摘 "要：該文以矩陣分析課程為例，對課程思政背景下的混合教學(xué)模式進(jìn)行構(gòu)建和探索。首先對矩陣分析課程的知識結(jié)構(gòu)和體系進(jìn)行梳理，闡述該課程與其他學(xué)科課程的聯(lián)系和區(qū)別，分析矩陣分析課程特點。其次根據(jù)矩陣分析課程的特點和知識體系，挖掘課程思政元素，并闡述如何把課程思政元素和課程教學(xué)的各個環(huán)節(jié)進(jìn)行緊密的契合。再次根據(jù)矩陣分析課程特點和課程思政內(nèi)容的嵌入，利用信息數(shù)字技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺資源，構(gòu)建“一課一案”的混合教學(xué)模式，包括翻轉(zhuǎn)課堂、問題教學(xué)等多種教學(xué)模式相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)模式的探索。最后根據(jù)所構(gòu)建的課程思政背景下的混合教學(xué)模式提出有效的教學(xué)評價方法。

關(guān)鍵詞：矩陣分析課程；混合教學(xué)；課程思政；教學(xué)模式；課程建設(shè)

中圖分類號：G641 " " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A " " " " "文章編號：2096-000X（2025）S2-0041-04

Abstract： Taking Matrix Analysis course as an example， this paper constructs and explores the mixed teaching mode under the ideological and political background of the course. Firstly， the knowledge structure and system of matrix analysis course are sorted out， the connection and difference between this course and other courses are expounded， and the characteristics of matrix analysis course are analyzed. Secondly， according to Matrix Analysisof the characteristics and knowledge system of the curriculum， this study explores the ideological and political elements of the curriculum， and explains how to closely fit the ideological and political elements of the curriculum with each link of the curriculum teaching. Thirdly， according to Matrix Analysis of curriculum characteristics and the embedding of curriculum ideological and political content， the use of information digital technology and network teaching platform resources to build a mixed teaching mode of \"one lesson， one plan\"， including the combination of flipped classroom， problem teaching and other teaching modes to explore the teaching mode. At the end of the article， an effective teaching evaluation method is proposed according to the mixed teaching mode under the background of curriculum ideology and politics.

Keywords： Matrix Analysis course; mixed method of teaching; curriculum ideological and political education; model of teaching;course construction

隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的不斷發(fā)展，使得教育數(shù)字化快速轉(zhuǎn)型，教育教學(xué)管理模式不斷地發(fā)生變革和創(chuàng)新。數(shù)字化時代的教育變革中教學(xué)基礎(chǔ)平臺、教學(xué)管理平臺、教學(xué)資源平臺、教學(xué)實踐平臺和教學(xué)監(jiān)控平臺搭建日漸完善，高等教育教學(xué)模式由傳統(tǒng)的單一教學(xué)逐漸發(fā)展成為基于各種教育教學(xué)平臺的混合教學(xué)模式。由此，聚焦國家戰(zhàn)略和關(guān)鍵產(chǎn)業(yè)發(fā)展急需，構(gòu)建科教融匯協(xié)同育人機(jī)制，探索構(gòu)建“一課一案”的混合教學(xué)模式是每一門課程必須探索的問題。文獻(xiàn)[1]以大學(xué)數(shù)學(xué)課程為例，參考共生效應(yīng)和 BOPPPS 教學(xué)模式，針對教學(xué)資源、教學(xué)方法、數(shù)學(xué)實踐在課前、課中、課后三個過程提出“四力聯(lián)動”下的“三三三”混合教學(xué)優(yōu)化策略。文獻(xiàn)[2]從教與學(xué)兩個方面闡述了基于中國大學(xué)慕課和騰訊課堂的微積分課程空中課堂混合式教學(xué)的設(shè)計、組織與管理過程，并針對各個教學(xué)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的問題給出了相應(yīng)的處理方案與策略。2020年5月28日教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》把思想政治教育貫穿人才培養(yǎng)體系，全國各個高校、所有學(xué)科及課程圍繞全面提高人才培養(yǎng)能力這個核心點全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)。如何根據(jù)學(xué)科特點、課程特點來融合恰當(dāng)、深刻的思政內(nèi)容，把課程思政合理地嵌入混合教學(xué)模式中來，對“一課一案”混合教學(xué)模式的構(gòu)建又提出了新的挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)[3]根據(jù)新工科建設(shè)方案及理工科專業(yè)課程特色，以任務(wù)驅(qū)動，以思政案例貫穿給出了基于BOPPPS模型和ARCS模型混合教學(xué)流程。文獻(xiàn)[4]結(jié)合課程思政和“互聯(lián)網(wǎng)+”教育背景下，以高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革為例，從開展線上與線下混合教學(xué)模式，到逐步完善智能可視化平臺和相關(guān)配套工作等方面提出應(yīng)對策略。在課程思政的背景下，教學(xué)改革數(shù)字化進(jìn)程不斷推進(jìn)，新的教學(xué)模式需要和課程思政內(nèi)容同步融合也顯得日趨迫切。課程思政的最小單元和最終環(huán)節(jié)就是課堂，科學(xué)的設(shè)計課程思政教學(xué)體系，把課程思政融入到每一個教學(xué)環(huán)節(jié)的課程改革變得更加有意義。

