為了貫徹落實(shí)新課標(biāo)要求的“三會(huì)”目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生積極探究與解決問題的能力，近年來，部分地、市的初中學(xué)業(yè)水平考試中出現(xiàn)了一些設(shè)題新穎的“問題探究\"類數(shù)學(xué)題型.這類題型注重考查基礎(chǔ)知識(shí)，通過引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、手腦并用，在對(duì)問題的思考與探索中驗(yàn)證、總結(jié)數(shù)學(xué)結(jié)論與規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索、探究與創(chuàng)新，旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合能力[].解答這類題型要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，除了通過動(dòng)腦動(dòng)手、探究、驗(yàn)證（或證明）等方式，還要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.

1真題賞析

例1（2025年3月山東省菏澤市中考模擬試題）（1）【實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)】初三（2）班的呂浩同學(xué)進(jìn)行了圖形折疊實(shí)驗(yàn)：如圖1，在矩形ABCD中，已知 E 是 AD 的中點(diǎn)，他把△ABE沿 BE 折疊后得到 ΔGBE ，且點(diǎn) G 在矩形 ABCD 內(nèi)部.他嘗試將BG延長(zhǎng)后交 DC 于點(diǎn)F ，這時(shí)他發(fā)現(xiàn) GF=DF ，你認(rèn)為正確嗎？說明理由.

（2）【計(jì)算驗(yàn)證】根據(jù)（1）中的條件，當(dāng) DC=2DF 時(shí)，求 的值.

（3）【類比探究】根據(jù)（1）中的條件，當(dāng) DC=nDF 時(shí)，求 的值.

解析：（1）在圖1中，按照呂浩同學(xué)的做法，連接EF 后，可知 ∠EGF=∠D=90^° ， EG=AE=ED ，EF=EF ，所以 RtΔEGF?RtΔEDF ，則 GF=DF

所以，呂浩同學(xué)的發(fā)現(xiàn)是正確的.

（2）由（1）可知， GF=DF .設(shè) DF=x，BC=y ，則有 GF=x ， AD=y .因?yàn)?DC=2DF ，所以 CF=x ，DC=AB=BG=2x ，于是 BF=BG+GF=3x 在RtΔBCF 中，由 BC²+CF²=BF² ，可得 y²+x²= （3x）² ，所以 ，則 ：

（3）由（1）可知， GF=DF .設(shè) DF=x，BC=y ，則有 GF=x AD=y .因?yàn)?DC=nDF ，所以 DC=AB= BG=nx ，則 CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x 在 RtΔBCF 中，根據(jù) BC²+CF²=BF² ，可得 y²+} [（n-1）x]²=[（n+1）x]² ，所以 ，則

思路與技巧：本題側(cè)重考查圖形的折疊變化，把矩形折疊成三角形后再求出線段的比值.解答本題要用到添加輔助線證明三角形全等，靈活運(yùn)用勾股定理與等量代換進(jìn)行計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)與技巧.

2類題演練

例2（2024年山東省濟(jì)南市稼軒學(xué)校中考模擬試題）如圖2，在 ΔABC 中， ∠ACB= 90^°，BC 的垂直平分線 DE 交BC 于點(diǎn) D ，交 AB 于點(diǎn) E ，點(diǎn) F 在 DE 上，并且 AF=CE

（1）試證：四邊形 ACEF 是平行四邊形.

（2）探究： ① 當(dāng) ∠B 的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并說明你的結(jié)論.

② 四邊形ACEF有可能是正方形嗎？請(qǐng)說明理由.

（1）證明：由 DF 是 BC 的垂直平分線，知 DF⊥BC DB=DC ，則 ∠FDB=∠ACB=90^° ，所以 DF//AC

所以 E 為斜邊 AB 的中點(diǎn)，則 ，所以 ∠1=∠2

由 EF//AC ， AF=CE=AE ，得 ∠2=∠1= ∠3=∠F ：

在 ΔACE 和 ΔEFA 中，因?yàn)?∠1=∠3，∠2= ∠F，AE=EA ，所以 ΔACE?ΔEFA ，則 AC=EF ：

所以，四邊形 ACEF 是平行四邊形.

（2）解析： ① 當(dāng) ∠B=30^° 時(shí)，四邊形ACEF是菱形.

理由如下：在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° ∠B= 30^° ，于是 .由（1）可知， E 是 AB 的中點(diǎn)，所以 ，所以 AC=CE .所以，四邊形 ACEF 是菱形.

