綦春霞

北京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究院教授、博士生導(dǎo)師，中國教育學(xué)會課程專業(yè)委員會常務(wù)理事，中國教育學(xué)會基礎(chǔ)教育評價學(xué)會常務(wù)理事；義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組核心成員，全國中考數(shù)學(xué)評估組專家，全國高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測評估組專家，北京師范大學(xué)教育質(zhì)量協(xié)同創(chuàng)新中心數(shù)學(xué)首席專家；在Education and Information Technologies，Computers and Education，Educational Studies in Mathematics以及《教育學(xué)報》《教師教育研究》《教育科學(xué)研究》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》等國內(nèi)外期刊發(fā)表論文100余篇，完成和在研項(xiàng)目20余項(xiàng)。

【摘 要】圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)是圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容架構(gòu)的三條線索。這三條線索內(nèi)外關(guān)聯(lián)能體現(xiàn)圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的結(jié)構(gòu)。結(jié)合圖形與幾何領(lǐng)域的具體案例分析其結(jié)構(gòu)化研究范式，探討如何通過直觀操作、圖形研究、系統(tǒng)化設(shè)計、動態(tài)與靜態(tài)相結(jié)合的教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對于教師設(shè)計與實(shí)施圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化教學(xué)具有指導(dǎo)意義。

【關(guān)鍵詞】圖形的性質(zhì)；圖形的變化；圖形與坐標(biāo)；結(jié)構(gòu)化設(shè)計

圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)承擔(dān)著培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間觀念、推理能力和幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重任。以往，我們常常從單一的認(rèn)識圖形視角處理幾何內(nèi)容，而新課程標(biāo)準(zhǔn)要求從整體結(jié)構(gòu)上優(yōu)化幾何內(nèi)容的呈現(xiàn)方式。該領(lǐng)域內(nèi)容的設(shè)計不但要體現(xiàn)整體性，而且要相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)建一個縱向遞進(jìn)、橫向關(guān)聯(lián)的知識體系。這種結(jié)構(gòu)化設(shè)計不僅有助于學(xué)生全面理解幾何圖形的本質(zhì)屬性，增強(qiáng)空間觀念和幾何直觀，還有助于學(xué)生在知識銜接與遷移的過程中強(qiáng)化推理能力和應(yīng)用意識。怎樣落實(shí)圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計呢？

一、多重視角交織，構(gòu)建圖形與幾何結(jié)構(gòu)化認(rèn)知

初中數(shù)學(xué)課程中，圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)作為三條并行不悖的研究主線，分別從不同視角揭示圖形的本質(zhì)屬性，它們相互支撐，共同構(gòu)成圖形與幾何認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。

1.圖形的性質(zhì)

圖形的性質(zhì)相關(guān)內(nèi)容可以通過“點(diǎn)—線—面”的層次化建構(gòu)，形成幾何認(rèn)知的基本框架，即從簡單的幾何元素如點(diǎn)、線開始，逐步深入復(fù)雜的多邊形和圓等圖形。具體來說，學(xué)生可以先學(xué)習(xí)關(guān)于直線的基本知識，如兩點(diǎn)確定一條直線，再研究相交線、平行線的性質(zhì)，這些知識是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形等多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)。三角形是最基本的多邊形，學(xué)生研究其性質(zhì)能為后續(xù)四邊形、多邊形的學(xué)習(xí)提供方法和思路。在研究四邊形性質(zhì)時，學(xué)生常常通過將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形解決問題。可見，這一主題內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化邏輯體現(xiàn)在概念遞進(jìn)性上。這樣安排學(xué)習(xí)內(nèi)容既能體現(xiàn)從簡單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，又能體現(xiàn)從基礎(chǔ)到綜合的結(jié)構(gòu)化關(guān)系。同時，我們建議遵循“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的標(biāo)準(zhǔn)研究范式呈現(xiàn)這一主題相關(guān)內(nèi)容。例如，人教版數(shù)學(xué)八年級“平行四邊形”單元通過逐步添加條件（從一般四邊形到特殊四邊形），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同四邊形性質(zhì)的差異?；趯訉舆f進(jìn)的關(guān)系結(jié)構(gòu)化地組織學(xué)習(xí)內(nèi)容，有助于學(xué)生逐步構(gòu)建完整的圖形的性質(zhì)知識體系。

