摘 要 完全平方公式是整式運算中的一類特殊的公式，完全平方公式的學(xué)習(xí)過程是通過學(xué)生對知識的生成，形成數(shù)學(xué)重要思想方法的關(guān)鍵過程，從而落實對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，繼而發(fā)展學(xué)生抽象推理運算能力． 本文以“完全平方公式”為例，經(jīng)歷歸納自然生成，經(jīng)歷幾何推理論證，經(jīng)歷辨析加深理解，經(jīng)歷運用升華公式，經(jīng)歷小結(jié)提升能力五個維度說明如何在落實素養(yǎng)的過程中去發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

關(guān)鍵詞 核心素養(yǎng)；完全平方公式；學(xué)習(xí)能力提升

在“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”提出之后，越來越多的學(xué)者開始對其進行研究和討論． 王冰從實際教學(xué)的四個方面入手，提出了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本策略，即內(nèi)容的整體性、教學(xué)的過程性、學(xué)科的思想性和“用數(shù)學(xué)”． 由此，“基于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)，怎樣更好地將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入到教學(xué)中，從而發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力”是一個值得研究的問題.

在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，完全平方公式是整式運算中的一類特殊的公式，從浙教版知識安排的連續(xù)性看，完全平方公式的學(xué)習(xí)過程是通過學(xué)生對知識的生成，形成數(shù)學(xué)重要思想方法的關(guān)鍵過程，從而落實對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，繼而發(fā)展學(xué)生抽象推理運算能力． 因此，完全平方公式的教學(xué)是發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一個非常好的載體． 本文以“完全平方公式”為例，談?wù)勅绾巍盎谒仞B(yǎng)培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)習(xí)能力”．

１ 教學(xué)過程

１． １ 經(jīng)歷歸納自然生成

問題１ 在３． ３ 節(jié)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過多項式的乘法，那么多項式與多項式相乘滿足什么樣的法則呢？

生１：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的梅一項，再把所得的積相加．

問題２ 根據(jù)多項式乘法的運算法則，計算下列３ 個小題：

（１）（ｘ ＋ １）（ｘ ＋ １）；

（２）（ｘ ＋ ２）（ｘ ＋ ２）；

（３）（ｘ ＋ ３）（ｘ ＋ ３）.

學(xué)生板書如下：

（１）（ｘ ＋ １）（ｘ ＋ １）＝ ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｘ ＋ １ ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ＋ １．

（２）（ｘ ＋ ２）（ｘ ＋ ２）＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ２ｘ ＋ ４ ＝ ｘ２ ＋４ｘ ＋ ４．

（３）（ｘ ＋ ３）（ｘ ＋ ３）＝ ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ３ｘ ＋ ９ ＝ ｘ２ ＋６ｘ ＋ ９．

追問１ 觀察上述三個多項式運算結(jié)果，歸納它們的共性？

生２：兩個相同的多項式相乘等于這兩項的平方和再加上這兩項積的２ 倍，（教師提示１，４，９ 分別是１，２，３ 的平方）．

追問２ 你能歸納出更一般的結(jié)論嗎？

生３：（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２ ．

問題３ 該公式與一般的乘法公式：（ａ ＋ ｂ）（ｃ＋ ｄ）＝ ａｃ ＋ ａｄ ＋ ｂｃ ＋ ｂｄ 有什么聯(lián)系？

生４：（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２ 是（ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）＝ ａｃ ＋ ａｄ ＋ ｂｃ ＋ ｂｄ 在ｃ ＝ ａ，ｄ ＝ ｂ 的特殊結(jié)果．

師：我們通常把這樣規(guī)律的公式成為完全平方公式，請你嘗試用文字語言描述．

生５：（學(xué)生完全正確表示有點困難，教師引導(dǎo)）兩數(shù)和的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)積的２ 倍．

１． ２ 經(jīng)歷幾何推理論證

師：１６ 世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達在《分析方法入門》一書中首次用字母表示任意數(shù)，書中給出了完全平方公式Ａ２ ＋ ２ＡＢ ＋ Ｂ２ ＝ （Ａ ＋ Ｂ）２，這是歷史上首次出現(xiàn)的完全平方公式的代數(shù)表示，事實上，早在公元前３ 世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中將完全平方公式以幾何命題的形式抽象出來了．

問題４ 請大家觀察我們得到的（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２＋ ２ａｂ ＋ ｂ２，從圖形的角度看，你能聯(lián)想到什么？