② 四邊形 ACEF 不可能是正方形.

理由如下：由（1）可知， E 是 AB 的中點(diǎn)，所以 CE 在△ABC的內(nèi)部，于是 ∠ACElt;∠ACB=90^°. 所以，四邊形 ACEF 不可能是正方形.

思路與技巧：本題考查了三角形，以及菱形、平行四邊形的性質(zhì)與判定等平面幾何基礎(chǔ)知識(shí).探究四邊形能否成為正方形的關(guān)鍵是通過幾何證明來判斷，所以解題的思路與技巧就是掌握并熟練地運(yùn)用三角形、四邊形的性質(zhì)與相關(guān)定理進(jìn)行證明.

第（1）小題是通過證明三角形全等來推證平行四邊形.第（2）小題第 ① 問充分利用了直角三角形的中線定理證明菱形；第 ② 問只需證明四邊形的其中一個(gè)角不是直角就達(dá)到了目的.

例3（2024年甘肅省隴南市中考模擬試題） AB 是 ?O 的直徑，把AB分成 n 條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，設(shè) AB= a ，那么 ?O 的周長(zhǎng) ι=πa ，如圖3，把AB分成兩條相等的線段，那么每個(gè)小圓的周長(zhǎng)為

（1）類推計(jì)算

① 如圖4，如果把 _AB 分成三條相等的線段，那么每個(gè)小圓的周長(zhǎng) l₃ 是多少[2]？

② 如果把AB分成四條相等 的線段，每個(gè)小圓的周長(zhǎng) l₄ 是 多少？

③ 如圖5，如果把AB分成 n 條相等的線段，試推導(dǎo)出每個(gè)小圓的周長(zhǎng) 的通用公式.

（2）探究結(jié)論

① 探究小圓周長(zhǎng)與大圓周長(zhǎng)的關(guān)系；

② 探究每個(gè)小圓面積與大圓面積的關(guān)系.

解析： （1）① 由圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系可知， l₃=

（2） ① 每個(gè)小圓的周長(zhǎng)是大圓周長(zhǎng)的

② 在圖3中，每個(gè)小圓面積為 ，大圓面積為 ，小圓面積是大圓面積的

在圖4中，每個(gè)小圓面積為 ，小圓面積是大圓面積的

在圖5中，每個(gè)小圓面積為 ，小圓面積是大圓面積的

思路與技巧：本題考查大圓與小圓的圖形變化，涉及到圓的直徑、周長(zhǎng)與面積等基礎(chǔ)知識(shí).解題的切入點(diǎn)與技巧表現(xiàn)為精確的類推計(jì)算與嚴(yán)密的推導(dǎo)公式.由于圓的直徑、周長(zhǎng)的變化導(dǎo)致圖形發(fā)生了變化，因此依據(jù)對(duì)圓周長(zhǎng)、圓面積的計(jì)算結(jié)果，通過對(duì)照比較，即可推導(dǎo)出小圓周長(zhǎng)的通用公式以及小圓與大圓的周長(zhǎng)、面積關(guān)系.

從上述典例的解析中可以看出，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)可以巧解平面幾何圖形變化類探究性題型.不管圖形發(fā)生怎樣的變化，只要熟練掌握了幾何圖形的基本性質(zhì)與相關(guān)定理，找出并充分利用好平面幾何圖形內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，經(jīng)過仔細(xì)觀察和準(zhǔn)確的計(jì)算、推導(dǎo)或證明，即可輕松解決這類問題.

探究性學(xué)習(xí)在初中數(shù)學(xué)課程中具有重要的作用3，目前，“問題探究”已成為新課標(biāo)、新課改背景下中考數(shù)學(xué)的一種新題型.研討這類問題，既有助于培養(yǎng)學(xué)生勤學(xué)好問、積極思考、質(zhì)疑問難，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力，又能夠培養(yǎng)學(xué)生的探究與創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]李發(fā)斌.教材中“探究性問題”的類型與求解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（初二初三學(xué)生版），2004（1）：114-115.

[2]黃榮華.淺談幾何教學(xué)中的類比遷移法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（6）：83.

[3]蘇洪雨，楊洋.跨學(xué)科項(xiàng)目式導(dǎo)向考查數(shù)學(xué)探究創(chuàng)新——2024年中考“綜合與實(shí)踐”專題解題分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2024（23）：50-61.