矩陣?yán)碚擉w系在十九世紀(jì)末已經(jīng)基本形成，目前它已經(jīng)發(fā)展成為在控制論、優(yōu)化理論、數(shù)值分析、生物學(xué)等學(xué)科廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。由于矩陣分析理論在多學(xué)科、多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，很多工科院校將矩陣分析課程作為碩士研究生階段的基礎(chǔ)選修課，以滿足不同學(xué)科學(xué)生的學(xué)習(xí)要求。本文以東北大學(xué)出版社出版的《矩陣分析》教材為例[5]，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，對課程思政背景下的混合教學(xué)模式進(jìn)行構(gòu)建和探索。首先對矩陣分析課程的知識結(jié)構(gòu)和體系進(jìn)行梳理，闡述該課程與其他學(xué)科課程的聯(lián)系和區(qū)別，分析矩陣分析課程特點。其次根據(jù)矩陣分析課程的特點和知識體系，挖掘課程思政元素，并闡述如何把課程思政元素和課程教學(xué)的各個環(huán)節(jié)進(jìn)行緊密的契合，自然、深刻地將價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)三者融為一體。最后根據(jù)矩陣分析課程特點和課程思政內(nèi)容的嵌入，利用信息數(shù)字技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺資源，構(gòu)建“一課一案”的混合教學(xué)模式，包括翻轉(zhuǎn)課堂、問題教學(xué)等多種教學(xué)模式相結(jié)合，以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力為指引進(jìn)行教學(xué)模式的探索。通過教學(xué)中不同環(huán)節(jié)設(shè)計恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，最大限度地激發(fā)學(xué)生對課程進(jìn)行主動探索的興趣，引導(dǎo)學(xué)生的深入思考從而達(dá)到自主創(chuàng)新的最終目標(biāo)。合理有效的教學(xué)評價是教學(xué)模式改革的最重要的一環(huán)，本文的最后根據(jù)所構(gòu)建的課程思政背景下的混合教學(xué)模式提出有效的教學(xué)評價。

一 "矩陣分析課程與相關(guān)課程的聯(lián)系

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，科學(xué)計算在工程技術(shù)中的作用越來越明顯，線性問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域，許多實際問題可以直接或通過離散化等方法轉(zhuǎn)化成矩陣問題。矩陣分析已經(jīng)成為自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中廣泛使用的數(shù)學(xué)工具，其理論和方法得到了廣泛的應(yīng)用。

首先矩陣的分解理論是數(shù)值分析課程[6]中數(shù)值計算方法的理論依據(jù)。其中方陣的Doolittle分解、Crout分解、PLU分解和對稱正定矩陣的Cholesky分解以及滿秩陣（不一定是方陣，特別適用于病態(tài)陣）的QR分解、任意矩陣（特別是長方陣）的奇異值分解都為求線性方程組的數(shù)值解提供簡單快捷的算法，是線性數(shù)值計算和分析的重要理論基礎(chǔ)。特別在一些病態(tài)方程組求數(shù)值解的過程中能夠有效地減少迭代誤差和迭代次數(shù)。

其次矩陣分析課程中的理論和方法也是最優(yōu)化方法課程[7]中各種優(yōu)化問題的基礎(chǔ)。例如函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù)及函數(shù)對矩陣的導(dǎo)數(shù)、向量值函數(shù)對矩陣的導(dǎo)數(shù)分別對應(yīng)優(yōu)化問題中的梯度和Hessian Matrix的求法，而這正是優(yōu)化問題的最基本定義，很多問題需要求目標(biāo)函數(shù)的梯度及Hessian Matrix。矩陣分析課程中的求一個線性代數(shù)方程組的最小二乘解公式就是目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù)的無約束極值問題。所以矩陣分析理論是一些優(yōu)化問題的基礎(chǔ)和理論依據(jù)，對建立所研究問題的數(shù)學(xué)模型并編程求解起著重要的理論支持。

