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        初中函數(shù)“一題多變”的設計與訓練

        2025-02-26 00:00:00寧錦松
        電腦迷 2025年1期
        關鍵詞:一題多變二次函數(shù)

        【摘" 要】 隨著新課程改革的持續(xù)推進,中學數(shù)學教學愈發(fā)重視培養(yǎng)學生的思維能力和解題技巧。其中,“一題多變”作為一種高效的教學方法,對加深學生對知識點的理解具有顯著作用。文章以二次函數(shù)為例,深入探討了初中函數(shù)教學中“一題多變”的設計與訓練。首先,詳細闡述了“一題多變”的概念及其在教學中的重要意義;其次,分析了二次函數(shù)“一題多變”的具體設計策略;最后,討論了如何在課堂教學、課后作業(yè)以及測試中有效運用“一題多變”的方法。

        【關鍵詞】 初中函數(shù);一題多變;二次函數(shù)

        一、“一題多變”的概念和意義

        (一)“一題多變”的概念

        “一題多變”的教學理念源自對學生認知過程的深入洞察。它通過對一個基本題目進行多樣化的變換,衍生出一系列新的問題,旨在激發(fā)學生的多維度思考。這種教學方法在二次函數(shù)的教學中,能夠引導學生從多個角度和層面去分析和解決問題。

        (二)“一題多變”的意義

        1. 思維拓展的價值

        “一題多變”對培養(yǎng)學生的思維能力具有顯著價值,尤其是靈活性和深刻性。以二次函數(shù)為例,通過調(diào)整系數(shù)a、b、c的值,學生可以觀察到函數(shù)圖像的變化,進而鍛煉其觀察力和分析能力。同時,通過改變函數(shù)的定義域、值域等條件,引導學生思考如何求解函數(shù)的最值,這有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力。

        2. 知識鞏固的作用

        “一題多變”有助于加深學生對二次函數(shù)知識的理解與掌握。在二次函數(shù)的教學中,學生需要掌握函數(shù)的解析式、圖像特征、性質等核心知識。通過“一題多變”,學生可以在不同的情境下應用這些知識,從而加深對它們的理解和記憶。例如,在學習二次函數(shù)y=ax2+bx+c時,通過調(diào)整a、b、c的值,讓學生求解函數(shù)的頂點坐標、對稱軸、最值等問題,這要求學生熟練運用二次函數(shù)的頂點公式、對稱軸公式等知識,進而鞏固這些知識點。

        二、二次函數(shù)“一題多變”的設計策略

        (一)基于知識點的變化

        以二次函數(shù)的性質、圖像等知識點進行題目變化,能讓學生更深入地理解二次函數(shù)的本質特征,提高學生的思維能力和解題技巧。

        1. 性質變化的案例分析

        二次函數(shù)的性質包括對稱軸、頂點坐標、最值等。通過改變這些性質,可以設計出一系列新的題目。例如,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,經(jīng)過點(1,3),求函數(shù)解析式。將對稱軸變?yōu)閤=-1,其他條件不變,讓學生重新求解函數(shù)解析式。這樣的變化可以讓學生更加深入地理解對稱軸對二次函數(shù)的影響。再如,二次函數(shù)y=x2-2x+3,已知其最小值為2。將函數(shù)變?yōu)閥=x2-2x+k,且最小值為4,求k的值。通過這樣的變化,學生可以進一步掌握二次函數(shù)最值的求法,以及函數(shù)系數(shù)與最值之間的關系。

        2. 圖像變化的具體方法

        首先,二次函數(shù)的圖像變化可以通過改變開口方向、平移、軸對稱、旋轉等方式來實現(xiàn)。例如,將二次函數(shù)y=x2的圖像開口方向變?yōu)橄蛳?,得到y(tǒng)=-x2。讓學生比較兩個函數(shù)的圖像特征,如對稱軸、頂點坐標、最值等有何不同。又如,函數(shù)y=(x-1)2+2,可以進行平移變化。向右平移2個單位,得到y(tǒng)=(x-3)2+2;向上平移3個單位,得到y(tǒng)=(x-1)2+5。通過這樣的變化,讓學生掌握函數(shù)圖像平移的規(guī)律,即“左加右減,上加下減”。

        其次,二次函數(shù)的軸對稱變化也很常見。例如,函數(shù)y=x2關于y軸對稱的函數(shù)為y=(-x)2=x2;關于x軸對稱的函數(shù)為y=-x2。通過這樣的變化,讓學生理解軸對稱對函數(shù)圖像的影響,以及如何根據(jù)軸對稱的性質求解函數(shù)解析式。

