2024年數(shù)學(xué)新高考全國I卷創(chuàng)設(shè)了全新的試卷結(jié)構(gòu)和難度模型，其中題量從原先的22題減少到19題，分值和多選題的得分規(guī)則也發(fā)生了變化.高考數(shù)學(xué)通過創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)和題目風(fēng)格，深化基礎(chǔ)性考查，強(qiáng)調(diào)對學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的深刻理解，不考死記硬背，不出偏題怪題，著力遏制猜題押題，減少題海戰(zhàn)術(shù)的濫用，引導(dǎo)中學(xué)教師把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，提升課堂效果和作業(yè)效率.1在解析幾何知識(shí)的考查上，2024年數(shù)學(xué)新高考全國I卷第11題充分體現(xiàn)了“多思少算\"的設(shè)計(jì)理念，引導(dǎo)高中解析幾何教學(xué)注重思維訓(xùn)練，加強(qiáng)思維能力的培養(yǎng).

1試題呈現(xiàn)

造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線 C 的一部分.已知 C 過坐標(biāo)原點(diǎn) O ，且 C 上的點(diǎn)滿足：橫坐標(biāo)大于一2，到點(diǎn) F（2，0） 的距離與到定直線 x=a（alt;0） 的距離之積為4，則.

D.當(dāng)點(diǎn) （x₀，y₀） 在 C 上時(shí)，

依據(jù)《中國高考評價(jià)體系》三個(gè)維度對該試題進(jìn)行評價(jià).[2]

（1）為什么考.考查學(xué)生面對新情境、解決新問題的創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)問題，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考、發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的想象力和思維張力，深入考查思維能力，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔，

A. a=-2

B.點(diǎn) 在 c 上

C. C 在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

（2）考什么.試題涉及軌跡方程、函數(shù)最值、不等式問題等，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

（3）怎么考.摒棄了以往常見的以三種圓錐曲線為載體，從“絲帶”這個(gè)實(shí)際生活背景出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)模型，重新定義了一個(gè)新曲線，并研究它的一些相關(guān)性質(zhì).

2解題思路

2.1理解題意

A選項(xiàng)要求學(xué)生求出參數(shù) ^a，B 選項(xiàng)要求判斷點(diǎn)是否在曲線上，C選項(xiàng)是求最值問題，D選項(xiàng)判斷點(diǎn)在曲線上時(shí)， y₀ 和 的不等關(guān)系.

2.2制定計(jì)劃

利用題目所給條件寫出新曲線的方程 · ，根據(jù)題設(shè)將原點(diǎn)代入曲線方程后可求出 a ，從而判斷A的正誤，再結(jié)合曲線方程可判斷B的正誤.對于C選項(xiàng)，可以由軌跡方程，將 y 表示成 x 的函數(shù)，再通過求導(dǎo)的方法判斷或求出 的最大值.對于D選項(xiàng)，將曲線方程化簡后結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷 D 是否正確

2.3實(shí)施計(jì)劃

設(shè)曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) ，則 ，因?yàn)榍€ C 過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 ，又alt;0 ，所以 a=-2 ，故A正確.

對于B選項(xiàng)，因?yàn)榍€方程為 |x-a∣=4（xgt;-2） ，當(dāng) 時(shí)， ，故 在曲線 C 上，B正確.

對于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn) P 在第一象限時(shí)，由曲線方程可得 令藍(lán) （x-2）² 則 ，因?yàn)閒（2）=1 ，且 f^′（2）lt;0 ，所以曲線 C 在 x=2 處的切線斜率小于0，說明在其附近函數(shù)單調(diào)遞減，則縱坐標(biāo)的最大值肯定比1大，故C錯(cuò)誤

對于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn) （x₀，y₀） 在曲線 C 上時(shí)，由C選項(xiàng)可得 所以 x0+2故D正確.

2.4 回顧反思

我們發(fā)現(xiàn)上述C、D選項(xiàng)的解答稍顯煩瑣，是否有特殊的方法？如特值法、數(shù)形結(jié)合法等.

