中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）07-0043-05引用格式：．基于教材例題和習(xí)題的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)路徑探索：以“測量金字塔的高度”為例[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（7）：43-47.

跨學(xué)科教學(xué)承載著學(xué)生綜合素養(yǎng)和實(shí)踐能力培育的重任.如何開展數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)？難點(diǎn)之一就是教學(xué)資源的開發(fā)．教材是教學(xué)的立足之本．教師可以從教材內(nèi)容或考試素材中選取具有實(shí)踐性、應(yīng)用性的素材，通過溯源問題條件的來源、結(jié)論的應(yīng)用及與其他學(xué)科產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，與相關(guān)學(xué)科教師進(jìn)行協(xié)作，充分挖掘該問題的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，形成數(shù)學(xué)跨學(xué)科的教學(xué)資源．下面以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）和人教版教材中有關(guān)測量金字塔高度的例題為例，談?wù)劵诮滩睦}和習(xí)題的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)問題，供教師們參考.

一、教材質(zhì)疑，生成問題

蘇科版教材九年級下冊“6.7用相似三角形解決問題”中有這樣一個(gè)問題：古埃及國王曾請一位學(xué)者測量金字塔的高度，當(dāng)這位學(xué)者確認(rèn)在陽光下他的影長等于身高時(shí)，要求他的助手同時(shí)測出金字塔的影長，以及金字塔底部正方形的邊長，這樣他就知道了金字塔的高度.

上述問題取材于有關(guān)古希臘思想家、科學(xué)家、哲學(xué)家泰勒斯（約公元前624年一公元前546年）的一個(gè)流傳甚廣的傳說.

質(zhì)疑：太陽光線是否能與地面成 45^° 角？若能，此時(shí)金字塔的邊緣會與光線垂直嗎？若不能，泰勒斯的測量方法就行不通．該問題涉及太陽光線與地面的夾角問題，是一個(gè)與地理學(xué)科有關(guān)的問題.

二、合作研討，確定主題

該質(zhì)疑是對早有史書記載的一個(gè)問題的質(zhì)疑，容易激發(fā)學(xué)生的興趣．此外，要很好地解答對泰勒斯的測高問題的質(zhì)疑，需要用到一些地理知識和相關(guān)數(shù)學(xué)史，這恰好是一個(gè)跨學(xué)科教學(xué)的素材．筆者通過查閱相關(guān)資料并與地理教師合作、探討，與教研組其他教師共同討論，最后確定本次跨學(xué)科學(xué)習(xí)的主題一一測量金字塔的高度.

實(shí)施方案：學(xué)生自主完成學(xué)習(xí)清單（如表1）上的內(nèi)容，為解決主要目標(biāo)問題掃清知識障礙．在教師的引導(dǎo)和問題的驅(qū)動(dòng)下，在師生、生生相互合作交流中，解決目標(biāo)問題.

三、課堂實(shí)施，評價(jià)反饋

活動(dòng)1：例題生疑.

情境：據(jù)說，古埃及的大金字塔建成一千多年后，還沒有人能夠準(zhǔn)確地測出它的高度．泰勒斯在游歷埃及時(shí)，曾用一種巧妙的方法計(jì)算出了金字塔的高度，使當(dāng)時(shí)的古埃及國王羨慕不已．泰勒斯的方法既巧妙又簡單：選一個(gè)天氣晴朗的日子，在金字塔邊豎立一根小木棍，然后觀察木棍陰影的長度變化，等到陰影長度恰好等于木棍長度時(shí)，趕緊測量金字塔影的長度，因?yàn)樵谶@一時(shí)刻，金字塔的高度也恰好與塔的影子長度相等．也有人說，泰勒斯是利用棍影與塔影長度的比等于棍高與塔高的比計(jì)算出金字塔高度的.如果是這樣，就需要用到“相似三角形對應(yīng)邊成比例”這個(gè)定理.

問題1：泰勒斯是如何測金字塔高度的？

從故事中我們可以看到有兩種方法：一種是當(dāng)木棍的影長與木棍相等時(shí)，此時(shí)的塔高等于其影長；另一種是利用棍影與塔影的長度之比與木棍與金字塔的高度之比相等來測量的.

例1古埃及國王曾請一位學(xué)者測量金字塔的高度．當(dāng)這位學(xué)者確認(rèn)在陽光下他的影長等于身高時(shí)（如圖1），要求他的助手測出金字塔的影長DB和金字塔底部正方形的邊長．這樣他就知道了金字塔的高度.

如圖2，AC是金字塔的高， DB 是金字塔的影長，如果此時(shí)測得影長 DB 為 32m ，金字塔底部正方形的邊長為 230m ，你能幫助這位學(xué)者計(jì)算這座金字塔的高度嗎？

問題2：對于這個(gè)解答，大家是否深信不疑呢？你有什么疑問？

學(xué)生提出如下疑問.