2.圖形的變化

對于圖形的變化相關(guān)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動變化的視角研究圖形，理解圖形在軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移時的變化規(guī)律以及變化中的不變量。這部分內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計應(yīng)貫穿“變與不變”的哲學(xué)思維，通過變換操作層級的遞進(jìn)與不變性質(zhì)的深度挖掘，構(gòu)建動態(tài)幾何認(rèn)知體系。具體來說，我們可以從變換幾何的視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換操作，在靜與動的辯證關(guān)系探討中深化幾何理解，從單一變換過渡到復(fù)合變換，以體現(xiàn)圖形變換學(xué)習(xí)的層進(jìn)性。單一變換包括平移和旋轉(zhuǎn)等基本變換，這種變換保持圖形的全等性，即變換前后圖形大小和形狀不變；復(fù)合變換則涉及多個基本變換的組合，如位似變換，這種變換保持圖形的相似性，即變換前后圖形形狀相同但大小可能變化。對應(yīng)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律是核心樞紐，它連接著單一變換和復(fù)合變換，能解釋圖形在變換中如何保持全等性或相似性。簡言之，對應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律是理解圖形變換的關(guān)鍵，它貫穿圖形全等性變換或相似性變換的過程。各類變換本質(zhì)上是研究圖形在運(yùn)動中的不變性質(zhì)，如在平移過程中圖形的形狀、大小、方向不變，在旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)中心位置不變，在軸對稱變換中對應(yīng)點(diǎn)到中心距離相等，這些屬性（對應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律）體現(xiàn)了變化中的不變量。由此，我們可以構(gòu)建如圖1所示的圖形的變化課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化關(guān)系圖。

3.圖形與坐標(biāo)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，在初中階段，學(xué)生應(yīng)逐步建立數(shù)形結(jié)合思想，并能運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系描述和分析幾何圖形的位置關(guān)系、運(yùn)動特征及變化規(guī)律。在圖形與坐標(biāo)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計中，我們要引導(dǎo)學(xué)生借助平面直角坐標(biāo)系，從圖形位置關(guān)系的角度認(rèn)識圖形性質(zhì)；通過將圖形放置于坐標(biāo)系中，利用點(diǎn)的坐標(biāo)描述圖形的位置，進(jìn)而探究圖形在坐標(biāo)變換下的性質(zhì)變化。例如，一個圖形在坐標(biāo)系中平移時，其各頂點(diǎn)坐標(biāo)會按照相應(yīng)規(guī)律變化。學(xué)生認(rèn)識到這一點(diǎn)，就能直觀理解圖形位置與坐標(biāo)的聯(lián)系。

二、探析圖形與幾何內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化研究范式

在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，結(jié)構(gòu)化研究范式是幫助學(xué)生從局部到整體、從表象到本質(zhì)逐步構(gòu)建知識體系的關(guān)鍵。借助邏輯關(guān)聯(lián)、認(rèn)知地圖、知識“生長”結(jié)構(gòu)以及從操作探究到邏輯推理等研究方法，學(xué)生能系統(tǒng)地掌握圖形的性質(zhì)、判定和應(yīng)用等知識。下文按照研究范圍由大到小的次序，逐一分析圖形與幾何領(lǐng)域下主題內(nèi)容、單元內(nèi)容、具體圖形、圖形概念與性質(zhì)的結(jié)構(gòu)化研究范式，并探討如何通過這種范式幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的認(rèn)知發(fā)展。

1.圖形主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)化研究范式：基于邏輯關(guān)聯(lián)構(gòu)建認(rèn)知發(fā)展路徑

