數(shù)學(xué)教學(xué)就是以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022版）》界定的“課程內(nèi)容”為載體，使學(xué)生在獲得“四基”形成“四能\"的過(guò)程中，逐漸形成與培養(yǎng)九大核心素養(yǎng)，最終實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”的課程目標(biāo).

核心素養(yǎng)是在學(xué)生參與活動(dòng)的過(guò)程中逐漸形成與發(fā)展的，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生參與哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)才能很好地形成核心素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”的目標(biāo)呢？

1觀察活動(dòng)

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”強(qiáng)調(diào)的是用“數(shù)學(xué)的眼光\"進(jìn)行“觀察”我們應(yīng)明確“數(shù)學(xué)眼光”和“觀察\"兩個(gè)關(guān)鍵詞.

數(shù)學(xué)眼光是生發(fā)于數(shù)學(xué)學(xué)科特性視角的一種思考，關(guān)注的是數(shù)學(xué)的“數(shù)量關(guān)系與空間形式”，彰顯的是“思想材料的形式化抽象”特點(diǎn)，主要是在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行的思維切換.觀察是學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的一種方法，也是學(xué)生獲取知識(shí)的途徑之一.觀察已經(jīng)成為人們進(jìn)行科學(xué)研究的重要方法.數(shù)學(xué)觀察是人們對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象有目的、有計(jì)劃的視覺(jué)感知.

在初中學(xué)段，數(shù)學(xué)眼光的形成主要依賴學(xué)生已經(jīng)具備的四種素養(yǎng)，分別是抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí).核心素養(yǎng)的這四種具體表現(xiàn)是形成數(shù)學(xué)眼光的基礎(chǔ)，換言之，數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過(guò)培養(yǎng)這四種具體素養(yǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)形成數(shù)學(xué)眼光的目的.

數(shù)學(xué)觀察在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，它能幫助人們理解數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)猜想，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.數(shù)學(xué)觀察常用的途徑包括圖示、列表、計(jì)算、實(shí)驗(yàn)等.

案例1 求 的值.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法后，為利用“一元二次方程\"這個(gè)載體培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，設(shè)計(jì)了此問(wèn)題.這是一個(gè)無(wú)窮繁分式的求值問(wèn)題，學(xué)生過(guò)去從未見(jiàn)過(guò)，根本不認(rèn)識(shí)，因此，用“常規(guī)”的思路不能解決.如何理解并求值？

教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上面的繁分式進(jìn)行觀察、思考，并交流自己的發(fā)現(xiàn).學(xué)生交流后，發(fā)現(xiàn)“ 1+ ”的分母也是一個(gè)繁分式，而且表現(xiàn)形式與原來(lái)的繁分式完全一樣.這就是原分式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)這一“特征\"后，思路打通，問(wèn)題獲解.

設(shè) 則 ，去掉分母后 得一元二次方程 a²-a-1=0 ，解得

解答本題有助于學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí).

啟發(fā)我們，在面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)從數(shù)學(xué)問(wèn)題本身入手，觀察題目組成部分的特征以及相互之間具有的關(guān)系，然后通過(guò)聯(lián)想、類比、模擬和歸納等分析綜合手段，把問(wèn)題化歸為較熟悉的或簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而確定解題策略.對(duì)于一些從未見(jiàn)過(guò)的“問(wèn)題”，鼓勵(lì)學(xué)生不要害怕，引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的眼光”去觀察、審視，也許能發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路.

學(xué)生觀察問(wèn)題的常用方法有：（1）觀察問(wèn)題的整體；（2）觀察圖形或式子的結(jié)構(gòu)特征；（3）觀察、挖掘隱含的條件；（4）觀察問(wèn)題的條件和結(jié)論的特征；（5）觀察式子相應(yīng)的圖形或圖形相應(yīng)的式子.

這在客觀上要求我們?cè)诮虒W(xué)中，要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)和形之間的關(guān)系，從中提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu).這樣的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、幾何直觀、空間觀念，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).

2思考活動(dòng)

初中階段的數(shù)學(xué)思維主要依賴于運(yùn)算能力和推理能力.數(shù)學(xué)教學(xué)可以通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力與推理能力實(shí)現(xiàn)“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的目的.學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行思考是必備的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也是他們將來(lái)工作或進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).

案例2結(jié)論正確的有幾何？

已知拋物線 y=ax²+bx+c 的頂點(diǎn)為 -，m），與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間（如圖1）.小亮在觀察、思考的基礎(chǔ)上，得到了下面四個(gè)結(jié)論：

（1）abcgt;0 （2）2b+cgt;0 ：

（3）若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) （-3，y₁），（3，y₂） ，則 _y1gt;y2 ：

（4）若關(guān)于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c-3=0 無(wú)實(shí)數(shù)根，則 mlt;3 ：

在以上四個(gè)結(jié)論中，你認(rèn)為正確的是

設(shè)計(jì)意圖：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，利用圖象可以研究其性質(zhì)，根據(jù)圖象可以判斷出二次函數(shù)和一元二次方程根之間的關(guān)系.為考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握情況，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，我們?cè)O(shè)計(jì)了這道題目，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

學(xué)生借助圖象的直觀特點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)思考、計(jì)算、推理活動(dòng)不難給出下面的解答過(guò)程：

（i）因?yàn)閽佄锞€ y=ax²+bx+c 的頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ，所以 也即 ，則abgt;0. 由圖1可知，拋物線開口方向向下，即 alt;0 ，所以 blt;0. 當(dāng) x=0 時(shí)， 所以 abcgt;0 ，故（1）正確.