（1）為什么BC與金字塔的邊緣垂直？

我們知道一天中某地方的一個(gè)物體（如一棵樹）的影子的方向是變化的．我國古代的日晷就利用了這個(gè)規(guī)律來計(jì)時(shí).

（2）太陽光線與地面的夾角會是 45^° 嗎？

平時(shí)我們看到一天中樹的影子除了方位發(fā)生改變外，其長短也會改變，呈早、晚影子長，中午影子短的規(guī)律．這說明太陽光線與地面的夾角是變化的.那么是否存在某個(gè)時(shí)刻，使太陽光線與此地地面的夾角是 45^° 角呢？

活動(dòng)2：由疑促學(xué).

問題3：太陽直射點(diǎn)的定義是什么？有怎樣的變化規(guī)律？

若一條太陽光線的延長線穿過地球中心，此時(shí)這條太陽光線與地面的交點(diǎn)即為太陽光線的直射點(diǎn)．夏至日這天，太陽直射點(diǎn)位于北緯 23^°26^′ ，此后太陽直射點(diǎn)逐漸向南移動(dòng)，北半球受太陽光照射的時(shí)間逐漸減少.北緯 23^°26^′ 的緯線是太陽光在北半球上直射點(diǎn)的最北界限．因此，把這條緯線稱為北回歸線．冬至日時(shí)，太陽直射點(diǎn)位于南緯 23^°26^′ ，此后太陽直射點(diǎn)開始逐漸向北移動(dòng)，到夏至日時(shí)，再次直射北回歸線.南緯 23^°26^′ 的緯線則是太陽光在南半球上直射點(diǎn)的最南界限．因此，把這條緯線稱為南回歸線．具體運(yùn)行規(guī)律如圖3所示.

問題4：什么是太陽高度？什么是正午太陽高度，其計(jì)算公式是什么？

太陽光線與地平面之間的夾角，叫作太陽高度角，簡稱太陽高度．一天中太陽高度最大值出現(xiàn)在正午，稱為正午太陽高度，此時(shí)太陽光線與地平面的夾角是一天中最大的.

正午太陽高度公式為 H=90^°-|β-α| ，其中 H 表示正午太陽高度， β 表示當(dāng)?shù)攸c(diǎn) B 的地理緯度， α 表示太陽直射點(diǎn)A的地理緯度.若將當(dāng)?shù)攸c(diǎn) B 的緯度 β 取正值，此時(shí)與其不在同一個(gè)半球的太陽直射點(diǎn) A 的緯度取負(fù)值，與其在同一個(gè)半球的太陽直射點(diǎn)A的緯度取正值.

證明：當(dāng)A， B 兩地在同一個(gè)半球時(shí)，不妨設(shè)同在北半球.

如圖4，若地點(diǎn) B 的緯度 β 比太陽直射點(diǎn) A 的緯度 α 大，則 H=90^°-∠EBF=90^°-∠AOB=90^°-（β-α）.

如圖5，若地點(diǎn) B 的緯度 β 比太陽直射點(diǎn) A 的緯度α 小，則 H=90^°-∠EBF=90^°-∠AOB=90^°-（α-β）. 于是有 H=90^°-∣β-α∣ ： ①

若將當(dāng)?shù)攸c(diǎn) B 的緯度 β 取正值，此時(shí)與其不在同一個(gè)半球的太陽直射點(diǎn)A的緯度取負(fù)值，在同一個(gè)半球的太陽直射點(diǎn) A 取正值，則正午太陽高度 H=90^°- |β-α| ：

活動(dòng)3：釋疑建模.

問題5：胡夫金字塔所在地的緯度是多少？是否存在某一時(shí)刻，使太陽光線與此地地面的夾角是 45^° ？

胡夫金字塔位于北緯 29^°58^′45\" ，為了便于計(jì)算，將胡夫金字塔的地理緯度規(guī)定為北緯 30^°

由 H=90^°-∣30^°-α∣≥45^° ，得 -15^°?α?75^° .因?yàn)?-23^°26^′?α?23^°26^′ ，所以 -15^°?α?23^°26^′ ，所以只要太陽的直射點(diǎn)在南緯 15^° 至北回歸線之間，金字塔所在地的太陽高度就能達(dá)到 45^°

問題6：按照例1中的方法，估計(jì)泰勒斯是在一年中的什么時(shí)候去測量金字塔高度的.

