《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版》）在“教學(xué)建議\"中指出：“要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，對未來學(xué)習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系.\"因為數(shù)學(xué)知識間存在著較強的邏輯關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)科具有顯著的結(jié)構(gòu)化特征，所以開展數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)對于學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識體系，進而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要意義.然而，在實際教學(xué)中，碎片化教學(xué)現(xiàn)象依然較為普遍.筆者近日觀摩的蘇科版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級下冊》第7章第1節(jié)“正切\(zhòng)"公開課就是如此，本文對此作些剖析并進行優(yōu)化設(shè)計思考.

1課程安排及問題分析

1.1新知的形成

“正切\(zhòng)"公開課的第一節(jié)課出示書上五張“等底不等高”“等高不等底”“高底成比例”三種不同類型的臺階，讓學(xué)生判斷哪個臺階最陡，分析臺階的陡緩跟坡角的對邊、鄰邊的關(guān)系，歸納出坡角的大小和對邊與鄰邊的比值有關(guān)，并驗證結(jié)論，介紹定義.第二節(jié)課讓學(xué)生回顧梳理直角三角形關(guān)于角、邊的相關(guān)知識，猜想出本課要研究邊與角的關(guān)系，結(jié)合 30^°，45^° 角所在直角三角形的邊角關(guān)系，猜想直角三角形中銳角的大小跟對邊與鄰邊的比值有關(guān)，并通過相似驗證結(jié)論，給出定義.

1.2例題的設(shè)計

第一節(jié)課選取的例題是近年的中考題，主要在直角三角形和圓等不同背景下計算角的正切值，過分側(cè)重于直角三角形的尋找和角的轉(zhuǎn)化，難度偏大，學(xué)生參與度不高.由于新知的形成時間較短，導(dǎo)致第二節(jié)課后面剩余時間較多，只能用練習，東拼西湊，比較雜亂.

1.3體系的建構(gòu)

在本章知識體系環(huán)節(jié)，僅呈現(xiàn)知識學(xué)習先后順序，未能彰顯知識聯(lián)系的復(fù)雜性和緊密性，未能突出數(shù)學(xué)思維的特征和人們認識數(shù)學(xué)的個人體驗.[只有形式和簡單的過程，缺乏思想和靈魂，沒有真正從內(nèi)在邏輯和現(xiàn)實情境中構(gòu)建整個知識體系.

問題分析：在新知形成中，第一節(jié)課引用書上的例子，設(shè)定對邊相等或鄰邊相等，通過比較鄰邊或?qū)叺拇笮≌f明角的大小，直接降低了思維的深度，概念的形成缺少自然探究的過程；第二節(jié)課由特殊角所在直角三角形兩邊的比例關(guān)系，直接猜想出角的大小與它所在直角三角形的對邊與鄰邊有關(guān)，再介紹正切概念，顯得過于直接牽強.兩節(jié)課共性問題是沒有把數(shù)學(xué)抽象概念的形成作為素養(yǎng)培養(yǎng)目標，對概念的來龍去脈缺少整體性的考慮和關(guān)聯(lián)性的研究，從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象到發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式這一過程中，缺少自然過渡的臺階，使得學(xué)生的抽象能力難以形成.例題的設(shè)計沒有把數(shù)學(xué)的推理、計算和建模作為素養(yǎng)目標，涉及的知識面單一或難度過高，與前后知識的銜接性或關(guān)聯(lián)性不強，本質(zhì)上缺少結(jié)構(gòu)化的視野，導(dǎo)致學(xué)生的推理能力、計算能力和模型意識難以形成.在體系建構(gòu)中，教師沒有從整體性視角建構(gòu)知識和方法體系，缺少對本章知識脈絡(luò)走向的引領(lǐng)、數(shù)學(xué)思想方法的啟迪、基本活動經(jīng)驗的喚醒，缺少課時與整體的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)分析、類比和應(yīng)用，使學(xué)生難以形成全局的觀點，也未達成具有整體性特征的素養(yǎng)目標.從中可以看出，要達成課時教學(xué)的核心素養(yǎng)目標，開展課時結(jié)構(gòu)化教學(xué)是重要的路徑和抓手.