在 x=2，y=1 的條件下，可以直接利用圖象，過點(diǎn) F 作一條垂線，與曲線交于點(diǎn) P ，此時(shí)發(fā)現(xiàn) P 點(diǎn)不是最高點(diǎn)，也可判斷C選項(xiàng)是錯(cuò)的；或者直接在點(diǎn)P 處作一條切線，發(fā)現(xiàn)其切線斜率不為0，非端點(diǎn)最值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不為0，可判斷C選項(xiàng)不正確，避開煩瑣的運(yùn)算，自然是此題的好方法.

再看D選項(xiàng)，解析幾何要靈活運(yùn)用曲線定義，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，數(shù)形結(jié)合地看問題.如圖1所示，過點(diǎn) 作 PA⊥OF 垂足為 A ，則 xo+2，顯然有yo≤lyo丨=PA≤ ，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 在 x 軸下方時(shí)，不等式顯然也成立， D 正確.

這個(gè)方法體現(xiàn)了解析幾何中“多思少算”的思想，這在后續(xù)的解析幾何大題中也有所體現(xiàn)

3追本溯源

3.1試題的源

試題的源頭來自有理曲線：如果一條代數(shù)曲線的點(diǎn)可以表示成參數(shù)的有理函數(shù)，則該曲線稱為有理曲線，如蔓葉線（如圖2）、笛卡爾葉形線（如圖3）、環(huán)索線（如圖4）等均為有理曲線

2024年數(shù)學(xué)新高考I卷第11題就是源自有理曲線 （x+2）²?[（x-2）²+y²]=16 圖象上橫坐標(biāo)大于一2的部分.

3.2鏈接高考

（2011年高考北京卷）曲線 C 是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F₁（-1，0） 和 的距離的積等于常數(shù) α² 1 （agt;1） 的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論： ① 曲線 C 過坐標(biāo)原點(diǎn)； ② 曲線 C 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱； ③ 若點(diǎn) P 在曲線 C 上，則 ΔF₁PF₂ 的面積不大于

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

此題是以“到兩定點(diǎn)距離之積”為命題切人，考查了曲線的軌跡方程、對稱性、動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的最值問題，與2024年數(shù)學(xué)新高考全國I卷第11題有異曲同工之處.

3.3 回歸課本

人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》給出了滿足到定點(diǎn)與定直線的距離之比為定值的曲線相關(guān)探究與習(xí)題，使圓錐曲線統(tǒng)一了定義：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為定值.將“比\"換成“積”得到了本題的曲線.我們自然會(huì)思考“若將其改為距離之和或差時(shí)，會(huì)得到什么形狀的曲線？曲線會(huì)有哪些性質(zhì)呢”.按照這個(gè)思路，可以將2024年數(shù)學(xué)新高考全國I卷第11題進(jìn)行推廣.

4推廣運(yùn)用

4.1探究距離之“和”

利用GeoGebra軟件（以下簡稱“GGB\"繪制平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線 a 的距離之和為定值的軌跡，當(dāng)參數(shù) a 取不同值時(shí)，軌跡不一定會(huì)存在，但當(dāng)軌跡存在時(shí)，其形態(tài)為兩段不連續(xù)的拋物線型曲線（如圖5、圖6、圖7）.

結(jié)論：平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線的距離之和為定 值（大于定點(diǎn)到定直線的距離）的點(diǎn)的軌跡為兩段拋 物線（均不完整）.

4.2探究距離之“差”

同樣，通過GGB軟件繪制平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線的距離之差為定值的軌跡，發(fā)現(xiàn)軌跡不一定存在，若存在即為拋物線（如圖8）.若改變定值或定點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)不同的圖形（如圖9）.

事實(shí)上，若將距離改為之“和\"或“差”，其軌跡方程都不難研究，因?yàn)榭梢詫?x 的范圍進(jìn)行分類討論，再將其方程化簡，得到分段圖象，即可研究圖象的性質(zhì).

4.3變式訓(xùn)練

變式1已知曲線 C 是平面內(nèi)到定點(diǎn) F（0，1） 和定直線 l：y=-1 的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)P（x₀，y₀） 在曲線 C 上，則下列結(jié)論正確的是.