若以北半球每年的6月22日前后作為夏至日，此時(shí)太陽直射點(diǎn)在北回歸線上.假設(shè)太陽直射光線是勻速移動(dòng)的，則太陽直射點(diǎn)每天移動(dòng)的緯度為 23^°26^′×4÷ 365≈0.26^° ；若以北半球每年的12月22日前后作為冬至日，此時(shí)太陽直射點(diǎn)在南回歸線上，從南緯 23^°26^′ 到南緯 15^° ，移動(dòng)的緯度為 8.43^° ，需要的天數(shù)為 8.43÷ 0.26≈33 （天）.12月22日后的33天是次年的1月24日.當(dāng)太陽直射點(diǎn)再次回到南緯 15^° 時(shí)，約是次年的11月19日．也就是說，金字塔所在地要想達(dá)到太陽高度角為 45^° ，只要在這年的1月24日至11月19日內(nèi)就可以.

教師出示2023年11月、12月及2024年1月的月歷圖片（圖略），便于學(xué)生計(jì)算.

如圖6，當(dāng)太陽的直射點(diǎn)與地點(diǎn) B 不在同一個(gè)半球時(shí)，有 H=90^°-∠EBF=90^°-∠AOB=90^°-（β+α）. ②

問題7：當(dāng)太陽光線與地平面的夾角為 45^° 時(shí)，金字塔的某一邊緣與太陽光線一定垂直嗎？

這個(gè)要求比較難，若按照坐北朝南的習(xí)慣，則在正午時(shí)分，金字塔朝南的邊緣與太陽光線垂直，而要達(dá)到太陽光線與地面成 45^° 角，只有1月24日與11月19日這兩天滿足要求．這說明傳聞中的第一種測量方法對時(shí)間要求很嚴(yán)格，可以說不具有普遍性．那么在其他日期如何測量呢？

問題8：當(dāng)太陽光線與金字塔朝南的邊緣不垂直時(shí)，即太陽光線與金字塔朝南的邊緣的夾角不是 90^° ，能求出金字塔的高度AC嗎？

如圖7，假設(shè) AC 的影子 CB 與金字塔邊緣 GF 的所夾銳角為 θ ，即 ∠FEB=θ ，由于太陽光線與地面的夾角是 45^° ，所以只要能計(jì)算出 BC 的長就可以了。

如圖8，過點(diǎn) B 作 BH⊥GF 于點(diǎn) K ，過點(diǎn) C 作 CH⊥ BH于點(diǎn)H.因?yàn)椤螧CH=∠FEB=0，所以 BC=BH （20所以 BH 的長為金字塔邊長的一半與塔頂?shù)挠白?B 到GF的距離BK之和，記為l，則金字塔高度h= sinθ

例2據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度.

如圖9，木桿 EF 長 2m ，它的影長 FD 為 3m ，測得 OA 為 201m ，求金字塔的高度 BO

該題為人教版教材九年級下冊“27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例”的例4.當(dāng)金字塔的影子成一個(gè)等腰三角形時(shí)， BO 的影子與塔底的一邊緣垂直（這個(gè)時(shí)刻在一天中是存在的），則 OA 等于這個(gè)等腰三角形的高與塔底正方形邊長的一半的和．由 ΔABO～ΔDEF ，得 ，所以

問題9：這個(gè)測量方法需要等到金字塔的影子是等腰三角形時(shí)才可以實(shí)施，如果是任意一天去測金字塔的高度，該如何測呢？

如圖10，設(shè)木桿長為 a ，影長為 b ，BH為 l ，由相似三角形的性質(zhì)，得 所以金字塔高度 h=AC=

在 中， a ，b，l， θ 均可以通過測量得到．因此，這個(gè)方法具有普適性，可以將其作為測量金字塔高度的計(jì)算公式，

活動(dòng)4：練習(xí)自評.

練習(xí)：建筑樓房時(shí)，要更多地考慮整棟樓全年均有太陽光照，這就涉及前后兩棟樓之間的最短距離一一樓間距（或樓影）的計(jì)算問題.某地位于北緯 32.5^° ，A棟樓高33層，層高2.8米，若要B棟樓底層全年有陽光，則樓間距至少要達(dá)到多少米？

學(xué)生完成練習(xí)題并完成自我評價(jià)表（如表2）.

四、教學(xué)反思，形成路徑

1.以教材例題、習(xí)題為藍(lán)本，選取跨學(xué)科內(nèi)容

研究發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)教材中的部分例題和習(xí)題不僅蘊(yùn)含多學(xué)科知識和思想方法，還與學(xué)生的實(shí)際生活緊密聯(lián)系，在一定程度上為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)跨學(xué)科學(xué)習(xí)提供了有效的學(xué)習(xí)資源．因此，教師可以通過對例題和習(xí)題條件的溯源、問題背景的深挖、結(jié)果的應(yīng)用，尋找跨學(xué)科教學(xué)的素材．上述案例對泰勒斯測金字塔高度問題的條件進(jìn)行了溯源和問題背景的挖掘，發(fā)現(xiàn)了該問題與地理、天文、歷史等相關(guān)聯(lián)，從而建立了該問題與其他學(xué)科知識的聯(lián)系．事實(shí)上，一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以看成一道用數(shù)學(xué)模型解決的實(shí)際問題，且這個(gè)數(shù)學(xué)模型隱藏著與其他學(xué)科知識的聯(lián)系，這個(gè)聯(lián)系就是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)．為了便于教師開展數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)，建議教材或與教材配套的教師教學(xué)用書中豐富具有探索性的跨學(xué)科例題．同時(shí)，教師應(yīng)積極開發(fā)數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)資源，形成校本教學(xué)資源庫.