2課時結(jié)構(gòu)及解讀

美國教育心理學(xué)家布魯納（J.S.Bruner）認為，結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容有助于學(xué)生理解，在學(xué)習后期不容易遺忘.同時，學(xué)生從結(jié)構(gòu)化中學(xué)到的原則、原理易于正向遷移到未來類似的情境中，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，讓學(xué)生能夠獨立獲取更高層次的知識.因此，教師在備課時要對教學(xué)內(nèi)容和方法進行結(jié)構(gòu)化解讀，從整體關(guān)聯(lián)的角度剖析內(nèi)容，

2.1知識明線，前后銜接

作為“銳角三角函數(shù)\"章節(jié)開篇第1課時，教材從先比較三個“等底不等高”“等高不等底”“高底成比例”的臺階哪個更陡，引出直角三角形中可以用銳角的對邊與鄰邊的比值刻畫這個角的大小，再利用相似三角形的知識證明了“如果直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值也確定”，在此基礎(chǔ)上得到了正切的概念.本課時以相似三角形、勾股定理、函數(shù)的概念等內(nèi)容為基礎(chǔ)，為正弦、余弦概念的學(xué)習作鋪墊.與之相關(guān)聯(lián)的舊知還有： 30^° 角所對直角邊是斜邊的一半，揭示了直角三角形的銳角的大小可能與邊的比值有關(guān)；直線y=kx+b（k≠0） 中， k 與直線的傾斜程度有關(guān)，體現(xiàn)出數(shù)字與角度的關(guān)系.

2.2方法暗線，整體思考

人教版和浙教版“銳角三角函數(shù)”章節(jié)開篇第1課時介紹的是正弦、余弦、正切，這兩者與蘇科版教材的引入順序和方法均有較大差異.事實上，正切、正弦、余弦本身并不存在因果關(guān)系，它們的引入順序不會影響到學(xué)生的認知層次.真正對學(xué)生認知產(chǎn)生重要影響的是銳角三角函數(shù)是用線段的比刻畫角的大小的一種方法，這種方法貫穿本章的學(xué)習過程.對初中生而言，從“線段長\"到“線段比”是認識上的一次飛躍.3因此，教學(xué)的重點是充分引導(dǎo)學(xué)生自主探究“為什么會想到用線段比刻畫銳角的大小，為什么要放在直角三角形中來研究”，同時要感知這種方法在正切、正弦、余弦中的連貫性和一致性.與之相關(guān)聯(lián)的學(xué)習經(jīng)歷：用疊合法比較兩個直角三角板中的銳角時，除了觀察邊的相對位置，還能通過固定一邊（控制變量法）來探究角與另一邊的變化關(guān)系，這一過程既鞏固了疊合法的應(yīng)用，也為后續(xù)比較角的大小提供了新思路；特殊角的大小與其所在直角三角形的邊的比例有關(guān)，這又為猜想提供了不完全歸納；三角形的相似為證明提供了方法.

3結(jié)構(gòu)化教學(xué)及理解

結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要教師站在課程、單元、課時的視角，根據(jù)數(shù)學(xué)知識的邏輯性、關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)性等特點，結(jié)合學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和生活經(jīng)驗，幫助他們從整體上理解知識的來龍去脈、例題的前因后果、學(xué)習的通性通法.因此，教師首先要厘清教學(xué)前后知識的關(guān)聯(lián)，從學(xué)生的知識積累和學(xué)習經(jīng)驗出發(fā)，鋪設(shè)知識生長的臺階，逐級深人探析概念的形成；其次抓住新知的本質(zhì)，尋找前后銜接與左右關(guān)聯(lián)，設(shè)計具有呼應(yīng)性、開放性、動態(tài)性的例題，形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)；最后總結(jié)延伸，完善知識結(jié)構(gòu)，積累思想方法，關(guān)聯(lián)其他課時內(nèi)容，形成全局的邏輯結(jié)構(gòu).4具體流程如圖1所示.

