《21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究》指出，培養(yǎng)與提升學生的高階思維能力是目前乃至未來較長時間的重要教育目標.[1高階思維的形成不是自然發(fā)生的，是面對“真實世界的困惑”和“復雜的問題情境”形成的分析、評價、創(chuàng)造能力.高階思維的發(fā)展具有一定的復雜性與不確定性，在培養(yǎng)目標上表現(xiàn)為問題解決、思辨能力、批判性思維等能力的綜合，在深度學習、問題解決等學習活動中呈現(xiàn)螺旋上升式發(fā)展（如圖1）.

以促進學習者高階思維發(fā)展為目標指向的教學活動與課程學習，是實現(xiàn)高階思維培養(yǎng)的有效方式.本文以人教A版《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》第八章“祖恒原理與柱體、錐體的體積”為例，首先，引導學生體悟不規(guī)則幾何體體積求解的困難，感受千百年來中外數(shù)學家定量研究不規(guī)則幾何體的困難，幫助學生親歷思維遷移和化歸的過程；其次，通過類比，將二維平面中不規(guī)則平面多邊形面積相等的條件遷移到三維空間中不規(guī)則幾何體體積相等的結(jié)論，理解祖恒原理，深度學習柱體、錐體體積公式的證明和推理，引導學生自主探究牟合方蓋，掌握將復雜幾何體體積問題轉(zhuǎn)化成熟悉的組合體體積問題的數(shù)學建模方法，實現(xiàn)從記憶、理解、應(yīng)用為主的低階思維到分析、評價、創(chuàng)造為主的高階思維提升的目標.[2]

1案例教學過程

1.1反思已有經(jīng)驗，生成數(shù)學問題

問題1請說說你學過哪些平面幾何圖形的面積公式？

生：矩形、正方形、梯形、菱形、平行四邊形、三角形、圓形、扇形.

師：長方形的面積公式是小學三年級的學習內(nèi)容，定義一個邊長為1的正方形的面積為1，長方形面積公式為 S=ab，a，b 代表的是長和寬分別為 a 和b 個單位長度.為什么我們在這里要強調(diào) a 和 b 的意義？在物理學、化學等自然學科中這樣的定義是很常見的，如質(zhì)量量值以保存在法國國際計量局的鉑銥合金千克原器實物為唯一基準器，質(zhì)量為 ψ_m 的物體指的是質(zhì)量為 ψ_m 個單位質(zhì)量.等底等高的矩形和平行四邊形的面積是什么關(guān)系？

生：相等.

師：為什么相等？你們是如何得到相等這個結(jié)論的？能否證明？

師：平行四邊形、三角形、梯形這些規(guī)則圖形我們可以通過切割和補形的方式構(gòu)造成規(guī)則圖形進行面積的求解，如果是不規(guī)則的平面多邊形我們應(yīng)該如何求解面積？我們動手操作一個數(shù)學實驗，

實驗探究：在白紙上畫兩條平行直線，每位同學從筆盒里取一支筆（把筆看成固定長度的一條線）在兩平行直線之間移動可以形成什么樣的圖形？

（1）如果沿垂直于兩條平行直線的方向移動，筆所形成的軌跡是矩形，

（2）如果筆與平行直線形成一個夾角（不等于90^°. ），沿著與實驗步驟（1）同一個方向移動相同的距離所形成的軌跡是一個普通的平行四邊形；不難發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形與實驗步驟（1）所得到的矩形是等底等高的關(guān)系，通過切割能夠發(fā)現(xiàn)兩個平面圖形的面積相等.

（3）如果我們可以拿筆在兩平行直線之間保持向上運動的狀態(tài)隨意移動，請問如何移動所形成的軌跡圖形面積最大？隨機移動得到的不規(guī)則圖形面積與平行四邊形和矩形的面積有什么關(guān)系？

問題2通過以上實驗?zāi)隳軌虻玫绞裁唇Y(jié)論？能否用語言描述你得到的結(jié)論？這個結(jié)論可以幫助你解決哪些數(shù)學問題？

通過實驗探究得到以下結(jié)論：夾在兩平行直線中的兩個平面圖形，被平行于這兩直線的任意直線所截，如果截得的兩線段的長度相等，那么這兩個圖形的面積相等.