A.曲線 C 關(guān)于 x 軸對稱B.曲線 c 關(guān)于 軸對稱C. -2?x₀?2

D. 1?|PF|?4

變式2 已知曲線 c . · ，以下結(jié)論正確的有

（1）C 過（0，0）.（2）C 上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是[一2，2].（3）C 關(guān)于 x 軸對稱，也關(guān)于 軸對稱，還關(guān)于原點(diǎn)對稱.

（4）P 是 C 上任意一點(diǎn)， A（0，1），B（0，-1） ，則S_ΔPAB 的最大值是

4.4推廣價(jià)值

通過推廣運(yùn)用進(jìn)一步考查學(xué)生“用代數(shù)方法研究幾何問題”的能力.變式1判斷曲線的對稱性問題，寫出方程后可以直接用一 x 代替 x ，方程不變，說明圖象關(guān)于 y 軸對稱.對于選項(xiàng)的設(shè)計(jì)應(yīng)貫徹“多思少算”的思想，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.變式2求解最值問題時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合，減少計(jì)算量.

5教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)\"指出：“數(shù)學(xué)教材為‘教與‘學(xué)活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源.\"[3教育部教育考試院強(qiáng)調(diào)，要堅(jiān)持考教銜接，引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)、提升能力、發(fā)展素養(yǎng).近年來，新高考為發(fā)揮“引導(dǎo)教學(xué)\"的核心功能，試題注重對教材知識(shí)的延伸和發(fā)展，多數(shù)試題都能在教材中找到蹤影.高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以教材為本，重視教材的作用，把教材作為教學(xué)的核心資源，在課堂教學(xué)中遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)學(xué)情、利用教材進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)與實(shí)施.

5.1研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，領(lǐng)會(huì)課標(biāo)精神

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、課堂教學(xué)、學(xué)業(yè)評價(jià)和高考命題的依據(jù).教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合自身教學(xué)實(shí)際情況，選擇更適合學(xué)生學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容的方法開展教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量.

5.2用好教材例題、習(xí)題，進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)

高考試題源于教材，又高于教材，近年來有眾多試題源于教材或由教材中的例題、習(xí)題改編.教師應(yīng)重視對教材典型例題和習(xí)題的精講、精練，并加以挖掘和改造，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，這樣可以有效避免機(jī)械重復(fù)的練習(xí)，幫助學(xué)生掌握知識(shí)技能，感受數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，

5.3用好章小結(jié)，使知識(shí)系統(tǒng)化

教師應(yīng)該充分利用章小結(jié)中的“本章知識(shí)結(jié)構(gòu)”“回顧與思考”部分，整合主干知識(shí)，完善專題體系，形成學(xué)科思想.通過引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，直觀地呈現(xiàn)整章知識(shí)的結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解和記憶，提煉本章中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生對知識(shí)運(yùn)用的靈活性，從整體上把握知識(shí)的系統(tǒng)性，

5.4用好教材中的“閱讀與思考”，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究的能力

人教A版普通高中教科書的“閱讀與思考\"欄目，為學(xué)生提供豐富的，具有思想性、實(shí)踐性、挑戰(zhàn)性的反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的選學(xué)材料，能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)\"“用數(shù)學(xué)\"的意識(shí).這些材料所具備的拓展性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性及展示數(shù)學(xué)文化的趣味性是命制新定義試題所必需的.近些年，這些材料也常常作為高考命題的素材出現(xiàn)在高考試題中.

教師可以通過這些具有啟發(fā)性、探究性的數(shù)學(xué)材料，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探索，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)新思維和批判性思維能力；通過實(shí)際問題的分析和解決，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際情境中，提高學(xué)生提出、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

通過教學(xué)使學(xué)生在面對新情境、陌生問題時(shí)能獨(dú)立找到解決方法，這正是數(shù)學(xué)教師教學(xué)過程中落實(shí)考教銜接的意義所在.

參考文獻(xiàn)

[1]教育部教育考試院.優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)突出思維能力考查2024年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析[J].中國考試，2024（7）：79-85.

[2]教育部考試中心.中國高考評價(jià)體系（2019年版）[M.北京：人民教育出版社，2019.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.