4課時優(yōu)化及說明

4.1概念形成，鋪墊自然

問題1長城被稱為世界八大奇跡之一，氣勢磅礴，綿延起伏，欣賞長城圖片（如圖2），你覺得哪一段臺階平緩些？哪一段臺階陡峭些？如何比較圖3臺階的平坦與陡峭？為什么？

問題2為比較兩個銳角的大小，我們先把這兩個銳角放在直角三角形中研究，如圖4用疊合法比較 ∠ABC 和 ∠FBC 的大小，由 BF 在 ∠ABC 內(nèi)部可得 ∠ABCgt;∠FBC， 觀察此時點 D 的位置，還可以用什么量來反映角的大小？得到什么結(jié)論？類似的，換個視角，又可以得到什么結(jié)論？如果把這兩個角放在一般三角形中研究行不行？放在哪類三角形更好？

問題3剛才的探究方法與物理學(xué)中的控制變量法不謀而合，我們發(fā)現(xiàn)角的大小跟它所在直角三角形的對邊和鄰邊都有關(guān)系，是跟這兩邊的和、差、積還是商有關(guān)？請舉例說明.圖4中， ∠DBE 和 ∠FBC 相等，觀察它們各自所在的三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

問題4在 RtΔABC 中，當銳角 ∠A 確定后，它的對邊與鄰邊的比值是否唯一確定？為什么？“唯一確定”讓你聯(lián)想到什么舊知？

教學(xué)說明：問題1引導(dǎo)學(xué)生把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，得出臺階陡緩程度跟坡面與水平面的夾角（坡角）有關(guān).問題2中，教師回顧用疊合法比較角的大小，并用兩個直角三角形的硬紙片演示，作出相應(yīng)的示意圖，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)ABC和 ∠FBC 的大小與AC、FC的長短關(guān)系，讓學(xué)生反思上述研究方法，喚醒物理學(xué)中的控制變量法，觸類旁通換邊思考，從而得到如果 ∠A 的一條鄰邊不變，對邊越大，∠A 越大；如果 ∠A 的對邊不變，鄰邊越小， ∠A 越大.最后一小問旨在讓學(xué)生理解放在直角三角形中研究角與邊關(guān)系的意義，引出三角函數(shù)發(fā)展史，為概念的生成作鋪墊.問題3猜想結(jié)論并通過 30^°，45^° 角驗證，再利用原圖分析同角或等角和對邊與鄰邊的比值關(guān)系，得出角的大小與這兩邊的比值有關(guān).問題

4通過相似證明當角的大小確定時，有唯一的比值與之對應(yīng)，讓學(xué)生由此聯(lián)想到函數(shù)的概念，順勢引出正切的定義，揭示本課課題.

4.2例題設(shè)計，多方融合

問題5如圖5所示，在 RtΔABC 中， ∠C=90^° ，若，求 ？請你結(jié)合正切的定義，設(shè)計問題并讓其他同學(xué)求解.

變式如圖6所示， D 為 ?AB 上的一個動點，當CD 分別為 AB 邊上的高、中線和角平分線時，求tan∠BCD 的值.

