《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“通過(guò)經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系；能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，分析、解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.\"因此，對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解不僅是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，也是發(fā)展解題思維的前提，更是適應(yīng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展的需求.然而，當(dāng)前初中概念教學(xué)中普遍存在以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程中常常以“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式一筆帶過(guò)，忽視學(xué)生的深入探究和思維開發(fā).數(shù)學(xué)概念作為構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基石，具有高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性.[2這些單純依靠機(jī)械記憶和反復(fù)解題的淺層學(xué)習(xí)使得學(xué)生難以理解概念的本質(zhì)，不能形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)概念的多元表征存在障礙，無(wú)法達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的.

1理論框架

1.1 APOS理論簡(jiǎn)介

1980年末，美國(guó)學(xué)者杜賓塞斯（Dubinsky）基于建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論提出了一種關(guān)于概念學(xué)習(xí)的理論（簡(jiǎn)稱“APOS理論\"）.APOS是Action（操作）、Process（過(guò)程）、Object（對(duì)象）、Schema（圖式）這四個(gè)詞的首字母縮寫，該理論由四個(gè)階段構(gòu)成，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)逐漸內(nèi)化和構(gòu)建的過(guò)程，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境為學(xué)生提供循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)路徑，從而逐步構(gòu)建對(duì)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性理解.

目前國(guó)內(nèi)已有許多將APOS理論與概念教學(xué)相結(jié)合的研究文獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)教育中產(chǎn)生的意義也是非同小可的.首先，APOS理論促進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象概念的深度理解.其次，APOS理論強(qiáng)調(diào)對(duì)象性，即把數(shù)學(xué)概念作為一個(gè)對(duì)象進(jìn)行研究和探討，這有助于教師精準(zhǔn)評(píng)估學(xué)生處于哪個(gè)階段，并根據(jù)學(xué)生目前的理解程度調(diào)整教學(xué).最后，APOS理論提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和批判思維，使得學(xué)生不再過(guò)分依賴教師的講解，而是能夠基于自身知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行輸出.

1.2深度學(xué)習(xí)理論背景

深度學(xué)習(xí)理論在教育界至今沒(méi)有統(tǒng)一的界定，最早是在1976年由美國(guó)學(xué)者馬頓（F.Marton）和薩喬（R.Saljo）提出的，他們區(qū)分了表層學(xué)習(xí)（SurfaceLearning）和深層學(xué)習(xí)（DeepLearning）這兩種學(xué)習(xí)過(guò)程，認(rèn)為深度學(xué)習(xí)涉及批判性思維、概念的整合以及跨情境知識(shí)應(yīng)用.3國(guó)內(nèi)最早對(duì)深度學(xué)習(xí)做出解釋的是何玲和黎加厚教授.他們認(rèn)為深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中，作出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí).[4]深度學(xué)習(xí)的核心就在于促使學(xué)生從被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)探索和構(gòu)建知識(shí).

2理論融合的基礎(chǔ)與實(shí)踐應(yīng)用

2.1理論聯(lián)系的邏輯基礎(chǔ)

首先，在APOS理論中，學(xué)生通過(guò)操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式四個(gè)階段，反復(fù)體驗(yàn)、反思和歸納，逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)幫助學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)能夠有條理地進(jìn)行分析和推理.該認(rèn)知結(jié)構(gòu)本質(zhì)上與深度學(xué)習(xí)所倡導(dǎo)的批判思維和問(wèn)題解決能力相契合.二者的融合將促使學(xué)生不僅能理解具體的概念，而且能在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)進(jìn)行批判性分析和創(chuàng)造性思考.其次，APOS理論幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這為知識(shí)的遷移與整合提供了良好的邏輯基礎(chǔ).深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在多種情境中應(yīng)用所掌握的知識(shí)，幫助學(xué)生跨越不同學(xué)科和領(lǐng)域進(jìn)行知識(shí)的遷移和綜合應(yīng)用.二者的融合將推動(dòng)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中理解這些知識(shí)，實(shí)現(xiàn)更廣泛的知識(shí)遷移.