矩陣分析課程中的矩陣指數(shù)函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容是求解微分方程組的理論基礎(chǔ)。在本科階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)微分方程的解法和理論，而矩陣分析課程中得到了微分方程組解的公式，公式的矩陣表示形式為一階常系數(shù)微分方程求解公式的推廣。在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的能控性和能觀性結(jié)論的推導(dǎo)都依賴于矩陣指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識。事實上很多實際問題建模最后結(jié)果都以微分方程組的形式出現(xiàn)，所以矩陣分析課程的部分理論是各類控制系統(tǒng)設(shè)計和求解的理論基礎(chǔ)。

總之矩陣?yán)碚撌切畔⒖茖W(xué)、計算科學(xué)、控制理論與控制工程等學(xué)科的基礎(chǔ)理論和方法。

二 "矩陣分析課程中的思政元素

（一） "矩陣分析課程中的科學(xué)家和科學(xué)故事

矩陣?yán)碚搫?chuàng)立以來，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力使其發(fā)展成為當(dāng)今應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分支。在教學(xué)過程中非常有必要講授矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史，以及著名的數(shù)學(xué)家的生平故事，讓學(xué)生了解這門學(xué)科從哪里來，經(jīng)歷了哪些發(fā)展階段，誰做了哪些工作。學(xué)生通過對課程的了解，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，以科學(xué)大家為榜樣，積極思考學(xué)科的應(yīng)用和未來走向。例如從學(xué)生都熟悉的數(shù)學(xué)家Cayley講起。1855年，英國數(shù)學(xué)家Cayley在研究線性變換的不變量時，為了簡明、方便，引入了矩陣的概念。1858年Cayley在《矩陣論的研究報告》中，定義了矩陣的相等、相加等運算和運算規(guī)律。 在十九世紀(jì)后半葉，矩陣?yán)碚摰玫竭M(jìn)一步的發(fā)展，英國數(shù)學(xué)家Hamilton引入了復(fù)數(shù)，并發(fā)展了復(fù)數(shù)矩陣的理論。在矩陣分析知識點中著名的Hamilton-Cayley定理，它描述了方陣和其對應(yīng)的特征多項式之間的關(guān)系，即任何一個方陣都是它特征多項式的根。實際上，矩陣的概念最早可以追溯到古代數(shù)學(xué)。在公元前2世紀(jì)，中國的《九章算術(shù)》方程章中就有關(guān)于線性方程組的解法，這可以看作是矩陣?yán)碚摰某醪叫纬伞€性方程組的研究，中國比歐洲至少早1500年。這里對《九章算術(shù)》思政元素進(jìn)行挖掘。《九章算術(shù)》全書總結(jié)了中國古代戰(zhàn)國、秦、漢等時期的數(shù)學(xué)成就，同時又經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)家的修整和補(bǔ)充，屬于一本綜合性的著作，更是中華五千年文明偉大成果之一。通過矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史，自然地引到中國古代數(shù)學(xué)在矩陣?yán)碚撝械年U述，讓學(xué)生從中感受到我國古代科學(xué)技術(shù)的先進(jìn)，今天中華文化自信的源起，對未來科技發(fā)展引領(lǐng)的勇氣。

（二） "矩陣分析課程中的理論投射出的哲學(xué)思想

在科學(xué)研究的過程中，通常使用的思想和方法都來源于對生活中遇到問題的處理方式。下面通過矩陣分析課程的幾個知識點舉例說明課程思政元素的挖掘。

1 "從矩陣的分解知識點來闡述實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)