問題6已知直線 l₁：y=k₁x+b₁ 與 l₂：y= k₂x+b₂ ，若 k₁=k₂gt;0 且 b₁≠b₂ ，則直線 l₁ 平行于l₂ ，為什么？

教學(xué)說明：問題5從動態(tài)開放的角度設(shè)計例題，讓學(xué)生充分理解定義的內(nèi)涵和外延，掌握求銳角的正切值的前提、題型、背景和方法.學(xué)生一般會假設(shè)已知兩直角邊長、一直角邊和斜邊以及一邊一角等求解其他元素.后面的變式巧妙對應(yīng)了三角形三線的動態(tài)介紹，涉及角的轉(zhuǎn)化以及求解特殊角的正切值.問題6體現(xiàn)了 k 值與直線的位置有關(guān)，是一次函數(shù)的教學(xué)難點.此處可從特殊到一般讓學(xué)生嘗試體驗，如已知直線過點（1，2），（3，4），求 k ；已知直線過點 （x₁，y₁），（x₂，y₂） ，求 k ，讓學(xué)生在求解過程中領(lǐng)悟 k 的值等于這兩點的鉛垂距離、水平距離的比值，即傾斜角的正切值，體會數(shù)學(xué)知識相互之間的關(guān)聯(lián)及本課的研究價值.

4.3整體建構(gòu)，融會貫通

問題7回顧本課的學(xué)習經(jīng)歷，說說本課的知識線和注意點、涉及的數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)習的價值.思考直角三角形中兩邊比值的組合還有哪些，重點會研究哪些組合，如何來研究，研究哪些內(nèi)容？

在此基礎(chǔ)上，教師介紹國內(nèi)外三角學(xué)發(fā)展史及三角函數(shù)發(fā)展的變化，點明三角函數(shù)的產(chǎn)生源于生活之需，適發(fā)展之要.

教學(xué)說明：教師引導(dǎo)學(xué)生從四個方面概括：一是復(fù)述學(xué)習了什么；二是分享怎么學(xué)的；三是明確為什么學(xué)；四是了解后面會學(xué)什么，怎么學(xué)，并梳理形成知識結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生理解知識的內(nèi)在生長脈絡(luò).以三角函數(shù)史為鑒，感受三角函數(shù)發(fā)生、發(fā)展的過程，體會學(xué)習三角函數(shù)的價值意義，激發(fā)學(xué)習興趣和動力.

5結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思考

結(jié)構(gòu)化視角下的課時教學(xué)，要求學(xué)習者的知識結(jié)構(gòu)螺旋式上升，這種螺旋式上升需要在學(xué)生原有的知識觀念和新知識發(fā)生不同程度的認知沖突作用下形成，這其中包括同化、順應(yīng)等過程.[5因此，課時教學(xué)要基于學(xué)生已有的認知，以發(fā)展核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，從結(jié)構(gòu)化的視角對教學(xué)內(nèi)容進行重組和優(yōu)化，通過數(shù)學(xué)情境的鋪墊，呈現(xiàn)知識間的前后關(guān)聯(lián)、學(xué)法的相似相通、思想的前后融通，幫助學(xué)生解決問題并形成有效的遷移，建立結(jié)構(gòu)化知識體系.

5.1線性鏈接要點，拾級探究新知

美國教育學(xué)者威金斯（G.Wiggins）和麥克泰格（J.McTighe）認為，良好的設(shè)計不僅僅是讓學(xué)生獲得一些新的技術(shù)和技能，而是為了以目標及其潛在的含義為導(dǎo)向，產(chǎn)生更全面、更具體的學(xué)習.教師在授課前，要厘清教學(xué)內(nèi)容有哪些知識要點，這些知識點的銜接點是什么，如何自然銜接，串點成線；教學(xué)的重難點是什么，如何提供合乎邏輯的思考臺階，拾級而上地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，實現(xiàn)再創(chuàng)造，突破重難點；教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)是什么，如何體現(xiàn)等.在此基礎(chǔ)上，圍繞教學(xué)的重難點，設(shè)計一系列子問題，用序列的方式將一個個知識點呈現(xiàn)，伴隨著知識的生長發(fā)展，思想方法線和素養(yǎng)線交織前行，最終對所學(xué)內(nèi)容形成較為全面、完整的看法.

例如，在本課中，正切的定義是教學(xué)的重難點，關(guān)鍵要突破以下幾點：一是為什么想到用直角三角形邊的大小反映角的大??；二是為什么要同時看兩邊的關(guān)系，是兩邊的什么關(guān)系；三是為什么要放在直角三角形中研究，其他三角形是否可以.正切研究一個角與兩邊的關(guān)系，如何化歸到兩個變量之間的關(guān)系，涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法，蘊含了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.這就需要教師站在學(xué)生的角度分析新舊知識的銜接點，鋪設(shè)合適的臺階引導(dǎo)并幫助學(xué)生探究新知.具體如圖7所示.

