《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”在“圖形與幾何\"領(lǐng)域明確指出，從第二學(xué)段開始，將“尺規(guī)作圖\"內(nèi)容引進課程學(xué)習(xí)范疇。何謂“尺規(guī)作圖”？從字面意思可以理解為運用“直尺\"和\"圓規(guī)\"所展開的作圖行為。事實上，這樣的解釋還遠遠不夠，“尺規(guī)作圖”應(yīng)指向于一種只使用無刻度的直尺和圓規(guī)，而且強調(diào)并非可以無數(shù)次地使用，而是有一定次數(shù)、只使用無刻度的直尺和圓規(guī)來解決各項平面幾何問題的直觀作圖方法。一直以來，小學(xué)階段的學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于用測量的方法畫圖，“尺規(guī)作圖”的出現(xiàn)顯然是一種挑戰(zhàn)。下面，筆者嘗試以莆田市所開展的“尺規(guī)作圖”專題研討活動為例，從“真實情境驅(qū)動”“動手嘗試實踐”“多維角度表征”“給予思辨時空\"四個方面探索如何借助“尺規(guī)作圖”助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、真實情境驅(qū)動，實現(xiàn)方法與經(jīng)驗互化

新課標(biāo)指出：“嘗試在真實的情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索運用基本的數(shù)量關(guān)系，以及幾何直觀、邏輯推理和其他學(xué)科的知識、方法分析與解決問題，形成模型意識和初步的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識”。隨著新課標(biāo)使用的縱深推進，讓學(xué)生在真實生活情境中學(xué)習(xí)已成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常使用的教學(xué)方法。尤其是在“尺規(guī)作圖\"教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)上，若不嵌入一定的真實情境，容易讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥乏味之感。設(shè)計真實情境，一方面能讓抽象的“尺規(guī)作圖”方法具象化，促使學(xué)生主動調(diào)用已有的生活和數(shù)學(xué)經(jīng)驗，使他們在理解“尺規(guī)作圖\"方法時更深入，不再是機械的記憶步驟，而是和實際用途聯(lián)系起來，在經(jīng)驗與方法的不斷互化中獲得新知。另一方面，真實情境驅(qū)動下的方法與經(jīng)驗互化可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀思維和邏輯思維。

例如，在教學(xué)“用尺規(guī)作等長線段”一課時，教師在課堂上先創(chuàng)設(shè)了“鉛球投擲\"這樣一個真實的場景（如圖1），運用課件介紹了鉛球投擲比賽場地是由投擲圈、限制線、抵趾板（實質(zhì)上這三者確定了圓心）和扇形輻射狀落地區(qū)域組成的，以投擲圈內(nèi)緣至鉛球著地痕跡緣的距離為成績，越遠則成績越好。緊接著，教師出示學(xué)校“鉛球隊\"的標(biāo)準(zhǔn)投擲成績是“AB”（如圖2），洋洋、洲洲、平平這三人投擲成績分別是“0C”“0D”“0E”，那么這三人能進人校隊嗎？在這樣真實情境的驅(qū)動下，學(xué)生自主調(diào)用已有的經(jīng)驗進行探索。有的學(xué)生利用有刻度的直尺進行精準(zhǔn)測量；有的學(xué)生利用無刻度的直尺比畫；有的學(xué)生利用圓規(guī)分別將\"0C”\"0D\"\"OE\"與“AB\"進行三次對比；還有的學(xué)生直接以“0”為圓心，以“AB\"為半徑，直接一次在扇形輻射落地區(qū)上畫弧線，一次性得出結(jié)論。學(xué)生在交流中發(fā)現(xiàn)：運用直尺比長短太麻煩，而運用圓規(guī)作等長線段比長短簡便且更為直觀；尤其是最后一組學(xué)生將“AB”線段一次搬到落地區(qū)作等長線段的方法最佳。學(xué)生在真實情境驅(qū)動下，不斷經(jīng)歷經(jīng)驗與方法的互化，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，初步感受到運用圓規(guī)所畫出弧線上的每一點到圓規(guī)針尖的距離都相等，深人理解“用尺規(guī)作等長線段”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也掌握其作圖方法與技能。

