利用基本不等式解決某些代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，一直是解決此類問題中最為常用的解題方法.有些綜合問題由于代數(shù)式比較復(fù)雜，難度有時比較大，需要較強(qiáng)的解題技巧與策略.換元思維就是其中的一個重要手段，成為破解代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題的一大技巧.

1三角換元

利用三角換元思維解題時，經(jīng)常要對代數(shù)式進(jìn)行合理的設(shè)元或配方等處理，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，結(jié)合三角恒等變換并利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值（或取值范圍）.

例題（2024年山西省高三聯(lián)合模擬數(shù)學(xué)試卷第16題）已知 agt;0，bgt;0 ，且 ，則 b-1的最小值為

分析：根據(jù)題設(shè)條件中代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理進(jìn)行三角換元處理，將對應(yīng)的參數(shù)表示為三角函數(shù)表達(dá)式，通過合理變形與轉(zhuǎn)化并利用基本不等式來加以放縮處理與巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以確定對應(yīng)的最值.利用三角換元法處理是解決該問題的一個基本切入點(diǎn)與解題方法.

解析：依題，由于 agt;0，bgt;0 ，且 ，利用三角換元可設(shè) 則有

利用基本不等式，可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時等號成立，所以 b-1的最小值為8，故填答案8.

點(diǎn)評：若在問題題設(shè)中含有兩個正項(xiàng)代數(shù)式之和為1（或某個特定的值）時，經(jīng)?？梢越柚菗Q元處理，先將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的知識進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，從而得以分析與求解，達(dá)到解題的目的.三角換元思維常常用來處理兩數(shù)或兩式和為定值的關(guān)系式問題，是解決此類問題中比較常見的解題思路，

2整體換元

利用整體換元思維解題時，關(guān)鍵是抓住代數(shù)式的某個部分（或特殊結(jié)構(gòu)），如雙變元之間的比值、差值等進(jìn)行整體換元處理.在整體換元處理時，齊次化思維是其中比較常用的一種變形方式，如“除1\"法往往是化整式為分式的基本途徑.

例題（2024年遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第二次月考數(shù)學(xué)試卷第16題）已知 a²+2ab-b²=1 ，則 a²+ b² 的最小值為

分析：根據(jù)目標(biāo)結(jié)論中的關(guān)系式，并利用條件中的關(guān)系式進(jìn)行整體換元處理，通過“除1\"法進(jìn)行恒等變形，化整式齊次式為分式齊次式，結(jié)合分式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，合理配湊并利用基本不等式來進(jìn)行放縮處理，進(jìn)而得以確定對應(yīng)代數(shù)式的最值.

解析：依題 a²+2ab-b²=1 ，顯然 a≠0 ，設(shè) （204號 Ψ_t ，則有 ，解一元二次不等式有 1- ，可得

通過整式齊次式轉(zhuǎn)化為分式齊次式，并利用基本不等式，可得 當(dāng)且僅當(dāng) A即 ，亦即 時等號成立，所以 a²+ ，即 a²+b² 的最小值為 ，故填答案

點(diǎn)評：對變形后的代數(shù)式的某個部分（或特殊結(jié)構(gòu)），經(jīng)常是用比值、差值等進(jìn)行整體換元處理，能夠凸顯出某些關(guān)系式特定的解題形式，為進(jìn)一步巧妙引導(dǎo)、合理啟發(fā)開拓空間.

3對應(yīng)換元

利用對應(yīng)換元思維解題時，往往是抓住題設(shè)條件與所求結(jié)論中對應(yīng)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行對應(yīng)換元處理，從而簡化關(guān)系式的復(fù)雜程度，使得所求代數(shù)式與題設(shè)條件之間的聯(lián)系更加密切，為進(jìn)一步利用基本不等式來放縮提供條件.

例題已知正實(shí)數(shù) x，y 滿足 x+2y+2=2xy 則 的最小值為

分析：根據(jù)題設(shè)條件，對題設(shè)條件中的關(guān)系式進(jìn)行合理變形轉(zhuǎn)化，與結(jié)論所求的代數(shù)式加以對比，而后進(jìn)行合理配湊與因式分解、對應(yīng)換元處理，利用兩變量的定積，結(jié)合基本不等式的放縮來確定所求代

數(shù)式的最值.

解析：依題，正實(shí)數(shù) x，y 滿足 x+2y+2=2xy . 變形轉(zhuǎn)化可得

設(shè) x-1=a，2y-1=b ，由于 x，y 為正實(shí)數(shù)，則 有 agt;0，bgt;0 且 ab=3

利用基本不等式，可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 3a=2b ，亦即 3（x-1）=2（2y-1） 時等號成立，所以 2y-1的最小值為2√2，故填答案2√2.

點(diǎn)評：利用兩個或多個新的變量替換原來的兩個或多個變量，從而合理改變題目結(jié)構(gòu)，進(jìn)而給原來繁雜的代數(shù)式創(chuàng)造了新的解題機(jī)會，特別要注意的是多次利用基本不等式時每個不等式取等號的條件應(yīng)是相同的.

4變形換元

利用變形換元思維來處理問題時，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件中的代數(shù)式與所求結(jié)論中的代數(shù)式兩者之間的結(jié)構(gòu)特征與聯(lián)系加以合理變形轉(zhuǎn)化與換元選取.變形換元思維處理時，依托換元轉(zhuǎn)化，往往可以使得多元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征更加突出，方便利用不等式或函數(shù)等思維來進(jìn)一步分析與求解，

例題（2023年浙江省寧波市高中數(shù)學(xué)競賽試題第11題）已知 x，y，z 均為正實(shí)數(shù)， xy+yz=1 ，則 的最小值是

分析：根據(jù)題設(shè)條件中多元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，利用提取公因式變形轉(zhuǎn)化，并進(jìn)行雙變量變形換元處理，而后借助基本不等式的放縮來確定最值.

解析：依題 xy+yz=1 ，則有 （x+z）_y=1 ，令x+z=mgt;0，y=ngt;0 ，則有 mn=1

利用基本不等式，可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) n ， 時等號成立，顯然這樣的正實(shí)數(shù) x，y，z 均存在，所以"""的最小值是""，故填答案"

點(diǎn)評：先對所給的代數(shù)式進(jìn)行合理變形，然后對其中的特定結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行換元處理，用新變量替換原來的舊變量，進(jìn)而有效揭露代數(shù)式中所隱含的關(guān)系，為進(jìn)一步利用基本不等式放縮而順利解題創(chuàng)造了條件.

5結(jié)語

基于換元思維的基本不等式的放縮與應(yīng)用，往往使得問題中所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征更加明顯突出，對代數(shù)式的放縮與最值求解更加直接有效，有利于某些代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題的分析與求解.換元法與基本不等式的綜合與協(xié)同，共同實(shí)現(xiàn)某些代數(shù)式的最值（或取值范圍）求解，聯(lián)袂應(yīng)用，真正達(dá)到"_1+1gt;2"的效果.