1 背景分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將數(shù)學(xué)眼光作為核心素養(yǎng)提出，是呼吁教師要合理利用教學(xué)資源，在課堂教學(xué)中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光．學(xué)生如果用靜態(tài)的眼光看幾何圖形，經(jīng)常會望“圖”卻步，難以解決問題，而用動態(tài)的視角看圖形，往往能喚醒圖形的靈性，從而激發(fā)學(xué)生的靈感[1]．幾何教學(xué)中，教師可借助尺規(guī)作圖、信息技術(shù)等方式來展示圖形的動態(tài)美，關(guān)聯(lián)基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生用動態(tài)的眼光識圖，幫助學(xué)生把復(fù)雜問題簡明化、形象化，從而快速找到解決問題的思路．本文以專題復(fù)習(xí)《角平分線的對稱性》為例，淺談培育動態(tài)眼光的教學(xué)．

2 課堂片段

2.1 前測

如圖1，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8，PB=3，求ΔPOA的面積．

2.2 操作

活動1 如圖2，已知OC平分∠AOB，D是OC上的一點(diǎn)，請用無刻度的直尺和圓規(guī)分別在OA，OB上找到點(diǎn)E，F(xiàn)，使得DE=DF．

師生活動學(xué)生自主探究，最先想到過D點(diǎn)作到角兩邊的距離的方法．教師投屏展示并給予肯定，同時(shí)邀請有不同方法的學(xué)生進(jìn)行展示和說理．教師巡視，發(fā)現(xiàn)生1的作法是以D為圓心，任意長度為半徑畫弧，展示后學(xué)生交流討論，認(rèn)為角邊邊無法證明方法的正確性．

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)借助操作對角平分線的對稱性進(jìn)行再認(rèn)識．學(xué)生除利用垂線段相等之外，還會用不同方式構(gòu)造全等三角形得線段相等．通過追問“觀察不同方法中的ΔODE和ΔODF，有什么發(fā)現(xiàn)？”的方式，引導(dǎo)學(xué)生從動態(tài)的眼光看到翻折型全等．

2.3 演示

活動2 觀看動態(tài)演示（效果見圖3～6），回答：點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)O出發(fā)以相同的速度在射線OA，OB上運(yùn)動時(shí)，線段DE，DF有什么變化？

設(shè)計(jì)意圖GeoGebra軟件（以下簡稱GGB）的動態(tài)演示，讓學(xué)生直觀感受圖形的動態(tài)美，從中找到不變與變：線段DEDF，的長度始終相等，且先變小再變大．師生共同歸納出角平分線對稱性的本質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到任意一對對稱點(diǎn)的距離相等[2]．

2.4 反思

例1 如圖7，已知OC平分∠AOB，D是OC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且∠OED+ ∠OFD=180°，求證：DE=DF．

師生活動 學(xué)生自主思考，口頭展示不同方法．教師通過“能否轉(zhuǎn)化DE，DF”的追問以及合作學(xué)習(xí)的方式不斷啟發(fā)學(xué)生思維，最后引導(dǎo)學(xué)生從動態(tài)的眼光看待不同方法，即法1是翻折和旋轉(zhuǎn)型全等（見圖8），法2、3是翻折型全等（見圖9～10），法4和5是旋轉(zhuǎn)型全等（見圖11～12）．

設(shè)計(jì)意圖 從該例題的一題多解出發(fā)，關(guān)聯(lián)基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘角平分線的對稱性，培育學(xué)生的動態(tài)眼光．

師 反思生1的作法，有什么想法？

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)活動1有更多的操作方法，見圖13～14）

2.5 應(yīng)用

例2 如圖15，僅用無刻度的直尺作圖：

（1）作∠A的角平分線AE；

（2）在線段AC上畫點(diǎn)F，使得AD=AF．

設(shè)計(jì)意圖 本題考查學(xué)生對角的對稱性的本質(zhì)的理解，能提升學(xué)生的思維水平．

3 案例解讀

3.1 始于尺規(guī)，感知運(yùn)動

尺規(guī)作圖的教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．學(xué)生需要先聯(lián)想幾何圖形的性質(zhì)或運(yùn)動變換，再嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评碜鲌D的合理性，最后拿起尺規(guī)進(jìn)行動手操作．角平分線性質(zhì)的新課教學(xué)是關(guān)注于特殊性，往往削弱其對稱性的本質(zhì)．本課通過尺規(guī)作圖的方式，將靜態(tài)的圖形分解，實(shí)現(xiàn)動態(tài)化，從而達(dá)到實(shí)踐感知運(yùn)動的效果．同時(shí)堅(jiān)持以學(xué)定教，關(guān)注課堂的生成性資源（生1的作法），讓教學(xué)更有針對性．

3.2 借助軟件，感受運(yùn)動

GGB軟件可清晰直觀地演示點(diǎn)、線、形的運(yùn)動變化，讓學(xué)生能感受圖形的動態(tài)美，有助于提升學(xué)數(shù)學(xué)的興趣與信心，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展．本課融入GGB技術(shù)后，讓學(xué)生感受到活動1的所有方法都來源于角平分線的對稱性的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)多法歸一得通法的效果．

3.3 關(guān)聯(lián)圖形，感悟運(yùn)動

引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動變換的眼光看圖形，能將靜態(tài)的圖形動起來，感悟不同方法中變換的聯(lián)系．本課的例題教學(xué)就是用“動”的力量來啟發(fā)學(xué)生思維的碰撞，最終產(chǎn)生不一樣的火花．

總之，要培育學(xué)生的動態(tài)眼光，需要教師有意識地去挖掘動態(tài)的教學(xué)資源，給課堂帶來生機(jī)，讓學(xué)生做思維體操，積累活動經(jīng)驗(yàn)，從而凝練成自己的數(shù)學(xué)眼光．

參考文獻(xiàn)

[1]邢成云，陳元云．嘗試用動態(tài)的眼光看圖形[J]．初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（19）：4-7，49

[2]劉春書．攫取本質(zhì)，方能關(guān)聯(lián)一切——以解決角平分線系列問題挖掘軸對稱本質(zhì)為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2023（06）：57-60