追問１ 在幾何圖像中，如何用幾何圖形表示兩數(shù)和呢？

生６：用線段表示．

師：能具體嗎？

生７：用線段ＡＢ表示ａ 和線段ＢＣ 表示ｂ，則線段ＡＣ 表示ａ ＋ ｂ，如圖１．

追問２ 如何用幾何圖形表示一個數(shù)的平方呢？

生８：用正方形的面積．

師：基于上述問題，你能用圖形表示完全平方公式嗎？

學(xué)生討論匯報集體成果．

生９：如圖２，（ａ ＋ ｂ）２ 可以看成邊長為ａ ＋ ｂ的大正方形面積，ａ２，ｂ２ 可以看成邊長為ａ，ｂ 的小正方形面積，ａｂ 看成邊長為ａ，ｂ 長方形的面積．

問題５ 我們知道數(shù)的四則運算中加法與減法是一對互逆運算，那么從互逆運算出發(fā)，你能得到什么？

生１０：把完全平方公式中ｂ看成－ ｂ，可以得到（ａ － ｂ）２ ＝ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２ ．

問題６ 我們能否把將圖中的字母稍加調(diào)整來驗證以上公式？

學(xué)生討論，探索得到3.

師：很好，同學(xué)們通過代數(shù)推理和幾何表征多角度得到兩組公式，我們統(tǒng)稱為完全平方公式.

1.3 經(jīng)歷辨析加深理解

練習(xí) 下列運算是否正確？如有錯誤，請改正．

（１）（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２；

（２）（－ ａ ＋ ｂ）２ ＝ － ａ２ ＋ ｂ２；

（３）ａ２ ＋ ｂ２ ＝ （ａ ＋ ｂ）２ － ２ａｂ；

（４）（ａ ＋ ｂ）２ － （ａ － ｂ）２ ＝ ４ａｂ；

（５）ｘ２ － ２ｘ ＋ ２ ＝ （ｘ － １）２ ＋ １．

學(xué)生小組討論，匯報如下：

（１）（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２；（２）（－ ａ ＋ ｂ）２ ＝（ｂ － ａ）２ ＝ ｂ２ － ２ａｂ ＋ ａ２；（３）是由兩數(shù)和的完全平方兩邊減去２ａｂ 得到的；（４）把兩數(shù)和的平方減去兩數(shù)差的平方得到；（５）ｘ２ － ２ｘ ＋ ２ ＝ （ｘ２ － ２ｘ ＋ １）＋ １ ＝ （ｘ － １）２ ＋ １．

師：在辨別完全平方公式時，大家一定要在整體的視角下識別到公式的結(jié)構(gòu)，記公式左邊時兩數(shù)和或差的平方，公式右側(cè)是兩數(shù)平方和加上或減去兩數(shù)積的２ 倍，這樣我們才能做到公式正用和逆用，例如（１）（２）正用，（５）逆用，同時通過公式的辨析，掌握它的３ 個常用變形：

（１）ａ２ ＋ ｂ２ ＝ （ａ ＋ ｂ）２ － ２ａｂ；

（２）ａ２ ＋ ｂ２ ＝ （ａ － ｂ）２ ＋ ２ａｂ；

（３）（ａ ＋ ｂ）２ － （ａ － ｂ）２ ＝ ４ａｂ．

１． ４ 經(jīng)歷運用升華公式

例 用完全平方公式計算：

（１）（ｘ ＋ ｙ）２；

（２）（２ａ － ５）２；

（３）（－ ２ｓ ＋ ｔ）２；

（４）（－ ３ｘ － ４ｙ）２ ．

例題講解完后，嘗試讓學(xué)生自主編寫例題，如下：

（１）（ａ ＋ ＿）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２；

（２）（ａ ＋ ＿）２ ＝ ａ２ ＋ ４ａｂ ＋ ４ｂ２；

（３）（ａ － ＿）２ ＝ ａ２ － ４ａｂ ＋ ４ｂ２；

（４）（ａ － ＿）２ ＝ ａ２ ＋ ４ａｂ ＋ ４ｂ２ ．

變式 已知ａ ＋ ｂ ＝ ３，ａｂ ＝ １，求ａ２ ＋ ｂ２，（ａ －ｂ）２ ．

教師引導(dǎo)學(xué)生完成，然后講解．

１． ５ 經(jīng)歷小結(jié)提升能力

問題７ 今天你學(xué)習(xí)了什么？你是通過什么樣的方法獲得的？

生１１：今天我學(xué)習(xí)了完全平方公式，我是通過特殊到一般歸納出兩數(shù)和的公式，然后通過幾何和代數(shù)兩種方法證明了兩個公式．

問題８ 你覺得學(xué)習(xí)了完全平方公式有什么用？

學(xué)生暢所欲言．

２ 反思回顧

本節(jié)課是乘法公式的第２ 課時，是多項式乘多項式的又一特殊公式，而乘法公式結(jié)構(gòu)的特殊性使乘法公式有廣泛的運用，例如完全平方公式是配方法的基礎(chǔ)，是進行代數(shù)變形與數(shù)學(xué)運算的根基，接下來八年級九年級的一元二次方程、一元二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中都離不開完全平法公式，因此在本節(jié)課中埋下思維的種子．