師：進一步思考，如果把“任意”兩個字省略，結(jié)論是否依然成立？圓形的面積公式能否應(yīng)用這一結(jié)論進行證明？我們發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論可以幫助我們將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形面積進行求解，能否將這一結(jié)論從二維平面推廣到三維空間？

【設(shè)計意圖】教師以學生已有的生活經(jīng)驗入手，引導學生用數(shù)學眼光觀察生活現(xiàn)象[3]，反思已有的生活經(jīng)驗，生成數(shù)學問題，促進學生應(yīng)用數(shù)學知識探究數(shù)學問題，通過動手操作感知動點成線、動線成面得到等面積原理并充分理解這一結(jié)論，從二維平面拓展到三維空間可以幫助學生更好地理解祖原理.學生普遍知道等底等高的平行四邊形的面積相等，也知道三角形、梯形、圓形和扇形的面積公式，但并不會證明，不知道為什么.追問學生能否證明，不是讓學生證明，而是引導學生思考圓的面積是通過微分的思想轉(zhuǎn)化為矩形的面積，旨在激發(fā)學生的學習興趣，引起學生持續(xù)思考.

1.2類比遷移獲新知，提升思辨思維

師：觀察講臺上的一擦書，當我們改變書的擺放方式（如圖2），這擦書的體積是否會因為擺放方式的變化發(fā)生改變？由此現(xiàn)象你能否得到有關(guān)幾何體體積的什么結(jié)論？

生：體積不變.

師：擺放的方式發(fā)生了變化，為什么你們認為體積沒有發(fā)生變化？我們是如何定義幾何體體積的？

生：一個幾何體所占空間的大小稱為幾何體的體積，擺放的方式雖然發(fā)生了變化，幾何體本身沒有發(fā)生變化.

師：我們在小學階段學習過長方體和正方體的體積，類比長方形的面積，我們定義一個棱長為1的正方體的體積為1，長方體體積公式 V=abc 中的 a 、b，c 代表的是長、寬、高分別為 a，b，c 個單位長度.在小學階段我們也學習了圓柱體的體積公式 V= πr²h ，你能否根據(jù)所學知識推導圓柱體的體積？

學生搖頭.

師：我們知道動點成線、動線成面，那么移動平面能夠構(gòu)成空間幾何體.類比我們在二維平面中的等面積實驗探究出的結(jié)論推廣到三維空間中，應(yīng)該如何表述？

生：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體體積相等.

師：推廣到三維空間的結(jié)論我們能否設(shè)計一個定量實驗來驗證我們的猜想？

實驗探究：一累書的擺放我們在測量體積的過程中會有一些困難.我們可以取三十枚硬幣、一個量筒、水（十枚硬幣為一組），根據(jù)阿基米德原理來測量硬幣的體積. ① 十枚硬幣為一組豎直擺放成圓柱并用細線固定，量筒中注入 50mL 清水，緩慢將硬幣完全浸入清水中，液面穩(wěn)定后讀取數(shù)據(jù)，得到硬幣的體積并記錄下來； ② 十枚硬幣為一組沿一個方向形成一個柱體用細線固定，量筒中注入 50mL 清水，緩慢將硬幣完全浸人清水中，液面穩(wěn)定后讀取數(shù)據(jù)，得到硬幣的體積并記錄下來； ③ 十枚硬幣一枚一枚緩慢放入注入 50mL 清水的量筒中，液面穩(wěn)定后讀取數(shù)據(jù)，得到硬幣的體積并記錄下來.

比較三次測量的數(shù)據(jù)并驗證猜想，

師：這個結(jié)論我們稱為等體積原理，其實小學階段我們已經(jīng)應(yīng)用了“祖晅原理”推導圓柱的體積（如圖3）.我國古代數(shù)學家祖恒在推導球體積公式的過程中提出“冪勢相同，則積不容異\"（祖晅原理），其中“冪\"是水平截面的面積，“勢”是高，“積”是體積，這就是我們通過實驗探究的空間等積原理.意大利數(shù)學家卡瓦列里（B.Cavalieri）也在17世紀給出了相同的結(jié)論，比祖晅晚了1100多年.祖晅原理可以幫助你解決哪些數(shù)學問題？

生：我們可以將不熟悉的幾何體體積轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何體體積.

師：你們能不能運用“祖恒原理”解釋一擦書擺放方式不同，體積沒有發(fā)生改變的現(xiàn)象？

生： ① 書本的高度沒有發(fā)生變化（高不變）； ② 同一層上每頁紙大小一樣（截面面積相等）； ③ 每層與放書本的桌面平行（平行底面）.

【設(shè)計意圖】將問題設(shè)置在學生思維最近發(fā)展區(qū)，有利于遷移學習的發(fā)生.運用已有的“等面積原理\"來學習“等體積原理”，兩個原理高度相似，而核心內(nèi)容中的“兩平行直線\"換成“兩平行平面”“長度相等的平行線段\"換成“面積相等的平行截面\"的變化都是一維轉(zhuǎn)化為二維，這種變化本身也是相似的，通過這種相似性的遷移可以達到遷移學習的目的，達到是舉一反三的效果.