APOS理論是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的途徑，而深度學(xué)習(xí)是以概念課為基礎(chǔ)、通過(guò)APOS理論實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo).二者的融合可以幫助學(xué)生在初中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，不僅能夠深入理解概念本質(zhì)，還能在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造性地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升具有顯著的作用.

2.2APOS理論與深度學(xué)習(xí)融合的設(shè)計(jì)路線

在深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)路線中，將深度學(xué)習(xí)的五大特征分別融入APOS理論的四個(gè)階段.這四個(gè)階段分別體現(xiàn)活動(dòng)與體驗(yàn)、聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、本質(zhì)與變式、遷移與創(chuàng)造這四個(gè)特征，而價(jià)值與評(píng)價(jià)則融入各個(gè)階段中，幫助學(xué)生得到及時(shí)反饋.具體融合的設(shè)計(jì)路線如圖1所示.

2.3融合的教學(xué)策略

2.3.1情境化學(xué)習(xí)與概念應(yīng)用

教師應(yīng)通過(guò)具體、真實(shí)的生活情境引入新概念，讓學(xué)生在真實(shí)情境中提出和探究問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的直觀感知，促使其從“操作”過(guò)渡到“過(guò)程\"的理解，明晰數(shù)學(xué)概念在真實(shí)情境中的實(shí)用性.

2.3.2探究式學(xué)習(xí)與小組合作

教師應(yīng)設(shè)計(jì)開放性探究任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在小組中進(jìn)行合作，集體討論和歸納，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同方案.通過(guò)小組合作和批判分析，讓學(xué)生在“過(guò)程”和“對(duì)象\"層面深化對(duì)概念的理解.

2.3.3實(shí)施自我評(píng)估和反饋循環(huán)

在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)自我評(píng)估和教師反饋，不斷檢查理解效果并優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)生在循環(huán)反饋中修正并完善對(duì)概念的理解，在“對(duì)象\"層面實(shí)現(xiàn)深度掌握，形成系統(tǒng)化的圖式，并遷移到新的情境中.

3教學(xué)設(shè)計(jì)方法

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基本單元，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其成效直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.[5加權(quán)平均數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，選自人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)》.它既是對(duì)算術(shù)平均數(shù)的深化和拓展，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他統(tǒng)計(jì)量積累經(jīng)驗(yàn).學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)掌握了簡(jiǎn)單平均數(shù)的概念和計(jì)算方法，能獨(dú)立完成數(shù)據(jù)的收集、整理和分析.然而，由于“權(quán)”的概念較為抽象，學(xué)生在理解其意義上可能會(huì)存有困難，同時(shí)對(duì)加權(quán)平均數(shù)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和實(shí)際應(yīng)用還不明確，達(dá)不到深度理解和靈活應(yīng)用的要求.因此，筆者將以“加權(quán)平均數(shù)”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，為相關(guān)研究提供教學(xué)參考.

3.1操作階段：情境引入、體驗(yàn)操作、直觀認(rèn)知

問(wèn)題情境1 2024年暑期，中國(guó)運(yùn)動(dòng)健兒在巴黎奧運(yùn)會(huì)上大放異彩.尤其是“斷層奪金、五跳驚世”的運(yùn)動(dòng)小將全紅嬋在女子10米跳臺(tái)決賽中衛(wèi)冕冠軍.假設(shè)她的五次成績(jī)分別為90分、84.8分、76.8分、90分、81.6分，你能計(jì)算出她的平均成績(jī)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)以往知識(shí)經(jīng)驗(yàn)求得平均成績(jī)?yōu)? 教師將式子簡(jiǎn)寫為 ，并讓學(xué)生觀察90、84.8、76.8、81.6這四個(gè)數(shù)據(jù)中，哪個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)平均成績(jī)影響最大.