２． １ 經(jīng)歷歸納過程發(fā)展抽象建模能力

由特殊到一般，通過歸納特殊問題的共同特征，從共同特征中去發(fā)現(xiàn)提煉共性問題是培養(yǎng)抽象建模能力的重要過程． 由于這一過程是歸納共同特性，因此在教學(xué)設(shè)計中要給學(xué)生提供具有相同結(jié)構(gòu)的情境，以便學(xué)生通過情境，發(fā)現(xiàn)問題的共性，提煉出概念或公式． 本節(jié)課從歸納共性幫助學(xué)生發(fā)展抽象建模能力，抽象建模過程如下：

學(xué)生通過歸納共性，成功的抽象建模出（ａ ＋ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２，然后通過設(shè)計問題３ 和問題５，即對乘法公式中條件的特殊化，這一過程為演繹推理，從代數(shù)的視角幫助學(xué)生理清邏輯關(guān)系，理清公式的本質(zhì)，其邏輯關(guān)系如下．

２． ２ 經(jīng)歷幾何表征發(fā)展直觀想象能力

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》的對完全平方公式的幾何描述較法國數(shù)學(xué)家韋達在《分析方法入門》一書中完全平方公式的字母表示早了１８００ 年． 因此，在教學(xué)中，不能忽視完全平方公式的幾何背景，從而做到自然語言、圖形語言及符號語言三種語言間的相互轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化過程中讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力． 但是如何把正方形的面積與完全平方公式之間建立聯(lián)系，這是本節(jié)課教學(xué)的一個難點． 事實上，學(xué)生已經(jīng)具備初步數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗，比如線段長度刻畫一個正數(shù)，正方形的面積是一個邊的平方，長方形的面積是相鄰兩個邊的乘積，這些都是簡單的數(shù)與形的相互表征． 然后，初中的公式更加復(fù)雜，怎么樣自然而然的突破數(shù)形相互表征的難點，發(fā)展學(xué)生直觀想象的能力呢？本節(jié)課，在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上，設(shè)計問題４ 的追問１ 和追問２，將幾何圖形從一維過度到二維，相應(yīng)的代數(shù)式也從單一的和上升到多項式的乘法，逐步遞進將三種語言進行相互轉(zhuǎn)化． 思維一旦形成，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力一定的提升，有能力解決更加復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)與其對應(yīng)的幾何表征，例如問題６ 學(xué)生很自然的通過圖３ 來刻畫代數(shù)式（ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２ ．

２． ３ 經(jīng)歷公式辨析發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力

運算能力是公式教學(xué)需要發(fā)展的一個重要能力，運算能力體現(xiàn)為公式的整體結(jié)構(gòu)的辨析，公式整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，公式等號左右的逆運用以及公式的變形運用，而這些都需要學(xué)生呈現(xiàn)良好的運算能力，同時在運算能力的體現(xiàn)過程中，呈現(xiàn)出學(xué)生的思維能力． 本節(jié)課從三個維度來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，第一識別公式結(jié)構(gòu)，在教學(xué)第三環(huán)節(jié)中，設(shè)計（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ 和（－ ａ ＋ ｂ）２ ＝ － ａ２ ＋ ｂ２ 兩個辨析，目的讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確的識別公式左右兩側(cè)的帶式特征，明確不同的代數(shù)式有具有不同的含義，并能夠用自然語言敘述出來，這一過程相當(dāng)重要，能夠幫助學(xué)生記憶公式；第二公式的等式變形，事實上公式的等式變形就是在學(xué)生熟練公式的基礎(chǔ)上，對公式中各項進行任意的變換位置，這對運算能力提出了更高的要求，例如ａ２ ＋ ｂ２ ＝ （ａ ＋ ｂ）２ －２ａｂ 和（ａ ＋ ｂ）２ － （ａ － ｂ）２ ＝ ４ａｂ；第三公式的部分變形，學(xué)生對公式的認(rèn)識停留在（ａ ＋ ｂ）２和ａ２ ＋ ｂ２ ＋２ａｂ 這樣整體結(jié)構(gòu)上． 事實上，在以后的學(xué)習(xí)過程中，更多的代數(shù)表征是以ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｃ或ａ２ ＋ ｃ ＋ ｂ２的形式出現(xiàn)的，這對運算能力要求更上一檔次了，再次需要學(xué)生對比部分結(jié)構(gòu)與整體結(jié)構(gòu)的差異，進行適當(dāng)?shù)奶眄椈驕p項，將代數(shù)式中的部分進行公式應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為ｔ２ ＋ ｍ的結(jié)構(gòu)，即一元二次方程中常用的配方法，這也是公用教學(xué)中運算能力培養(yǎng)的最高境界了．

總之，公式教學(xué)不是單純的死記硬背，而是在數(shù)學(xué)知識間完整體系下，去研究知識間的相互聯(lián)系，在研究過程中自然流暢的發(fā)展學(xué)生的各種能力，融素養(yǎng)培養(yǎng)于無形中.