歷年的高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題，用于競(jìng)賽選拔的同時(shí)，也是高考命題的一個(gè)重要來(lái)源.特別是一些涉及高中主干知識(shí)點(diǎn)考查與應(yīng)用的競(jìng)賽試題中，還可以作為高考模擬題來(lái)拓展與研究，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用與數(shù)學(xué)思維能力的拓展，這成為高考數(shù)學(xué)解題研究中的一個(gè)重要陣地，一直備受各方關(guān)注

1問題呈現(xiàn)

問題[2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽（一試）試題第7題設(shè) F₁，F(xiàn)₂ 為橢圓 的焦點(diǎn)，在 上取一點(diǎn) P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)），記 O 為 ΔPF₁F₂ 的外心，若 ，則 的離心率的最小值為

分析：此題難度中等，是一道基于橢圓及其應(yīng)用的問題場(chǎng)景，需要借助橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的設(shè)置，利用平面幾何中三角形的外心及其性質(zhì)，融合平面向量的數(shù)量積加以綜合，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)橢圓的離心率的最值.

該問題作為競(jìng)賽試題并不是很難，可以作為高考模擬題來(lái)拓展，關(guān)鍵在于合理的數(shù)學(xué)思維切入、巧妙的技巧方法應(yīng)用.在競(jìng)賽中，可以借助不等式思維來(lái)切入與應(yīng)用；在高考模擬中，可以借助方程思維或參數(shù)方程思維等來(lái)切入與應(yīng)用，這都是突破與應(yīng)用的關(guān)鍵所在.

2問題破解

2.1不等式思維方法1（柯西不等式法）

取 F₁F₂ 的中點(diǎn) M ，結(jié)合 ΔPF₁F₂ 外心的幾何性質(zhì)，有 ，故

記 ∣PF₁∣=u，∣PF₂∣=v，∣F₁F₂∣=d ，則 · . （20

又 v²-d² ，故由條件知 ，即

由柯西不等式可知， ·

，當(dāng)且僅當(dāng) 9u²=v² 即 時(shí)等號(hào)成立，所以 的離心率

4，當(dāng)u：：d=1：3：√6時(shí)，Ω的離心率e取到最小值 ，故填答案 A

點(diǎn)評(píng)：不等式思維是處理解析幾何中相關(guān)要素的最值（或取值范圍）等問題中，比較常用的一種解題方法.以上解題方法借助代數(shù)式的合理配湊，以及柯西不等式來(lái)合理放縮與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了較強(qiáng)的技巧性.

2.2方程思維

方法2（判別式法1）.

以上部分同方法1，可得 2d²=3u²+v²

由 |F₁F₂|=d=2c，|PF₁|+|PF₂|=u+v= 2a， ，可得 d=e（u+v） ，所以 γ）²=3u²+v² ，即

令 ，得 整理可得中（2e²-3）t²+4e²t+2e²-1=0.

顯然 ，不符合橢圓離心率的取值范圍），則有判別式 Δ=16e⁴-4（2e²-3） ·（2e²-1）=32e²-12≥0 ，則有 ，解得 ，即 的離心率 e 的最小值為 ，故填答案 ·

方法3（判別式法2）.

以上部分同方法1，可得 2d²=3u²+v²

|F₁F₂|=d=2c，|PF₁|+|PF₂|=u+v=2a， 則有 8c²=3u²+（2a-u）² ，整理可得 u²-au+a²- 2c²=0. 由判別式 Δ=a²-4（a²-2c²）=8c²-3a²? 0，則有 ，解得e 4，即的離心率e的最小值為 ，故填答案 ：

點(diǎn)評(píng)：方程思維是解決參數(shù)的最值（或取值范圍）問題中，比較常用的一種解題方法.該方法的關(guān)鍵在于合理構(gòu)建相應(yīng)的二次方程，利用方程有實(shí)根的條件，借助判別式法來(lái)構(gòu)建不等式，通過不等式的求解與應(yīng)用，來(lái)確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的最值（或取值范圍）.在實(shí)際應(yīng)用方程思維來(lái)處理問題時(shí)，合理的引參、方程的構(gòu)建、設(shè)而不求等思維的應(yīng)用，成為破解問題的關(guān)鍵

2.3參數(shù)方程思維

方法4（參數(shù)方程法）.