在求線性方程組數(shù)值解的算法中經(jīng)常遇到的矩陣分解方法，把一個條件數(shù)很壞的矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓缓笥脦讉€矩陣的乘積代替這個矩陣，從而克服迭代誤差。在現(xiàn)實生活中通常把一個復(fù)雜的東西拆解開來，看看有哪些基本部件存在，然后研究每個部件的特點之后再重新組裝成原來的樣子，比如家電的維修，或者處理一件復(fù)雜的事情把其分解成若干關(guān)鍵的步驟分開處理等。通過研究這些基本部件，來解析這個復(fù)雜物體，這個思想在數(shù)學(xué)中經(jīng)常能夠看到，比如說因式分解、泰勒展開、傅里葉變換和基變換等等。所以數(shù)學(xué)中很多問題的處理方法都來源于生產(chǎn)和生活實踐。實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。我們所做的科學(xué)研究最終也要應(yīng)用到實踐中去，創(chuàng)造社會價值，提高生產(chǎn)力。通過矩陣的分解理論來強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實踐的重要性和必要性，打開學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)造靈感來源，更能明確科技創(chuàng)新的最終目標(biāo)。

2 "從矩陣函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù)中梯度的應(yīng)用闡述腳踏實地的做事態(tài)度

在矩陣函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù)章節(jié)，一個自變量為向量的數(shù)值函數(shù)對向量的一階導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)的梯度，而負(fù)梯度方向為函數(shù)值下降最快的方向，由這個知識點可以進(jìn)行展開，比如爬山時下山。在下山的時候可以選擇最快的下山路線，但都不是筆直的，而是鋸齒狀的下山路線，并且越接近目的地鋸齒越多，從而需要走更多的鋸齒路線才能到達(dá)山底，而這也是最速下降法的缺點。由此引出在學(xué)習(xí)和工作過程中并沒有捷徑可以走，即便是較快的途徑也是充滿著曲折和挑戰(zhàn)。由此引導(dǎo)學(xué)生做事情要腳踏實地，摒棄不勞而獲的思想和行為。

3 "結(jié)合蓋爾圓理論闡述個人的行為必須在法律法規(guī)約束范圍之內(nèi)

蓋爾圓理論闡述的是矩陣的每個一個特征值必在某個蓋爾圓內(nèi)。蓋爾圓是以矩陣主對角線元素為圓心，以同一行除主對角線元素外的其余元素模的和為半徑的圓。我們每個人都是具有獨立特征的個體，就如一個矩陣的特征值一樣，但每個人必須以黨和國家為核心緊密地團(tuán)結(jié)在一起，必須在法律法規(guī)的約束下存在。遵紀(jì)守法是每個公民的責(zé)任和義務(wù)，是必須遵守的行為準(zhǔn)則。作為現(xiàn)代大學(xué)生更應(yīng)該加強(qiáng)法律觀念，知法懂法更要守法，要在社會允許的范圍之內(nèi)實現(xiàn)自我價值。

矩陣分析課程中的很多理論都可以折射出做事情和做學(xué)問的道理，例如最小二乘解問題、矩陣的直積理論等，要挖掘課程的思政元素不僅需要任課教師熟悉教材、了解學(xué)生，還需要結(jié)合專業(yè)特點和《高等學(xué)校課程思政指導(dǎo)綱要》去合理地融入思政內(nèi)容，使得教書和育人雙管齊下、相互促進(jìn)。

三 "課程思政背景下教學(xué)模式及教學(xué)評價方法

矩陣分析課程思政元素的植入要求對原有教學(xué)模式進(jìn)行調(diào)整，使得教學(xué)過程和方法與課程思政有效融合，使課程思政內(nèi)容既不顯得牽強(qiáng)，又對學(xué)生的理論學(xué)習(xí)起到促進(jìn)作用。在文獻(xiàn)[8]中，對矩陣分析課程混合教學(xué)模式做了初步的研究，現(xiàn)結(jié)合課程思政內(nèi)容，對矩陣分析課程的教學(xué)模式進(jìn)行了相應(yīng)調(diào)整，如圖1所示。其中問題式教學(xué)和翻轉(zhuǎn)課堂是激發(fā)學(xué)生主動性和創(chuàng)造性的主要教學(xué)手段。例如通過對矩陣的三角分解在解線性方程組中有何作用、秩1的矩陣滿秩分解的特點及在優(yōu)化方法中應(yīng)用等問題的設(shè)置，不僅能起到激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望的作用，更能使學(xué)生對知識融會貫通并和其他學(xué)科建立理論上的聯(lián)系，如數(shù)值計算方法和優(yōu)化理論等學(xué)科都離不開矩陣?yán)碚摰难芯?。問題既是學(xué)習(xí)的驅(qū)動力又是引發(fā)思考的主線，學(xué)生在解決問題的過程中達(dá)到高效的學(xué)習(xí)效果。問題式教學(xué)再結(jié)合翻轉(zhuǎn)課堂，使學(xué)生成為課堂的主導(dǎo)者。學(xué)生在課堂上通過討論、講解、辯論等形式進(jìn)行交流、合作和溝通不僅能更好地達(dá)到教學(xué)效果，更能培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作能力和創(chuàng)造能力，從而達(dá)到課程思政的目標(biāo)。對學(xué)生家國情懷及做人做事的道理等思想教育主要在線下教學(xué)及翻轉(zhuǎn)課堂等能和學(xué)生面對面的教學(xué)過程中融入。由此可見，教學(xué)模式要根據(jù)課程思政內(nèi)容的引入進(jìn)行合理的調(diào)整，從而達(dá)到一加一大于二的教學(xué)效果。

