùn)用圖形變換的思想研究幾何圖形提供關(guān)聯(lián)的路徑。

在新教材中，“平移”是第9章《圖形的變換》的第一節(jié)課，也是章起始課，共2課時(shí)。第1課時(shí)先基于生活中的一些\"平行移動(dòng)\"現(xiàn)象描述平移的運(yùn)動(dòng)特征，再由平移三角板畫平行線的經(jīng)驗(yàn)得出平移的幾何特征，引出平移的定義，再由定義得到平移作為剛體運(yùn)動(dòng)的剛體屬性，同時(shí)強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的相等關(guān)系。第2課時(shí)討論平移特有的基本性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)的方向和距離保持不變。利用平移的基本性質(zhì)一方面可以判斷方格紙背景下的兩個(gè)圖形是否可以看作平移變換的結(jié)果，也可以利用尺規(guī)作圖完成簡(jiǎn)單的平移過(guò)程。

二、“圖形的平移”教學(xué)建議

數(shù)學(xué)知識(shí)具有高度的系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化特征?！捌揭芢"章起始課教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)整體建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維，讓學(xué)生理解從哪些方面對(duì)平移進(jìn)行研究，從而初步感知本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容，且能通過(guò)章起始課教學(xué)，把將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容納入知識(shí)體系中思考，以便對(duì)平移有良好認(rèn)知，明確它的去向（應(yīng)用）。

1.從關(guān)注“畫\"的動(dòng)作到強(qiáng)調(diào)平移的運(yùn)動(dòng)特征

七年級(jí)學(xué)生對(duì)于用三角板畫平行線比較熟悉，但以前關(guān)注的是“畫”的動(dòng)作，并不強(qiáng)調(diào)平移是有方向和距離的。那如何讓學(xué)生在直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上形成平移的概念？在學(xué)生畫平行線時(shí)，教師可以提問(wèn)：若把這個(gè)直尺拿走，在平面上“移動(dòng)”一塊三角板，一定能保證這樣的移動(dòng)是“平移\"嗎？從而讓學(xué)生明白，直尺起的作用不僅是畫線，更重要的是確定三角板移動(dòng)的\"方向”，即這條直線的方向。教材中把畫平行線這個(gè)活動(dòng)作為一個(gè)中間的過(guò)程，就是為了讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)的圖形之間的一個(gè)過(guò)程。

2.在平移概念的建構(gòu)過(guò)程中突出基本概念與基本技能

平移概念教學(xué)的關(guān)鍵是讓學(xué)生會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去研究圖形變換。在概念形成上，新教材的定義和舊版本是不同的。新教材中平移概念的引出是依據(jù)圖形的變換本身來(lái)進(jìn)行的，因此這里的平移是指兩個(gè)圖形之間的一種變換關(guān)系。另外，平移概念的難點(diǎn)主要在于“平行移動(dòng)”時(shí)它是既有方向的，也有距離的。因此，在畫平行線的過(guò)程中，教師要重點(diǎn)讓學(xué)生關(guān)注三角板的運(yùn)動(dòng)特征：哪些位置（或數(shù)量）數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化？哪些沒(méi)有發(fā)生變化？為此，教師可以畫出三角板“平行移動(dòng)\"前后的兩個(gè)不同位置，并找出各種對(duì)應(yīng)關(guān)系，如 ΔABC 和 ΔA^′B^′C^′ 對(duì)應(yīng)，點(diǎn)A與點(diǎn) A^′ 對(duì)應(yīng)，線段 AB 與線段 A^′B^′ 對(duì)應(yīng)， ∠ABC 和 ∠A^′B^′C^′ 對(duì)應(yīng)等。

3.在平移概念的鞏固中訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言

為了加強(qiáng)平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三者之間的聯(lián)系，新教材設(shè)計(jì)了一些統(tǒng)一的背景，使學(xué)生初步嘗試同一個(gè)問(wèn)題的不同處理方式，感悟不同變換之間的聯(lián)系。例如，在得出平移的定義后，教材選用了以下一個(gè)圖形（如圖1）：哪些三角形可以由△ABC平移得到？寫出平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。

對(duì)圖1的研究貫穿后續(xù)軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的教學(xué)。教材用這樣一個(gè)一以貫之的圖，一方面是讓學(xué)生感悟同一個(gè)對(duì)象用不同的視角來(lái)觀察會(huì)得到不同的結(jié)果；另一方面，則讓學(xué)生體會(huì)三種變換之間的內(nèi)在聯(lián)系。

怎么去描述這個(gè)平移的幾種路徑？不僅要讓學(xué)生知道平移，而且要把它講明白、寫清楚，會(huì)用合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)。這就要求學(xué)生先要給圖形標(biāo)識(shí)字母，并且能夠表示出平移的方向和距離，快速找出與 ΔABC 對(duì)應(yīng)的三角形，以及與點(diǎn) A，B，C 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，并關(guān)注字母符號(hào)的推理價(jià)值：如圖2， ΔABC 與ΔEAD 對(duì)應(yīng)，即可推出點(diǎn) A 與 E 對(duì)應(yīng)， AC 與 ED 是對(duì)應(yīng)線段，逐步養(yǎng)成按照對(duì)應(yīng)點(diǎn)標(biāo)記對(duì)應(yīng)三角形的好習(xí)慣。當(dāng)然，后續(xù)還可以就四邊形等的組合圖形進(jìn)行類似研究。

（圖1）

（圖2）

教材設(shè)計(jì)這樣一個(gè)活動(dòng)的目的就是讓學(xué)生知道在初中幾何研究圖形的時(shí)候，首先要會(huì)進(jìn)行標(biāo)記，其次要講明白、寫清楚，學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)圖形，而不只是停留在小學(xué)階段的觀察。