        此外,二次函數(shù)的旋轉變化也可以作為題目設計的一種方法。例如,將函數(shù)y=x2繞原點旋轉180°,得到y(tǒng)=-x2。通過這樣的變化,讓學生掌握旋轉對函數(shù)圖像的影響,以及如何根據(jù)旋轉的性質求解函數(shù)解析式。

        (二)結合實際問題的變化

        二次函數(shù)在實際生活中有著廣泛的應用,將其與實際情境結合進行題目設計,能夠讓學生更好地理解二次函數(shù)的實際意義,提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

        1. 生活場景中的二次函數(shù)問題

        (1)在購物場景中,可以設計這樣的問題:某商店銷售一種進價為每件40元的商品,售價為每件60元時,每天可賣出80件。若售價每提高1元,銷售量就減少2件。設售價為x元,利潤為y元。

        變化一:求利潤y與售價x之間的函數(shù)關系式。

        根據(jù)利潤=(售價-進價)×銷售量,可得y=(x-40)[80-2(x-60)],化簡后為y=-2x2+280x-8000。

        變化二:當售價為多少元時,利潤最大?最大利潤是多少?

        二次函數(shù)y=-2x2+280x-8000,其對稱軸為x=-280÷(-4)=70。當售價為70元時,利潤最大。將x=70代入函數(shù)可得最大利潤為y=-2×702+280×70-8000=1800元。

        (2)在工程問題中,比如某工程隊要修建一個矩形場地,場地的一邊靠墻,另外三邊用長為60米的籬笆圍成。設垂直于墻的一邊長為x米,場地面積為y平方米。

        變化一:求面積y與邊長x之間的函數(shù)關系式。

        可得y=x(60-2x)=-2x2+60x。

        變化二:當邊長為多少時,矩形場地的面積最大?其最大面積又是多少?

        函數(shù)y=-2x2+60x,對稱軸為x=-60÷(-4)=15。當邊長為15米時,場地面積最大。將x=15代入函數(shù)可得最大面積為y=-2×152+60×15=450平方米。

        2. 幾何圖形與二次函數(shù)結合

        (1)二次函數(shù)與三角形結合,可以設計這樣的問題:已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且△ABC是直角三角形。

        變化一:求拋物線的解析式。

        設A(x1,0),B(x2,0),C(0,c)。根據(jù)直角三角形的性質,利用勾股定理可得AB2=AC2+BC2。根據(jù)韋達定理求出x1+x2和x1x2的值,再結合點C的坐標,求出a、b、c的值,從而確定拋物線的解析式。

        變化二:若點P是拋物線上的一點,且△PAB的面積為12,求點P的坐標。

        根據(jù)三角形面積公式,設點P的坐標為(m,n),可得S△PAB=|AB|×|n|=12。再結合拋物線的解析式,求出點P的坐標。

        (2)二次函數(shù)與四邊形結合,可以這樣設計:拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C。以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形。

        變化一:求點D的坐標。

        設D(x,y)。根據(jù)平行四邊形的性質,對邊平行且相等。分情況討論當AB為邊和當AB為對角線時,利用中點坐標公式求出點D的坐標。

        變化二:若點P是拋物線上的一點,且四邊形PABC的面積為15,求點P的坐標。

        先求出△ABC的面積,再根據(jù)四邊形PABC的面積為15,求出△PAB的面積。設點P的坐標為(m,n),利用三角形面積公式求出點P的坐標。

        三、二次函數(shù)“一題多變”的訓練實踐

        (一)在課堂教學中的應用

        1. 教師引導

        在課堂教學中,教師可以通過多種方式引導學生進行題目變化和思考。首先,教師可以從一個簡單的二次函數(shù)問題入手,如已知二次函數(shù)y=x2+2x-3,求其頂點坐標和對稱軸。然后,教師可以逐步引導學生進行變化,如改變函數(shù)的系數(shù)、增加或減少項數(shù)等??梢詫⒑瘮?shù)變?yōu)閥=2x2+4x-6,讓學生觀察函數(shù)圖像的變化,并思考頂點坐標和對稱軸的變化規(guī)律。

        其次,教師還可以通過提問的方式引導學生進行思考。教師可以問:“如果函數(shù)的定義域發(fā)生變化,函數(shù)的圖像會怎樣變化?”“如果函數(shù)與直線相交,會產(chǎn)生哪些新的問題?”通過這樣的提問,激發(fā)學生的思考,引導學生進行題目變化。