5.2網(wǎng)狀發(fā)散例題，深度理解概念

學(xué)生在了解概念的形成和發(fā)展過程后，需要通過一定量的例題訓(xùn)練理解概念，掌握內(nèi)涵和外延.教師圍繞概念設(shè)計例題，要充分考慮例題在深化理解概念的潛在作用，既要體現(xiàn)概念的應(yīng)用，又要結(jié)合學(xué)生原有知識儲備，從開放性、動態(tài)性、呼應(yīng)性等視角構(gòu)建更加靈活、廣泛的知識網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)性例題，幫助學(xué)生學(xué)習、思考和創(chuàng)造，

本課共設(shè)三例，例1屬于開放性例題，較為基礎(chǔ)，圍繞正切的知識要點，在直角三角形中已知兩邊求正切以及已知一邊一角求其余量，讓學(xué)生多元化的研究和歸納，明概念之本，知解題之道.例2屬于動態(tài)性例題，難度中等.直角頂點與斜邊上的動點的連線，形成斜邊上的高、中線及直角平分線，求這些連線與直角邊夾角的正切值.這道題讓學(xué)生學(xué)會在不同背景下把銳角轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解，明轉(zhuǎn)化之法，優(yōu)解題之術(shù).例3屬于呼應(yīng)性例題，通過數(shù)形結(jié)合用新知解決舊問，有一定難度.正切函數(shù)的學(xué)習本質(zhì)上是一個由形到數(shù)的過程，而本題則是通過數(shù)反映形，需要從深層次的數(shù)學(xué)思想層面來綜合體會、領(lǐng)悟，從而發(fā)展核心素養(yǎng).這三例圍繞“正切”這一核心概念從橫向和縱向兩個維度設(shè)計，注重知識和方法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，難度逐層增加，知識前后呼應(yīng)，架設(shè)起融通前后知識的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，具體如圖8.

5.3整體構(gòu)建框架，內(nèi)化結(jié)構(gòu)思想

正切是九年級學(xué)習的內(nèi)容，由于缺少同類知識的學(xué)習經(jīng)歷參考，學(xué)生只能依托情境，借助疊合法、控制變量法、三角形相似等方法，開辟新路徑，從而獲取知識、認識概念.為培養(yǎng)學(xué)生的整體思維，形成同類知識學(xué)習的一般觀念，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理知識的發(fā)生、發(fā)展過程以及各個要點的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，形成一個較為全面的認識，為后續(xù)學(xué)習正弦和余弦提供方法與途徑.

本課通過讓學(xué)生了解直角三角形的研究進程，即先角后邊，再研究邊角關(guān)系，最后通過樹狀圖介紹本章的知識體系.對于銳角，教師可以提出問題“我們研究了它的對邊與鄰邊的比值，而三角形除了兩直角邊外，還有斜邊，這些邊可以組合成哪些比值，你覺得最有價值的是哪幾對？我們會沿著什么路徑研究”，讓學(xué)生系統(tǒng)地了解整章內(nèi)容及結(jié)構(gòu)，為高中學(xué)習三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）

[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]候?qū)毨?數(shù)學(xué)學(xué)習內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)認知[J].中國數(shù)學(xué)教育，2024（2）：17—22+38.

[3]潘金城.HPM視角下的正切概念教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2020（2）：35-41.

[4]萬志建.整體建構(gòu)視角下的“單項式乘單項式”教學(xué)分析與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（29）：11—13.

[5成宏喬，朱宸材.結(jié)構(gòu)化教學(xué)理念下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與思考——以“一次函數(shù)”章節(jié)復(fù)習課為例[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（11）：24—27+38.

[6]格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學(xué)設(shè)計[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.