4.在例習(xí)題中探求平移的基本性質(zhì)

教材例題延續(xù)小學(xué)階段用的方格紙，研究基本的圖形之間的變換規(guī)律。其主要目的是讓學(xué)生作圖比較方便，同時(shí)也有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)平移的基本性質(zhì)。這里借助方格紙?zhí)骄科揭频男再|(zhì)，不能仍停留在小學(xué)階段對(duì)簡(jiǎn)單平移現(xiàn)象的欣賞和簡(jiǎn)單圖形的平移作圖，而是要基于對(duì)基本幾何圖形的平移的分析、歸納，得到平移的基本性質(zhì)，同時(shí)讓學(xué)生明白：圖形的變換就是對(duì)圖形的整體進(jìn)行操作，對(duì)應(yīng)圖形之間的關(guān)系（位置和數(shù)量）都由某些點(diǎn)完全確定。

如圖3，要畫出 ΔABC 平移后的 ΔA^′B^′C^′ 關(guān)鍵是找到三個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，找對(duì)應(yīng)點(diǎn)的依據(jù)便是平移的定義。圖中的線段 AA^′ 已經(jīng)指明了平移的方向和距離，借助方格紙，可讓學(xué)生用不同方法找到分別以 B，C 為端點(diǎn)的，平行且等于 AA^′ 的線段，即可確定對(duì)應(yīng)點(diǎn) B^′，C^′ 。

（圖3）

在此基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生繼續(xù)思考：

問(wèn)題1在圖3中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平移方向是否都與 AA^′ 相同？如何用符號(hào)語(yǔ)言表示相同的平移方向？平移的距離與 AA^′ 的長(zhǎng)度一樣嗎？如何用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)？

問(wèn)題1的關(guān)鍵是讓學(xué)生通過(guò)觀察，運(yùn)用直尺、三角板等工具進(jìn)行驗(yàn)證。操作是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要手段。同時(shí)，把平移的方向用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)）轉(zhuǎn)化為平行線段，平移的距離用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)）轉(zhuǎn)化為平行線段的長(zhǎng)度，為后面尺規(guī)作平移圖形做準(zhǔn)備。隨后再進(jìn)行交流、總結(jié)，得出平移變換的特征，即平移的基本性質(zhì)。

問(wèn)題2隱藏圖3中的方格紙，平移線段AB，使點(diǎn) A 移到點(diǎn) A^′ 的位置，畫出平移后的線段。

沒(méi)有了方格紙搭設(shè)的“腳手架”，原先觀察后直接找的方法不能用了。問(wèn)題2的關(guān)鍵是會(huì)運(yùn)用平移的性質(zhì)畫出符合題設(shè)條件的圖形，這是平移變換基本性質(zhì)的應(yīng)用，其難點(diǎn)是如何運(yùn)用基本性質(zhì)確定點(diǎn) B^′ 的位置。同時(shí)，這里畫一條線段平移后的對(duì)應(yīng)線段，是后續(xù)畫平移圖形的基本步驟

問(wèn)題3設(shè)點(diǎn) D 為線段 AB 的中點(diǎn)，線段AB平移到 A^′B^′ 后，點(diǎn) D 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是哪一個(gè)點(diǎn)？

問(wèn)題3旨在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圖形變換是剛體變換的理解，特別是“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”的理解：圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都可以在對(duì)應(yīng)圖形上找到唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。當(dāng)然也可以找其他一些特殊的等分點(diǎn)。

新教材在例習(xí)題設(shè)置上是有梯度的，目的是讓學(xué)生在難度不斷提升的活動(dòng)中鞏固對(duì)平移概念的理解，再應(yīng)用平移概念及基本性質(zhì)去畫圖。在根據(jù)性質(zhì)畫圖的時(shí)候需要學(xué)生標(biāo)出平移的方向和距離，學(xué)會(huì)從圖形運(yùn)動(dòng)角度去認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度觀察生活中的圖形，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展幾何直觀和空間觀念。

5.在教學(xué)小結(jié)中指明研究幾何變換的一般路徑和方法

平移是學(xué)生在初中遇到的第一個(gè)幾何變換，新教材把它分為兩個(gè)課時(shí)內(nèi)容，目的是告訴學(xué)生研究幾何變換的一般路徑和方法，也是為后續(xù)兩個(gè)變換“打樣”。因此，小結(jié)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)整個(gè)研究思路：

現(xiàn)實(shí)或生活情境中抽象出幾何對(duì)象（如圖形運(yùn)動(dòng)和變換）一根據(jù)幾何研究對(duì)象的特征歸納出相關(guān)概念（如平移定義）一由定義出發(fā)進(jìn)行實(shí)踐操作、探究發(fā)現(xiàn)其基本性質(zhì)一應(yīng)用定義和性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題，這是學(xué)習(xí)圖形變換或幾何研究的一般方法和路徑。同時(shí)知道平移的兩類性質(zhì)：一是剛體運(yùn)動(dòng)的共性（由定義得到），二是平移的特性（基本性質(zhì)）。

蘇科版新教材集中學(xué)習(xí)平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，主要是幫助學(xué)生更好地理解平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的共性與特性，也為后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)提供更多從變換視角觀察、思考和表達(dá)圖形及其性質(zhì)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生逐步理解變換的思想方法。同時(shí)，平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)與教學(xué)要求基本類似，學(xué)生在學(xué)習(xí)了平移的內(nèi)容后，可以借助類比和遷移順利進(jìn)行后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)?？傊?，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生整體感悟圖形變換的思想方法，關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在邏輯，通過(guò)類比尋找關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的遷移。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

助理編輯：王一民