1.3體悟祖晅原理，延伸問題解決能力

問題3回顧“祖晅原理\"推導圓柱體積的過程，等底等高柱體的體積是什么關(guān)系？能否用祖恒原理進行解釋？

生：柱體可以理解為底面各點沿相同方向移動相同距離所形成的幾何體，底面面積相等的柱體，用平行于底面的平面所截的截面積相等，符合祖原理.等底等高的柱體體積相等，轉(zhuǎn)化為長方體求柱體的體積.若柱體底面積為S，高為 h ，則體積 V=Sh

問題4等底等高的錐體體積相等嗎？能否用祖恒原理解釋？錐體轉(zhuǎn)化成怎樣的特殊幾何體求體積呢？能否直接驗證錐體體積是等底等高的柱體體積的？

生：圖4中的三棱錐和圓錐是兩個等底等高的錐體，用平行于底面的平面截取兩個幾何體，所截平面圖形均與底面相似. ，所以 S₁=S₂ .符合祖晅原理，所以等底等高的錐體體積相等.

如圖5所示，與三棱錐等底等高的三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 可以切割成三個三棱錐 C₁-ABC 、 C₁ 1A₁AB、C₁–A₁B₁B. 三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，對角線平分三棱柱側(cè)面面積，所以Vc1-ABC=VB-ACC，V_C1-A1AB=V_B-A1C1A ，即 V_B°AC1C=V_B°A1C1A .同理V_C1-A1B1B=V_C1-A1AB .因此， V_?B-AC1C=V_?B-A1C1A=

因為錐體都可以轉(zhuǎn)化為等底等高的三棱錐，等底等高的錐體體積相等，是與它等底等高的柱體體積的 ，所以

生：我們在小學六年級做過容積實驗，用等底等

高的圓柱和圓錐的容器裝滿細沙或者裝滿水，驗證

過錐體體積是等底等高的柱體體積的 業(yè)

問題5結(jié)合等面積原理推導平行四邊形、三角形、梯形面積公式的過程，你能否類比猜想柱體、錐體、臺體的體積公式是否具有類似的關(guān)系？如何推導臺體體積公式？你能否結(jié)合祖恒原理推導球體的體積？

生：臺體是用一個平行于某錐體底面的平面去截該錐體，底面與截面之間的部分稱為臺體.錐體體積滿足祖晅原理，所以等底等高的臺體體積也相等.

師：我們將半個球放在桌面上，用平行于桌面且高度為 h 的平面截取半球的截面面積為 S=π（R²- h²）=πR²-πh² ，根據(jù)祖恒原理，我們需要構(gòu)造一個怎么樣的幾何體滿足和半球等高且高度為 h 處的截面面積為 S=πR²-πh² ，如圖6所示，本質(zhì)是一個環(huán)形.

生：一個和半球等底等高的圓柱去掉一個等底等高的錐體符合要求.半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，所以 V_??=2（V_??-V_??）= （204

問題6觀察祖恒原理的條件，如果將“截面面積相等”改成“截面面積成比例”，那么兩個幾何體的體積又有怎么變化？

生：兩個等高的幾何體在等高處的水平截面的面積之比等于它的體積之比

延伸探究：夏季到了，我們用兩個半圓支蚊帳，請各小組利用祖晅原理探究半徑為 R 的蚊帳內(nèi)的空間.

進一步探究：能否結(jié)合球體積公式的思想探究橢球的體積公式？

【設(shè)計意圖】思維的過程是面對真實世界探索的序列鏈.這一思維過程從反思到探究，再到批判性思維，最后生成更具體的“可以推導分析的結(jié)論”.高階思維的提升是教師開展課堂教學活動的出發(fā)點和落腳點.學生已有的知識經(jīng)驗無法提供問題解決的方案，但具備可延伸與遷移性特征.而“解決方案的需要”，維持和引導著反思性思維的整個過程

2 回顧與反思

2.1高階思維的教學組織要關(guān)注繼承與創(chuàng)新

阿基米德、劉徽、祖沖之父子、卡瓦列里等古今中外的數(shù)學家在完善不規(guī)則幾何體體積求解的道路上，都經(jīng)歷了繼承與創(chuàng)新.提升思維水平的教學應(yīng)以學生已有的知識經(jīng)驗作為新知識經(jīng)驗的生長點，引導學生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗.

本節(jié)教學內(nèi)容的組織從學生熟悉的平面圖形出發(fā)，回顧平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，尋找面積公式的共性.通過等底等高的矩形面積與平行四邊形面積相等，生成“等面積原理”的猜想，深入分析“等面積原理”的核心條件，類比遷移生成“等體積原理”（祖恒原理）.通過任務(wù)鏈的方式引導學生自主探索，引發(fā)認知沖突.教師引導學生對探索新知過程所得到的猜想進行歸納闡述和分析論證，搭建新舊知識之間的橋梁，完善已有知識體系.高階思維的提升不僅體現(xiàn)在新知的生成方面，還體現(xiàn)在對已有知識、經(jīng)驗的批判性分析和深度思考上.