不妨設(shè)橢圓 的焦點(diǎn)在 x 軸上，而 O 為ΔPF₁F₂ 的外心，結(jié)合 ΔPF₁F₂ 外心的幾何性質(zhì)，有 O 在 F₁F₂ 的垂直平分線上，即 O 在 y 軸上，則設(shè)O（0，m） ·

結(jié)合橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程 0），設(shè) P（acosθ，bsinθ），θ∈（0，π）

由 ，可得 -b

由 2（a²cos²θ-c²+b²sin²θ） ，則有－2accos θ= 2（a²cos²θ-c²+b²sin²θ） ，即一accos θ=a² · a²-c²（2-cos²θ） ·

兩邊同時(shí)除以 a² ，得一ecos

cos²θ. ，整理可得 e²cos²θ+ecosθ+1-2e²=0. 由于cc ，則有判別式 Δ=e²-4e²（1-2e²）=8e⁴-3e²?0 ，則有 ，解得e ，等號(hào)成立時(shí)有cos ，即 的離心率 e的最小值為 ，故填答案 ·

點(diǎn)評(píng)：參數(shù)方程思維是處理涉及解析幾何中有關(guān)向量的數(shù)量積問題時(shí)，經(jīng)常采用的一種解題方法.借助解析幾何中對(duì)應(yīng)曲線的參數(shù)方程，結(jié)合角參數(shù)的引入來(lái)創(chuàng)設(shè)場(chǎng)景，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，為進(jìn)一步確定向量的數(shù)量積創(chuàng)造條件.合理的三角恒等變換，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角方程的轉(zhuǎn)化以及判別式的構(gòu)建等方面的應(yīng)用，給問題的進(jìn)一步解決指明了方向.

3變式拓展

基于以上競(jìng)賽試題的解析與應(yīng)用，對(duì)問題進(jìn)一步挖掘與探究，并進(jìn)行推廣與應(yīng)用，得到以下更具一般性的變式問題.

變式設(shè) F₁，F(xiàn)₂ 為橢圓 的焦點(diǎn)，在 上取一點(diǎn) P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)），記 O 為 ΔPF₁F₂ 的外心，若 ，則 的離心率的最小值為

解析：取 F₁F₂ 的中點(diǎn) M ，結(jié)合 ΔPF₁F₂ 外心的幾何性質(zhì)，有 ，故

記|PF1|=u，|PF|=γ，|FF2|=d，則PO·

又 ·（u²+v²-d²） ，故由條件知 v²-d²） ，即 2λd²=（2λ+1）u²+（2λ-1）v²，

由柯西不等式可知， v）² ，當(dāng)且僅當(dāng) （2λ+1）²u²=（2λ-1）²v² ，即 （2λ+ 1）u=（2λ-1）v 時(shí)等號(hào)成立.

Y ，所以 的離心率 e= ，當(dāng) u：v：d= 時(shí)， 的離心率 e 取到最小值 ，故填答案

其實(shí)，變式是類比以上競(jìng)賽試題的不等式思維下的柯西不等式法來(lái)解決與應(yīng)用.當(dāng)然也可以借助方程思維與參數(shù)方程思維等來(lái)解決，這里不再加以展開，可以參照以上部分的相應(yīng)解題方法來(lái)處理.

4教學(xué)啟示

4.1知識(shí)交匯，能力綜合

圓錐曲線及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)知識(shí)模塊中的基本知識(shí)之一.此類涉及圓錐曲線及其應(yīng)用的問題，很好地交匯代數(shù)與幾何，融合“數(shù)”“形”，兼?zhèn)洹皠?dòng)”“靜”，體現(xiàn)“等”與“不等”、“常值”與“最值\"等辯證關(guān)系，是數(shù)學(xué)多方面知識(shí)融合與交匯的一大重要場(chǎng)所，有效考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，體現(xiàn)選拔與區(qū)分功能的主陣地之一.

4.2把握本質(zhì)，善于解題

美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞（G.Polya）曾說(shuō)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”數(shù)學(xué)解題教學(xué)的本質(zhì)就是通過解題教學(xué)與解題研究，全面鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有效把握數(shù)學(xué)解題思想，不斷積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)解題技巧，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)解題策略，形成解題意識(shí).

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)與解題研究時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的解題觀，充分挖掘問題的本質(zhì)及內(nèi)涵，充分認(rèn)清問題的條件；通過有效地深入挖掘內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，結(jié)合“一題多變\"等巧妙變式與拓展，養(yǎng)成自身良好的數(shù)學(xué)解題品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).