不同圖形之間的邏輯關(guān)聯(lián)構(gòu)成知識體系的結(jié)構(gòu)化脈絡(luò)。這種邏輯關(guān)聯(lián)既決定了課程內(nèi)容學(xué)習(xí)的順序，又構(gòu)成從局部到整體、從表象到本質(zhì)的認(rèn)知發(fā)展路徑。例如，三角形是平面幾何的基礎(chǔ)圖形，學(xué)生通過學(xué)習(xí)三角形掌握邊角關(guān)系、內(nèi)角和等核心性質(zhì)后，在進(jìn)一步探究四邊形時，可借助對角線將其分割為兩個三角形，并利用已知的三角形內(nèi)角和性質(zhì)推導(dǎo)出四邊形的內(nèi)角和為360°，進(jìn)而將此求內(nèi)角和的方法推廣到更復(fù)雜的多邊形內(nèi)角和探究中。這種設(shè)計能體現(xiàn)從局部（三角形）到整體（多邊形）、從表象（圖形的形狀）到本質(zhì)（圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系）、從簡單到復(fù)雜、從已知到未知的過渡，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又有利于知識技能與思想方法的遷移。

圖形之間往往具有從一般到特殊的結(jié)構(gòu)關(guān)系，如在四邊形學(xué)習(xí)中，平行四邊形可作為基礎(chǔ)圖形來探究，而后通過增加條件，依次過渡到矩形、菱形和正方形的探究。這種結(jié)構(gòu)關(guān)系能揭示圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生歸納與演繹、分析與綜合的思維能力。教學(xué)中，教師可通過對比圖形性質(zhì)的異同，讓學(xué)生深刻理解約束條件對圖形性質(zhì)的影響。

2.單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)化研究范式：從“認(rèn)知地圖”到綜合提升

圖形與幾何的單元學(xué)習(xí)應(yīng)遵循“總—分—總”的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，即引導(dǎo)學(xué)生先從結(jié)構(gòu)的角度形成單元“認(rèn)知地圖”，然后根據(jù)單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行分解學(xué)習(xí)，最后在分解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上綜合提升，形成更上位、更全面的整體理解。[1]例如，人教版數(shù)學(xué)八年級“三角形”單元先通過展示生活中各種多邊形的實(shí)例，讓學(xué)生對三角形有一個整體的感性認(rèn)識，形成單元“認(rèn)知地圖”，了解本單元圍繞三角形的性質(zhì)展開，要學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的線段、角及多邊形內(nèi)角和等內(nèi)容。然后，學(xué)生可根據(jù)單元結(jié)構(gòu)，分別對三角形的各個知識點(diǎn)進(jìn)行分解學(xué)習(xí)，如先學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的線段，再學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的角等。最后，學(xué)生在分解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過綜合練習(xí)、單元總結(jié)等方式獲得綜合提升，對三角形知識形成高層次、全方位的整體理解，包括理解三角形與多邊形等其他圖形之間的聯(lián)系，以及多邊形知識在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用。

3.具體圖形結(jié)構(gòu)化研究范式：從定義到應(yīng)用的知識“生長”結(jié)構(gòu)

對于具體的幾何圖形，我們通常按照“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的范式進(jìn)行研究。這體現(xiàn)了知識的結(jié)構(gòu)化。如人教版數(shù)學(xué)教材中“圓”的內(nèi)容設(shè)計邏輯是，先認(rèn)識圓的概念，包括圓心、半徑、直徑等要素，接著研究圓的性質(zhì)，如垂徑定理、圓周角定理等，然后學(xué)習(xí)圓的切線判定等內(nèi)容，最后運(yùn)用圓的知識解決諸如計算弧長、扇形面積等實(shí)際應(yīng)用問題。學(xué)生要在探究具體圖形的過程中感悟、體會這種知識“生長”的結(jié)構(gòu)。

4.圖形概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)化研究范式：從操作探究到邏輯推理

在具體圖形的研究中，圖形的概念和性質(zhì)是核心內(nèi)容。圖形的概念和性質(zhì)的研究有一般方法，一般方法可以轉(zhuǎn)化為研究結(jié)構(gòu)，助力師生結(jié)構(gòu)化地研究圖形的概念和性質(zhì)。