2.2高階思維的教學內(nèi)容要重視解構(gòu)與再構(gòu)

“解構(gòu)”概念源于德國哲學家海德格爾（M.Heidegger）的著作《存在與時間》中的“deconstruction”一詞，原意為分解、消解、拆解、揭示等.[4“解構(gòu)”一詞由錢鐘書先生翻譯，或譯為“結(jié)構(gòu)分解”.在教學過程中用于對已有知識經(jīng)驗背后蘊含的觀點、內(nèi)涵、外延、價值進行分解.本節(jié)課將等面積原理的兩個核心條件進行解構(gòu)：等高（夾在兩平行直線間）和等底（被平行于這兩平行直線的任意直線所截得的兩線段的長度總相等）.重新認識平行四邊形、三角形、梯形的面積，拓展理解圓的面積，類比遷移得到等體積原理（祖恒原理）的兩個核心條件：等高（夾在兩平行平面間）和等底（被平行于這兩平行平面間的任意平面所截得的截面面積總相等）.

傳統(tǒng)課堂教學內(nèi)容設(shè)計的問題聚焦具有“孤立、封閉、結(jié)構(gòu)良好\"特征的典型例題，在很大程度上忽略了與真實世界的聯(lián)系，拘泥于新舊知識內(nèi)容的串聯(lián)與重組，難以引發(fā)思維沖突.教師應(yīng)設(shè)計開放性問題來重新構(gòu)建教學內(nèi)容并引領(lǐng)學生自主開展反思、批判、創(chuàng)新等思維活動，促進高階思維的培養(yǎng)，

2.3高階思維的課堂評價要重視過程

高階思維是一種包含了創(chuàng)造、分析、綜合、關(guān)系建立和元認知等一系列認知成分的復雜思維過程，傳統(tǒng)測驗很難適配高階思維的評價.基于這些以記憶、理解、應(yīng)用為主的低階思維水平問題，如“半徑為5的球體的體積” 1，求-+ 2b的最小值”，教師有必要去總結(jié)什么樣的任務(wù)適合用來評價高階思維.

首先，任務(wù)的性質(zhì)不應(yīng)是選擇、判斷、簡答等限制性問題.這類問題通常傾向于在封閉的、有限的答案范圍內(nèi)讓學生做出回答，學生調(diào)用的知識技能有限，往往以單元內(nèi)或者學科內(nèi)的知識為基礎(chǔ)進行分析與整合，距離知識的遷移和抽象擴展的要求存在顯著差距.高階思維的課堂評價應(yīng)體現(xiàn)出學生綜合運用知識技能形成原創(chuàng)性的成果，如論文、調(diào)查報告、小課題、實踐作業(yè)設(shè)計等.其次，從任務(wù)的結(jié)構(gòu)來看，適合評價高階思維的問題應(yīng)具有開放性或結(jié)構(gòu)不良等特征，即解決問題所需的條件具有發(fā)散性（創(chuàng)造性），需要學生與問題情境進行交互和理解，如任務(wù)問題“如何用神奇的‘牟合方蓋'計算球體體積”“談?wù)剰蛿?shù)與平面向量之間的區(qū)別與聯(lián)系”.問題的本質(zhì)決定了思考的結(jié)果，思考的結(jié)果控制著思維的過程.

3結(jié)語

提升高階思維是當下課堂教學改革的重要趨勢.目前相關(guān)研究多聚焦于高階思維的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、發(fā)生機制等，缺少對于如何開展提升高階思維的課堂教學實踐的研究.本研究通過現(xiàn)象教學視域下提升高階思維的實踐研究，從具體案例出發(fā)，呈現(xiàn)了高中數(shù)學課堂教學中提升高階思維的詳細步驟，旨在某種程度上能夠深化學界對于高階思維的認識，同時能為廣大一線教師提供實踐案例參考.由于時間及能力限制，本研究給出的教學建議尚屬探索性成果，期待有更多的研究能深入課堂教學中，不斷優(yōu)化和完善在課堂教學中提升高階思維的方法，從而真正推動課程教學改革，促進人才培養(yǎng)質(zhì)量的提升，

參考文獻

[1]林崇德.21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M.北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]張義兵.美國的\"21世紀技能”內(nèi)涵解讀——兼析對我國基礎(chǔ)教育改革的啟示[J].比較教育研究，2012（5）：86-90.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.

[4]海德格爾.存在與時間[M.北京：商務(wù)印書館，2019.