教學(xué)評價是教學(xué)改革中最重要環(huán)節(jié)。教學(xué)評價既包括對教師教學(xué)模式、教學(xué)效果的評價，又包括對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的考評，其評價結(jié)果相互聯(lián)系又相互作用。文獻(xiàn)[9]以計算機(jī)硬件基礎(chǔ)課程為例，給出了基于混合教學(xué)模式教學(xué)流程中各個階段的評價內(nèi)容，對混合教學(xué)模式進(jìn)行多層次、形成性評價。并通過課程的教學(xué)實踐，說明了形成性評價的有效性。不同的教學(xué)模式，不同的學(xué)科特點所使用的教學(xué)評價手段各不相同。融合思政元素的矩陣分析課程教學(xué)模式的評價借鑒文獻(xiàn)[10]中的層次分析法。首先對矩陣分析課程的教學(xué)模式建立遞階層次結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)具體的分層結(jié)構(gòu)建立綜合評判矩陣，通過調(diào)查問卷設(shè)置合理的計算指標(biāo)權(quán)重，最后得到基于 AHP的矩陣分析課程教學(xué)模式綜合評判結(jié)果。對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的評價主要包括對學(xué)生的理論學(xué)習(xí)過程中分析問題、解決問題的能力、理論學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評價，對思政內(nèi)容的評價主要針對學(xué)生的創(chuàng)新能力以及批判性思維能力進(jìn)行評價。理論學(xué)習(xí)效果主要通過線下和線上測評方式，占總體評價成績的70%，其中線上測評借助于學(xué)校提供BB系統(tǒng)教學(xué)平臺進(jìn)行實時測評。分析問題和解決問題的能力評價主要依托于翻轉(zhuǎn)課堂上的討論、辯論及講述為依據(jù)，通過學(xué)生互評的方式計入總體評價成績，占比10%。對學(xué)生創(chuàng)新能力及思政內(nèi)容的考評通過小論文的形式進(jìn)行評價，學(xué)生需要結(jié)合本專業(yè)的特點對矩陣分析課程中的理論進(jìn)行分析和應(yīng)用，論文的結(jié)論需專業(yè)教師參與評價，評價結(jié)果占比20%。確保課程模式構(gòu)建有效性最重要的環(huán)節(jié)就是合理地設(shè)置過程學(xué)習(xí)評價方法，對學(xué)生學(xué)習(xí)效果評價的合理性、全面性是教學(xué)模式設(shè)置必須考慮的問題。特別是加入思政元素后對課程思政的效果進(jìn)行全面客觀的評價，是在教學(xué)改革過程中首要解決的問題，評價方法需要清晰、有效，公平、全面，這需要在每個教學(xué)環(huán)境中進(jìn)行調(diào)整，并在實踐中不斷去摸索與改進(jìn)。

四 "結(jié)束語

本文以矩陣分析課程為例，對課程思政背景下的混合教學(xué)模式進(jìn)行構(gòu)建和探索。首先對矩陣分析課程的知識結(jié)構(gòu)和體系進(jìn)行梳理，闡述該課程與其他學(xué)科課程的聯(lián)系和區(qū)別，分析矩陣分析課程特點。其次根據(jù)矩陣分析課程的特點和知識體系，挖掘課程思政元素，并闡述如何把課程思政元素和課程教學(xué)的各個環(huán)節(jié)進(jìn)行緊密的契合。每一種教學(xué)模式都是根據(jù)教學(xué)對象、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)工具等不斷進(jìn)行調(diào)整的。即便是同一種教學(xué)模式在具體實施過程中、在教學(xué)策略上也會有很多的特性化呈現(xiàn)。因此，課程思政背景下的混合教學(xué)模式需要在教學(xué)實踐中不斷地探索與創(chuàng)新。

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