具體來說，幾何圖形性質(zhì)（定理）的學(xué)習(xí)一般遵循“具身體驗(yàn)（探究）—猜想發(fā)現(xiàn)—嚴(yán)謹(jǐn)證明—遷移應(yīng)用”的研究范式。以人教版數(shù)學(xué)教材平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容設(shè)計為例，教材先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行測量，猜想平行四邊形的對邊相等、對角相等，然后引導(dǎo)學(xué)生通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明驗(yàn)證猜想，最后給出相應(yīng)的拓展練習(xí)。在概念形成方面，我們通常要遵循“背景抽象—共性歸納—定義明晰—理解與運(yùn)用”的研究范式，或者說認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，人教版數(shù)學(xué)教材對于相似三角形概念，先呈現(xiàn)生活中的相似圖形，如汽車和它的模型、大小不同的足球等，從中抽象出相似多邊形，然后歸納這些例子的共性，得出相似多邊形的定義和性質(zhì)（如相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例等），最后通過練習(xí)，鞏固、運(yùn)用概念和性質(zhì)。

三、教學(xué)建議

在圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)構(gòu)建清晰的教學(xué)框架，注重知識的層級遞進(jìn)與邏輯關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生形成完整的幾何認(rèn)知體系。教學(xué)應(yīng)從具體到抽象、從靜態(tài)到動態(tài)、從局部到整體地展開，引導(dǎo)學(xué)生掌握幾何知識，并遷移運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。基于此，教師可從以下幾個方面優(yōu)化教學(xué)設(shè)計。

1.加強(qiáng)直觀操作，突出基本活動經(jīng)驗(yàn)的獲得

圖形與幾何學(xué)習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，按照“感知—探索—推理—應(yīng)用”的路徑展開，引導(dǎo)學(xué)生從直觀操作到邏輯推理，從解決具體問題到推導(dǎo)一般理論，以確保知識建構(gòu)的系統(tǒng)性、連貫性，幫助學(xué)生積累可遷移的知識經(jīng)驗(yàn)。直觀體驗(yàn)是圖形與幾何教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，教師應(yīng)設(shè)置充分的感知與操作體驗(yàn)活動，幫助學(xué)生建立清晰的幾何認(rèn)知，積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)。如在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)動手操作與材料輔助：利用七巧板、立方體模型直觀體驗(yàn)圖形的組成，發(fā)現(xiàn)其特性；通過折紙觀察軸對稱圖形的對稱性、角的關(guān)系；通過拼接法，如用多個三角形拼接四邊形等多邊形，探究多邊形的內(nèi)角和定理。教師還可利用信息技術(shù)輔助學(xué)生探究。如VR技術(shù)可模擬三維空間的幾何關(guān)系；立體投影可提高學(xué)生的空間想象能力；將AR應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)場景中的幾何測量，如利用手機(jī)攝像頭分析建筑物的幾何結(jié)構(gòu)。這些策略有助于學(xué)生在直觀體驗(yàn)中逐步構(gòu)建幾何概念，形成深層次的數(shù)學(xué)理解，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

2.強(qiáng)化圖形研究方法教學(xué)，凸顯推理能力的培養(yǎng)

在圖形與幾何教學(xué)中，邏輯推理是學(xué)生要掌握的關(guān)鍵能力。教師應(yīng)遵循“概念—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的路徑，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜、從一般到特殊的學(xué)習(xí)過程，逐步建立邏輯推理能力。以平行四邊形的教學(xué)做具體說明：概念引入階段，我們可以引導(dǎo)學(xué)生理解平行四邊形的定義（兩組對邊分別平行）；性質(zhì)探究階段，我們可以引導(dǎo)學(xué)生研究其核心性質(zhì)，如對邊相等、對角相等、對角線互相平分等；判定方法探究階段，我們可以引導(dǎo)學(xué)生歸納判定條件，并做判斷給定圖形是否為平行四邊形的練習(xí)；實(shí)際應(yīng)用階段，我們可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)問題，如運(yùn)用所學(xué)知識設(shè)計穩(wěn)定的建筑框架。層層遞進(jìn)的教學(xué)設(shè)計能使學(xué)生在探究過程中自然形成推理與論證能力，提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性。

3.設(shè)計結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)單元，建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