        最后,教師可以利用多媒體教學工具,如幾何畫板等,動態(tài)展示二次函數(shù)的圖像變化,幫助學生更好地理解題目變化的過程和結果。例如,教師可以通過幾何畫板展示函數(shù)的平移、軸對稱、旋轉等變化,讓學生直觀地感受函數(shù)圖像的變化規(guī)律。

        2. 學生參與

        在課堂上,學生可以通過多種方式參與“一題多變”的教學活動。首先,學生可以在教師的引導下,自己動手進行題目變化。例如,學生可以將一個已知的二次函數(shù)問題進行條件變化,如改變函數(shù)的系數(shù)、定義域、值域等,然后嘗試求解新的問題。

        其次,學生還可以通過小組合作的方式參與“一題多變”的教學活動。例如,教師可以將學生分成小組,每個小組選擇一個二次函數(shù)問題進行變化,并在小組內(nèi)進行討論和求解。然后,每個小組可以派代表向全班同學展示他們的變化過程和解題方法,其他小組的同學可以進行提問和評價。

        最后,學生還可以通過課堂討論的方式參與“一題多變”的教學活動。例如,教師可以提出一個二次函數(shù)問題,讓學生進行思考和討論,然后邀請學生發(fā)表自己的觀點和解題方法。在討論過程中,學生可以互相啟發(fā),共同探索不同的解題方法和變化方式。

        (二)在課后作業(yè)與測試中的體現(xiàn)

        二次函數(shù)“一題多變”在課后作業(yè)和測試中具有重要的應用價值,可以幫助學生更好地鞏固知識、提高思維能力和解題技巧。

        1. 作業(yè)設計的多樣性

        在課后作業(yè)設計中,可以采用多種類型的“一題多變”方式,以滿足不同學生的學習需求和能力水平??梢栽O計基礎型的“一題多變”作業(yè),如已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標為(1,2),且經(jīng)過點(2,3),求函數(shù)解析式。然后進行變化,將頂點坐標變?yōu)椋?,3),其他條件不變,讓學生再次求解函數(shù)解析式。這種基礎型的作業(yè)可以幫助學生鞏固二次函數(shù)的基本知識點,如頂點坐標公式、待定系數(shù)法等。

        2. 測試中的題目變化策略

        在測試中,可以運用“一題多變”的策略來考查學生的知識掌握程度和思維能力。

        首先,可以通過改變問題的條件來考查學生的應變能力。例如,在測試中給出一個二次函數(shù)的問題,如已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過點(1,3),求函數(shù)解析式。然后在同一道題中改變條件,如將對稱軸變?yōu)閤=-1,讓學生繼續(xù)求解函數(shù)解析式。這樣可以考查學生對二次函數(shù)對稱軸性質的理解和運用能力。

        其次,可以通過改變問題的題型來考查學生的綜合能力。例如,在測試中先給出一個二次函數(shù)的應用題,如某商店銷售一種進價為每件40元的商品,售價為每件60元時,每天可賣出80件。若售價每提高1元,銷售量就減少2件。設售價為x元,利潤為y元,求利潤y與售價x之間的函數(shù)關系式。然后在同一道題中改變題型,如要求學生求出當售價為多少元時,利潤最大?最大利潤是多少?這樣可以考查學生對二次函數(shù)實際應用問題的分析和解決能力。

        四、結語

        本文以二次函數(shù)為范例的初中函數(shù)“一題多變”教學方法,充分展現(xiàn)了其在初中數(shù)學教學中的重要地位和深遠影響。這種方法不僅極大地豐富了教學手段,還有效激發(fā)了學生的學習興趣和創(chuàng)新思維,顯著提升了學生的數(shù)學思維能力和解題技巧。展望未來,在初中函數(shù)的教學中,教師應進一步深化“一題多變”的應用與研究,不斷探索并實踐更為高效的教學方法和策略,以期全面提升數(shù)學教學的質量。

        參考文獻:

        [1] 林繼斌. 一題多變變中尋道:例談二次函數(shù)背景下角相等存在性問題的處理策略[J]. 初中數(shù)學教與學,2023(24):38-40.

        [2] 李國慶. 基于深度學習建構“一題一課”:以“二次函數(shù)的最值問題”復習課為例[J]. 中學數(shù)學,2023(06):51-53.

        [3] 王生華. 二次函數(shù)與幾何相關的一題多變教學研究[J]. 數(shù)理化學習:教研版,2024(01):35-37.

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