問(wèn)題情境2實(shí)力與幽默并存的“梁王組合”就像是羽毛球場(chǎng)上的兩顆璀璨星辰，點(diǎn)燃了我們的激情.他們頑強(qiáng)拼搏、堅(jiān)持不懈的精神永遠(yuǎn)值得我們敬畏和學(xué)習(xí).那同學(xué)們知道國(guó)家隊(duì)是如何選出優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員去參賽的嗎？假如今天你是一名教練，根據(jù)表1的成績(jī)冊(cè)（單位：分），你該做出怎樣的抉擇呢？

師生活動(dòng)：教師給出情境問(wèn)題，學(xué)生思考后與同桌交流討論.有的學(xué)生采用之前學(xué)習(xí)的算術(shù)平均數(shù)計(jì)算甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)，再進(jìn)行比較.有的學(xué)生認(rèn)為計(jì)算平均成績(jī)的做法是不合理的，因?yàn)槊繄?chǎng)比賽的重要程度不同.教師引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突后，順勢(shì)引入今天的課題.

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合奧運(yùn)熱點(diǎn)和學(xué)生的興趣點(diǎn)，能夠有效激發(fā)學(xué)生的求知欲和探究欲望.問(wèn)題情境1可以讓學(xué)生初次體會(huì)數(shù)據(jù)的“頻次”對(duì)平均成績(jī)的影響；問(wèn)題情境2通過(guò)設(shè)置“選拔運(yùn)動(dòng)員”的情境，不僅增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性和實(shí)用性，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生思考權(quán)重設(shè)置的合理性，培養(yǎng)學(xué)生的分析和決策能力.

3.2過(guò)程階段：認(rèn)知聯(lián)結(jié)、抽象歸納、概念內(nèi)化（1）探究一：“權(quán)\"的定義.

問(wèn)題1根據(jù)表1，如何合理計(jì)算出甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員的總評(píng)成績(jī)？

師生活動(dòng)：在教師拋出問(wèn)題后，學(xué)生先獨(dú)立思考，再分組進(jìn)行交流討論，最后匯報(bào).學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)該賦予這三次成績(jī)不同的比重，可以采用前邊所學(xué)的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示.教師讓全班學(xué)生根據(jù)自己的衡量標(biāo)準(zhǔn)制定每場(chǎng)比賽所占的百分比，并計(jì)算出總評(píng)成績(jī)最高的情況；引導(dǎo)學(xué)生觀察不同的權(quán)重分配方式，并展示不同分配結(jié)果，幫助他們理解權(quán)重的意義.

問(wèn)題2除了百分?jǐn)?shù)，還可以采用哪些數(shù)據(jù)來(lái)刻畫每場(chǎng)比賽的重要程度？

師生活動(dòng)：教師通過(guò)提問(wèn)激活學(xué)生的舊知，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系新舊知識(shí).學(xué)生思考后認(rèn)為，分?jǐn)?shù)和比例都可以表示數(shù)據(jù)的重要程度.

追問(wèn)若將平時(shí)成績(jī)、選拔賽成績(jī)和亞運(yùn)會(huì)成績(jī)按照 2：5：3 的比例計(jì)算總評(píng)，哪位運(yùn)動(dòng)員的總評(píng)成績(jī)最高？若按照 2：4：4 的比例計(jì)算，結(jié)果又是如何？

（204號(hào)

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，每一項(xiàng)成績(jī)的占比不同，最后得到的結(jié)果是不一樣的.教師在此基礎(chǔ)上順勢(shì)給出“權(quán)\"的定義，即衡量各個(gè)數(shù)據(jù)重要程度的數(shù)值就叫“權(quán)”.隨后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不僅和數(shù)值本身有關(guān)，還跟各數(shù)值的“權(quán)\"有關(guān)；同時(shí)指出“權(quán)\"除了用比例還可以用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示.此外，引入“權(quán)”的英文單詞，再次加深學(xué)生對(duì)“權(quán)\"的理解.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題的逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生在不同權(quán)重分配的結(jié)果中感知“權(quán)”的實(shí)際意義，而不是直接給出“權(quán)”的定義.這有助于學(xué)生理解“權(quán)”在不同情境下的實(shí)際應(yīng)用，從而幫助學(xué)生通過(guò)抽象歸納建立起對(duì)“加權(quán)平均數(shù)\"背后的數(shù)學(xué)原理本質(zhì)的理解，

（2）探究二：“加權(quán)平均數(shù)\"的定義.