二、動手嘗試實踐，助推操作與思維互融

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》明確提出要強化學(xué)科實踐，在各個學(xué)科的學(xué)習(xí)進程中，要注重讓學(xué)生親身參與活動全過程，從而促使學(xué)生能主動地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)作圖教學(xué)，教師往往會先介紹一種標(biāo)準(zhǔn)的作圖方法，然后讓學(xué)生“照葫蘆畫飄”。顯然，這樣“照搬式\"的作圖教學(xué)是不利于助推學(xué)生思維發(fā)展的。而“尺規(guī)作圖”是一種比較抽象的技能，其每一步都有其邏輯依據(jù)，像用圓規(guī)畫圓、用直尺畫線段等操作，學(xué)生只有親自動手才能真正明白工具的使用方法和作圖要求。其中，教師要謹(jǐn)防“活動了身體，而休息了大腦”的動手實踐，需要讓學(xué)生在“動中思”“思中動”，助推操作與思維互融，引導(dǎo)學(xué)生在動手實踐時，邊操作、邊思考為什么要這樣作圖，以及這一步與前一步有什么聯(lián)系?！俺咭?guī)作圖”為學(xué)生提供了嘗試不同作圖方法的機會，讓學(xué)生盡可能多地發(fā)現(xiàn)一些不同的、新的作圖思路，有效激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓他們不再局限于傳統(tǒng)的思維模式，而是敢于探索和創(chuàng)新。

例如，一位教師在執(zhí)教“用尺規(guī)作等長線段”一課時，在\"運用\"環(huán)節(jié)中設(shè)計了這樣一道情境題（如下頁圖3）：周末，小莆和小田相約去南湖公園玩，小莆從活動廣場直接走到南山廣化寺，小田從活動廣場繞到音樂噴泉，再到南山廣化寺。教師還未出示問題，全班學(xué)生就一致認(rèn)為小莆所走的路比小田更近。于是，教師巧妙引導(dǎo)：“數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，眼見未必真實，我們得有理有?jù)。下面，請同學(xué)們拿出課前學(xué)習(xí)單，運用無刻度直尺和圓規(guī)一起畫一畫，并在小組內(nèi)交流你的想法”。于是，學(xué)生開始動手操作。在匯報交流環(huán)節(jié)，學(xué)生出現(xiàn)了不同的畫法（如圖4），且都能進行有序地表達。顯然，從學(xué)生的作品與表達中，可以很明顯地感受到他們在動手操作過程中，能夠一邊操作一邊啟動空間想象力將三角形的其他兩條斜邊都搬到底邊上來，利用之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗“重疊法\"進行比較。在表達想法時，便能很好地進行有理有據(jù)的推理，其中一名學(xué)生說道：“我發(fā)現(xiàn)圓規(guī)不但是一種畫圖的工具，也是一種測量長短的工具。\"學(xué)生的這種歸納性語言，使得其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)實現(xiàn)看得見的進階。

三、多維角度表征，做到直觀與抽象互譯

數(shù)學(xué)是一門較為抽象的學(xué)科，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要經(jīng)歷從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。一直以來，筆者致力于打通數(shù)學(xué)知識抽象與學(xué)生思維直觀之間的壁壘，“尺規(guī)作圖”運用得好，則能在一定程度上讓學(xué)生對于抽象數(shù)學(xué)知識可視、可感、可知，把復(fù)雜、枯燥、抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀形象。在教學(xué)時，教師可以借助圖形表征、語言表征、符號表征等多維表征，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，讓看不見的思維可視化，實現(xiàn)直觀與抽象互譯，不但助推學(xué)生正確建構(gòu)對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，而且有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例如，一位教師在上“用尺規(guī)再探等腰三角形”一課時，目標(biāo)是突破學(xué)生一直以來對“等腰三角形\"這一概念只停留于底邊（水平位置）、兩腰是左右分立的認(rèn)知定勢。教師先是布置學(xué)生課前自主完成預(yù)習(xí)單任務(wù)“以線段AB為一條邊，共可畫出個等腰三角形，請運用無刻度直尺和圓規(guī)畫出來”。然后，教師通過驅(qū)動式任務(wù)讓學(xué)生運用圖形表征等腰三角形，在具身操作作圖中感受等腰三角形的多種不同形象，從而對“等腰三角形”概念有更深刻的建構(gòu)，剔除了所有非本質(zhì)屬性（倒的、歪的、斜的），而掌握了最為本質(zhì)的屬性，即“三角形中，只要有兩條邊相等，就是等腰三角形”。課上，教師又讓學(xué)生進行語言表征，分別說說“怎么畫”“為什么這么畫”“還可以怎樣畫”等。當(dāng)有學(xué)生說可以畫出10個等腰三角形時，其他學(xué)生馬上表示反對，并上臺在該學(xué)生畫的基礎(chǔ)上繼續(xù)往下畫，從而讓其智慧在碰撞中再次對“等腰三角形\"有更深刻的建構(gòu)。有的學(xué)生先是以線段AB為底邊，然后運用圓規(guī)分別畫出三角形的兩條相等腰，可以畫無數(shù)個三角形；有的學(xué)生則是以線段AB為腰，運用圓規(guī)以A為圓心畫弧，發(fā)現(xiàn)弧線上的任意確定一點，再連接該點與B，就是一個等腰三角形，所以可以畫無數(shù)個等腰三角形；有的學(xué)生自然地想到可以運用符號表征等腰三角形，即“ ΔABC ”。這樣的教學(xué)，先是通過圖形表征，讓抽象的幾何概念直觀化，再借助語言表征，將直觀圖形提煉到抽象幾何概念，最后以符號表征，將直觀圖形內(nèi)化為數(shù)學(xué)語言，實現(xiàn)了抽象與直觀的來回轉(zhuǎn)化、互譯，不但讓學(xué)生真正理解幾何概念，也發(fā)展了幾何直觀這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、給予思辨時空，達到猜想與推理互促