（i）由圖象可得，當(dāng) x=1 時(shí)， y=a+b+clt;0 ，又a=b ，所以 2b+clt;0 ，因此結(jié)論（2）錯(cuò)誤.

（ii）因?yàn)橹本€ 是拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)（-3，y₁），（3，y₂） 兩點(diǎn)與對(duì)稱軸 的距離分別為 d₁，d₂ ，所以可得 ，則 d₂gt;d₁

根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)其函數(shù)值越大，所以 _y1gt;y2 ，從而結(jié)論（3）正確.

（iv）因?yàn)殛P(guān)于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c- 3=0 無(wú)實(shí)數(shù)根，所以 Δ=b²-4a（c-3）lt;0.

整理，得 4ac-b²gt;12a ，所以

因此，結(jié)論（4）正確.

綜上，四個(gè)結(jié)論中，正確的有（1）（3）（4）.

《課標(biāo)（2022版）》指出“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”可見(jiàn)，數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩塊基石.可以說(shuō)數(shù)學(xué)自始至終都是圍繞著“數(shù)”和“形”這兩個(gè)概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的.在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系、方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.

學(xué)生通過(guò)解答本題，增強(qiáng)了動(dòng)手操作能力、觀察能力、推理能力以及抽象歸納能力.有助于培養(yǎng)“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的素養(yǎng)，還能積累探索類似問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)再遇到類似問(wèn)題時(shí)，憑借經(jīng)驗(yàn)也能進(jìn)行探索與解答.

讓學(xué)生親身經(jīng)歷規(guī)律的逐級(jí)抽象過(guò)程，體會(huì)在較復(fù)雜的圖形中尋找一般規(guī)律，從不同角度觀察圖形，用不同的表達(dá)形式呈現(xiàn)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生借助于“形”進(jìn)行思考和推理，加強(qiáng)對(duì)圖形變化的感受.學(xué)生在小組合作活動(dòng)中積極思考、質(zhì)疑、敢于展示，勇于發(fā)表自己的想法.

3交流活動(dòng)

所謂數(shù)學(xué)交流是指接收、加工、傳遞數(shù)學(xué)信息的動(dòng)態(tài)過(guò)程.在數(shù)學(xué)交流過(guò)程中，學(xué)生將經(jīng)歷從文本材料中獲取信息、加工信息與利用信息的系列過(guò)程.因此，在科學(xué)技術(shù)和日常生活中哪里使用數(shù)學(xué)，哪里就有數(shù)學(xué)交流.無(wú)論是從數(shù)學(xué)的角度還是從使用數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)交流都有極其重要的作用.

初中階段的數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)觀念、模型觀念與應(yīng)用意識(shí).教學(xué)中可通過(guò)培養(yǎng)這三種核心素養(yǎng)來(lái)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.

案例3怎樣確定橋建的位置？

設(shè)某河流兩岸是兩條互相平行的直線 Σ_m 和 n （如圖2），已知 A B 是位于河流異側(cè)的兩個(gè)村莊.現(xiàn)需在河上建一座與河岸垂直的橋，請(qǐng)問(wèn)橋建在哪可以使兩個(gè)村莊之間的路程最短？

設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查“兩點(diǎn)之間線段最短”以及平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用.首先平移河流讓 A 在河岸上（如圖3），然后過(guò)點(diǎn) A 作AA^′⊥ 直線 m^′ 交直線 n^' 于點(diǎn) A^′ ，連接 A^′B 交直線 n 于點(diǎn) D ，過(guò)點(diǎn) D 作 DC⊥ 直線 n 交直線 Ψ_m 于點(diǎn) .易得橋應(yīng)建在 CD 處，最短路徑是ACDB.

理由為：根據(jù)作圖過(guò)程可知，四邊形 AA^′DC 是平行四邊形， AC=A^′D，AC+CD+DB=A^′D+CD+ DB=A^′B+CD .所以 ACDB 是最短路徑.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言日益成為人們交流的科學(xué)語(yǔ)言.交流可以幫助學(xué)生在非正式的、直覺(jué)的觀念與抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間建立起聯(lián)系，幫助學(xué)生把實(shí)際的、圖畫的、符號(hào)的、口頭的以及心智描繪的數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來(lái).學(xué)生通過(guò)解釋、推斷和對(duì)自己的思想進(jìn)行口頭或書面表達(dá)時(shí)，可以發(fā)展和深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.這對(duì)于利用課程內(nèi)容培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)至關(guān)重要.因此，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)交流是當(dāng)今國(guó)際數(shù)學(xué)教育共同關(guān)注的重要內(nèi)容.

本文中對(duì)應(yīng)“三會(huì)”的要求，舉例分析了觀察、思考、交流活動(dòng).需要指出的是，這三種活動(dòng)之間相互“滲透”，互相“補(bǔ)充”，例如在觀察活動(dòng)中既需要思考也需要交流，根據(jù)觀察得到的結(jié)果需要認(rèn)真思考才能明確，這種發(fā)現(xiàn)只有通過(guò)交流才能讓他人知曉、評(píng)判等，可見(jiàn)觀察離不開思考與交流.同樣，在學(xué)生開展思考、交流活動(dòng)時(shí)也需要另外兩種活動(dòng)的“參與”。