問(wèn)題3什么是加權(quán)平均數(shù)？加權(quán)平均數(shù)是怎樣計(jì)算的？若有 n 個(gè)數(shù) x₁，x₂，…，x_n 的權(quán)分別是 ，w₂，…，w_n ，則這 n 個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)該如何計(jì)算？

師生活動(dòng)：在學(xué)生明晰“權(quán)\"的定義后，教師引導(dǎo)學(xué)生再次觀察計(jì)算總評(píng)成績(jī)的算式，指出其中的2、5和3就是所謂的“權(quán)”，并說(shuō)明像94.6、94.1和94.2這樣通過(guò)加權(quán)計(jì)算得到的平均數(shù)稱為加權(quán)平均數(shù).在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生結(jié)合前面的計(jì)算過(guò)程，通過(guò)小組合作歸納加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式.最后，教師總結(jié)得出，若有 n 個(gè)數(shù) x₁，x₂，…，x_n 的權(quán)分別是τw₁，τw₂，…，τw_n n 個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題3的思維驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生由抽象的“權(quán)\"概念向理解“加權(quán)”在平均數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用邁進(jìn)，進(jìn)一步理解加權(quán)平均數(shù)的本質(zhì).學(xué)生先自主梳理加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，教師進(jìn)一步總結(jié)歸納.這不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和概括能力，幫助他們理解公式的來(lái)源和意義，還能提升概念內(nèi)化的深度，使其更好融入已有的數(shù)學(xué)圖式.

3.3對(duì)象階段：多維理解、批判分析、概念深化

問(wèn)題4兩次比賽，若每項(xiàng)成績(jī)按照 3：7 加權(quán)后，對(duì)計(jì)算結(jié)果有什么影響？

師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生將加權(quán)平均成績(jī)與算術(shù)平均成績(jī)進(jìn)行對(duì)比分析，學(xué)生觀察后各自發(fā)表見解.最后，教師總結(jié)得出，某個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)重越大，它對(duì)平均數(shù)的影響就越大.

追問(wèn)若改變數(shù)據(jù)的權(quán)重，對(duì)計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生什么影響？

師生活動(dòng)：學(xué)生對(duì)不同數(shù)據(jù)賦予不同權(quán)重進(jìn)行計(jì)算并觀察結(jié)果.最后，師生一起總結(jié)得出，加權(quán)平均數(shù)的大小會(huì)越來(lái)越偏向權(quán)重大的數(shù)

問(wèn)題5某同學(xué)在一次射擊訓(xùn)練中，連續(xù)10次的成績(jī)?yōu)?次10環(huán)、3次9環(huán)和5次8環(huán)，則他這10次射擊的平均成績(jī)?yōu)槎嗌侪h(huán)？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行計(jì)算，列式如下，平均成績(jī)

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并分析該等式與加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式的聯(lián)系，找到其中的數(shù)據(jù)以及每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的頻數(shù)，發(fā)現(xiàn)“權(quán)\"也可以用頻數(shù)來(lái)表示.隨后讓學(xué)生感知不同頻數(shù)如何影響平均成績(jī)，進(jìn)而得到每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)不同對(duì)平均數(shù)的影響程度也不同.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)多方面設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行分析，把握概念的本質(zhì)，將其更好地納人認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

3.4圖式階段：遷移應(yīng)用、系統(tǒng)聯(lián)結(jié)、概念整合

問(wèn)題6一家大型食品企業(yè)希望在推出新產(chǎn)品時(shí)，根據(jù)消費(fèi)者關(guān)注的健康指標(biāo)對(duì)其營(yíng)養(yǎng)價(jià)值進(jìn)行綜合評(píng)分.企業(yè)需要在“熱量控制”“營(yíng)養(yǎng)成分”“口感偏好”三方面為每款產(chǎn)品打分，并根據(jù)權(quán)重來(lái)確定最終評(píng)分，從而決定是否推廣該產(chǎn)品.現(xiàn)有三款產(chǎn)品的評(píng)分情況如表2所示（單位：分）.