新課標(biāo)在“課程實施”中明確指出：“教材應(yīng)為學(xué)生提供豐富的問題情境、充分的思考空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動過程，幫助學(xué)生感悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗。\"其中，猜想、推理是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的思維方式，猜想是推理的前提，推理是驗證猜想的重要手段。由此，在“尺規(guī)作圖\"教學(xué)中，教師可以運用問題驅(qū)動學(xué)生展開猜想，并促使學(xué)生在操作中通過推理方式，在不斷地思辨中驗證猜想的正確性，并不斷產(chǎn)生新的猜想，展開新的推理，達到猜想與推理不斷地互化、互促，助推學(xué)生的幾何直觀和推理意識的發(fā)展。

例如，一位教師在教學(xué)“‘尺規(guī)作圖'再探三角形三邊關(guān)系”一課時，先是讓學(xué)生運用尺規(guī)自主選擇所指定長度的線段畫三角形，促使學(xué)生在畫三角形的過程中初步感受到并不是任意三條線段都能成功地畫出三角形。然后，教師運用問題驅(qū)動：“大家運用尺規(guī)畫三角形時會碰到什么問題呢？”有的學(xué)生說出“有的三組線段可以畫出三角形，而有的三組線段不能畫出三角形”；有的學(xué)生猜想：“怎樣的三條線段可以畫出三角形呢？\"在學(xué)生急于求證的欲望下，教師及時給予驗證路徑，出示探索任務(wù)（如圖5）。

下面哪組線段可以圍成一個三角形？為什么？

當(dāng)學(xué)生動手操作之后，便開始辯論起來，有的學(xué)生認(rèn)為第一組的線段可以圍成三角形，邊說邊進行了有理有據(jù)的操作。有的學(xué)生說道：“第一組線段不用那么麻煩去畫，只要看線段的長度就可以直接判斷出是可以圍成三角形的”。有的學(xué)生說：“最短的兩條邊加起來的和大于第三條邊，所以能直接判斷出是可以圍成三角形的。不像第二組線段，大家看 a+a 小于 ，所以根本不能圍成三角形的”。有的學(xué)生馬上恍然大悟說道：“像第三組是 a+b 等于 ，所以也是不能圍成三角形”。有的學(xué)生緊接道：“所以，可以得出，只有當(dāng) a+b 大于 ∣c∣ ，也就是其中兩條邊的和大于第三條邊時，才可以圍成三角形”。教師適時板書學(xué)生通過相互思辨得出的結(jié)論，并借助信息技術(shù)展示其“尺規(guī)作圖\"過程（如圖6），促使學(xué)生經(jīng)歷了猜想得以推理驗證的全過程。這時，又有學(xué)生提出新的猜想：“這個結(jié)論不太對，如果兩條邊之和大于第三條邊就可以，那么第二組的線段 a+c 大于a ，但依然不能圍成三角形”。另一名學(xué)生應(yīng)和道：“第三組中如果用 c+a ，也是大于b ，但也是不能圍成三角形的”。于是，“到底什么情況下，兩邊的和大于第三條邊，確定能圍成三角形”的新猜想又驅(qū)動學(xué)生進入新的思索之中。在小組的充分觀察與思辨之后，學(xué)生終于得出了“當(dāng)任意兩條邊的和大于第三條最長邊時，這樣的三條線段就能圍成三角形”的結(jié)論。在探索數(shù)學(xué)結(jié)論的進程中，學(xué)生在猜想與推理間不斷地切換與印證，高品質(zhì)地發(fā)展了幾何直觀與數(shù)學(xué)推理意識。

總之，新課標(biāo)增加“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容，既符合數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求，又順應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律。它不僅能夠讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，還能促使學(xué)生在切實體驗中發(fā)展幾何直觀和思維能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)致力于探索\"尺規(guī)作圖\"教學(xué)新路徑，從真實情境驅(qū)動、動手嘗試實踐、多維角度表征、給予思辨時空四個方面出發(fā)，致力于實現(xiàn)方法與經(jīng)驗互化、助推操作與思維互融、做到直觀與抽象互譯、達到猜想與推理互促，從而有效地助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]劉加霞，潘麗云.尺規(guī)作圖的歷史溯源、育人價值及教學(xué)建議[J.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2022（7/8）.

（責(zé)任編輯：楊強）