圖形與幾何知識之間存在緊密的邏輯關(guān)系，教師應(yīng)按照“基本元素—基礎(chǔ)圖形—特殊圖形—綜合應(yīng)用”的層級體系進(jìn)行大單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計，幫助學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)，提升知識遷移能力。例如，在三角形的學(xué)習(xí)中，我們可以先從基本元素入手，引導(dǎo)學(xué)生理解其“點(diǎn)”（三角形的頂點(diǎn)）、“線”（邊、中線、高）、“角”（內(nèi)角、外角）的定義與關(guān)系，接著進(jìn)入基礎(chǔ)圖形“三角形”的研究，從靜態(tài)性質(zhì)（如內(nèi)角和為180°）到動態(tài)規(guī)律（如三角形的穩(wěn)定性，這可以通過對比觀察四邊形框架與三角形框架被擠壓的情況而發(fā)現(xiàn)）逐步展開，然后通過屬性特殊化引入“特殊圖形”，如限定兩條邊相等而得到等腰三角形，分析其對稱性，進(jìn)而將邊相等的條件極端化，即條件為三邊相等，引出等邊三角形，或通過一個角為90°的條件“定義”直角三角形，而后利用拼接法探索勾股定理的幾何證明，最后在綜合應(yīng)用中遷移知識——用勾股定理解決測量問題、利用三角形穩(wěn)定性設(shè)計建筑結(jié)構(gòu)、結(jié)合密鋪規(guī)律分析地磚圖案等。教師還可通過思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生建立幾何知識和與其他知識的關(guān)聯(lián)，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形的層級關(guān)系等?？傊?，結(jié)構(gòu)化單元教學(xué)設(shè)計能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成層次清晰、邏輯嚴(yán)密的知識體系，提升思維的系統(tǒng)性和靈活性。

4.加強(qiáng)靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)結(jié)，增強(qiáng)空間觀念和幾何直觀

在圖形與幾何教學(xué)中，圖形的“靜態(tài)特征”與“動態(tài)變化”并非割裂、對立的關(guān)系，而是認(rèn)知圖形本質(zhì)的兩種視角，教師可通過“靜中見動、動中固靜”的策略深化兩者的聯(lián)結(jié)。一是在靜態(tài)研究的基礎(chǔ)上引入動態(tài)研究。例如，在學(xué)習(xí)矩形的性質(zhì)（靜態(tài)）后，通過旋轉(zhuǎn)（動態(tài)）矩形得到圓柱體，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換與立體幾何的關(guān)系。二是借助幾何畫板、GeoGebra、Cabri 3D等軟件直觀演示圖形變換的過程，幫助學(xué)生理解變換前后圖形的不變性。例如，在平移中分析圖形移動時的特征；在旋轉(zhuǎn)中探究不同旋轉(zhuǎn)角度下圖形旋轉(zhuǎn)前后的對稱性；在軸對稱中研究鏡面對稱及其在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用（如光的反射）。通過靜態(tài)研究與動態(tài)研究的結(jié)合，學(xué)生能深入理解圖形變化的本質(zhì)，增強(qiáng)幾何直觀，提高解決復(fù)雜幾何問題的能力。

總之，結(jié)構(gòu)化的幾何教學(xué)體系能幫助學(xué)生形成清晰的知識框架，從多個角度深入理解圖形的性質(zhì)、變換及坐標(biāo)表示，并在實(shí)踐中靈活運(yùn)用這些知識。為此，教師應(yīng)該為學(xué)生提供更具互動性和探索性的學(xué)習(xí)環(huán)境，并注重融合新技術(shù)、新方法教學(xué)，助力學(xué)生建構(gòu)知識，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

［1］章飛，顧繼玲，馬復(fù)，等.促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能力發(fā)展的初中數(shù)學(xué)教科書設(shè)計——以北師大版初中數(shù)學(xué)新教材為例[J].天津師范大學(xué)學(xué)報（基礎(chǔ)教育版），2025，26（01）.？

（姜惠敏系新疆石河子大學(xué)理學(xué)院副教授，北京師范大學(xué)訪問學(xué)者）

文字編輯 劉佳