（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)評(píng)分方案，為“熱量控制”“營(yíng)養(yǎng)成分”“口感偏好”三個(gè)指標(biāo)設(shè)定合適的權(quán)重，以符合健康食品的定義.

（2）根據(jù)你設(shè)定的權(quán)重，計(jì)算出每個(gè)產(chǎn)品的總評(píng)分，確定推廣的產(chǎn)品，并解釋不同的權(quán)重分配如何影響最終評(píng)分結(jié)果.

（3）假如產(chǎn)品推廣的對(duì)象為年輕人群體，他們更偏好口感好、熱量低的食品，如何調(diào)整權(quán)重以適應(yīng)這一人群的需求？假如產(chǎn)品推廣的對(duì)象為中老年人群體，他們更偏好營(yíng)養(yǎng)成分高的食品，又該如何調(diào)整權(quán)重以適應(yīng)這一人群的需求？對(duì)比兩種方案的最終評(píng)分結(jié)果，并分析調(diào)整權(quán)重后的影響.

師生活動(dòng)：教師提出反思性問(wèn)題“在什么情況下使用加權(quán)平均數(shù)更合理？我們生活中是否有類似情況”.隨后，教師給出實(shí)際問(wèn)題情境，學(xué)生先獨(dú)立思考并嘗試為每個(gè)指標(biāo)設(shè)定權(quán)重，再在小組內(nèi)討論并調(diào)整權(quán)重以符合不同情境的需求.最后，教師展示各組不同的權(quán)重分配方案，引導(dǎo)學(xué)生觀察權(quán)重對(duì)評(píng)分的影響，進(jìn)而理解權(quán)重在不同決策情境中的重要性，

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的深入探究，學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到生活中的決策場(chǎng)景，從而加深對(duì)“權(quán)\"作用的理解.通過(guò)對(duì)比不同權(quán)重分配方案，學(xué)生學(xué)會(huì)批判地思考如何根據(jù)需求合理調(diào)整數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提高對(duì)加權(quán)平均數(shù)概念的理解和應(yīng)用能力.

4結(jié)語(yǔ)

在APOS理論與深度學(xué)習(xí)理論相結(jié)合的教學(xué)模式下，要想實(shí)現(xiàn)更好的教學(xué)效果，教師要做到以下幾點(diǎn)：第一，深入探究和理解APOS理論的各個(gè)階段，系統(tǒng)地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，確保每個(gè)階段都能有效促進(jìn)學(xué)生的理解與應(yīng)用；第二，強(qiáng)化學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題情境中的批判思維和問(wèn)題解決能力，強(qiáng)調(diào)理解和應(yīng)用的統(tǒng)一，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的；第三，定期開展教學(xué)反思，評(píng)估教學(xué)效果，調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)活動(dòng)能有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).未來(lái)，教師可以遵循APOS理念的四階段設(shè)計(jì)概念教學(xué)，為數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供更多、更具科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性的范例，

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]唐廷波，陳文靜.基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究—以“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（7）：122—124.

[3]F.Marton，R.Saljo.On Qualitative Differences in Learning：I-Outcome and Process[J].British Journal ofEducationalPsychology，1976（1）：4-11.

[4]何玲，黎加厚.促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J].現(xiàn)代教學(xué)，2005（5）：29-30

[5]潘超.數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)須“五理解”—以人教版“一次函數(shù)”為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（4）：25-29.