2.以跨學(xué)科團(tuán)隊(duì)為基礎(chǔ)，共研跨學(xué)科主題

跨學(xué)科教學(xué)需要教師團(tuán)隊(duì)形成合力機(jī)制．由于數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)涉及其他學(xué)科，且數(shù)學(xué)教師對其他學(xué)科知識的掌握和理解可能不準(zhǔn)確，要想滿足傳授知識的科學(xué)性，數(shù)學(xué)教師除自我研究外，還必須與其他學(xué)科教師合作，以便解決教學(xué)中的疑問.例如，本案例中關(guān)于太陽高度的問題，除了教師本人查閱太陽光與地面的夾角相關(guān)問題外，還要向地理教師請教，聽取地理教師的專業(yè)講解．綜合各方面的看法，形成教學(xué)主題，根據(jù)課題進(jìn)行合作和研究，共同編寫好學(xué)生自主學(xué)習(xí)的清單或活動(dòng)方案，讓學(xué)生依據(jù)清單進(jìn)行探索和相互交流.

3.以“三度”評價(jià)方案為參照，指導(dǎo)跨學(xué)科設(shè)計(jì)

教學(xué)評價(jià)既是檢驗(yàn)教學(xué)效果的方法，也是改進(jìn)教學(xué)行為的手段．跨學(xué)科教學(xué)的評價(jià)方案應(yīng)與跨學(xué)科教學(xué)的實(shí)施方案同步完成，確?！敖桃粚W(xué)一評”一致性，以免使教學(xué)最后流于形式.有研究者綜合理論認(rèn)識和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，給出了跨學(xué)科教學(xué)的“三度”評價(jià)方案．“三度”包括指向?qū)W習(xí)內(nèi)容的學(xué)科整合程度、指向?qū)W習(xí)過程的學(xué)習(xí)投入程度和指向?qū)W習(xí)結(jié)果的問題解決程度，學(xué)科整合是跨學(xué)科教學(xué)區(qū)別于其他教學(xué)方式的基本前提和特征；學(xué)習(xí)投人是跨學(xué)科教學(xué)有效開展的重要保障；問題解決是跨學(xué)科教學(xué)的直接結(jié)果.跨學(xué)科教學(xué)完成后，教師可以采用文字或表格的形式呈現(xiàn)每名學(xué)生或每個(gè)學(xué)習(xí)小組共同的表現(xiàn)性評價(jià)結(jié)果．在上述案例的設(shè)計(jì)中，數(shù)學(xué)學(xué)科的幾何性質(zhì)、代數(shù)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、問題的數(shù)學(xué)模型等都與地理學(xué)科中的知識融合，從地理學(xué)科中提出問題，借助數(shù)學(xué)知識解決問題．對于一些鋪墊性知識，先讓學(xué)生自主解決.在課堂問題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生積極思考，主動(dòng)參與，熱情飽滿，并成功解決有關(guān)泰勒斯測量金字塔高度的疑問．最后，通過自我評價(jià)表和練習(xí)題診斷學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)行為和教師教學(xué)行為的改進(jìn).

4．以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主，實(shí)施跨學(xué)科教學(xué)

上述案例是以學(xué)生為主體、以教師為主導(dǎo)來實(shí)施教學(xué)的，先讓學(xué)生對照學(xué)習(xí)清單，自主學(xué)習(xí)以獲得問題的答案．在尋找答案的過程中，學(xué)生可以通過互聯(lián)網(wǎng)檢索資料，或閱讀文獻(xiàn)，或與其他學(xué)生協(xié)作．課堂上，教師啟發(fā)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題.跨學(xué)科教學(xué)中，教師需要轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作探究，在學(xué)科知識交互的場域中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，實(shí)現(xiàn)對知識的遷移和運(yùn)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.

五、結(jié)語

在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)跨學(xué)科課程的具體開發(fā)是一個(gè)難點(diǎn)，筆者提出的基于教材例題和習(xí)題的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)方式，是開發(fā)課程資源的一種嘗試，旨在為教師掌握跨學(xué)科課程開發(fā)的基本方法、立足真實(shí)問題選擇跨學(xué)科主題、研析跨學(xué)科教學(xué)的內(nèi)在機(jī)理，以及組織實(shí)施跨學(xué)科主題的學(xué)習(xí)活動(dòng)等提供參考.

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