計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的概念的基礎(chǔ)，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)與計(jì)數(shù)單位息息相關(guān)。計(jì)數(shù)單位也是學(xué)生理解運(yùn)算算理的基礎(chǔ)，四則運(yùn)算可視為計(jì)數(shù)單位的累加、遞減、分解和組合。聚焦新課標(biāo)理念下小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”結(jié)構(gòu)化主題教學(xué)，結(jié)合“計(jì)數(shù)單位”這一核心概念整體設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生理解“數(shù)的認(rèn)識(shí)”與“數(shù)的運(yùn)算”的本質(zhì)，感悟數(shù)與運(yùn)算的整體性與一致性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

計(jì)數(shù)單位；數(shù)的認(rèn)識(shí)；數(shù)的運(yùn)算；一致性

張麗娟（1986—），女，江蘇省蘇州市吳中區(qū)郭巷實(shí)驗(yàn)小學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要感悟、體會(huì)數(shù)的概念的一致性、數(shù)的運(yùn)算的一致性、數(shù)與運(yùn)算的一致性。從數(shù)的概念看，數(shù)是由多個(gè)計(jì)數(shù)單位組成的；從運(yùn)算的意義看，加法是一切運(yùn)算的基礎(chǔ)，所有運(yùn)算都可以理解為相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加或遞減。因此，計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的概念的基礎(chǔ)，計(jì)數(shù)單位也是學(xué)生理解運(yùn)算算理的關(guān)鍵，計(jì)數(shù)單位是溝通“認(rèn)數(shù)”與“算數(shù)”的橋梁。在實(shí)際教學(xué)中，教師要基于新課標(biāo)理念整體把握核心知識(shí)，開展知識(shí)間的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，以計(jì)數(shù)單位勾連“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”，體現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、數(shù)與運(yùn)算一致性內(nèi)涵分析

（一）數(shù)的認(rèn)識(shí)一致性

在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)主要包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。整數(shù)是從具體數(shù)量中抽象出的數(shù)，小數(shù)、分?jǐn)?shù)是從具體數(shù)量及數(shù)量關(guān)系中抽象出的數(shù)。

學(xué)生首先學(xué)習(xí)的是整數(shù)，如認(rèn)識(shí)整數(shù)4123，知道它是由4個(gè)“千”、1個(gè)“百”、2個(gè)“十”、3個(gè)“一”組成的；之后認(rèn)識(shí)更大的數(shù)，如13987，知道千位滿十要向萬位進(jìn)一。整數(shù)的計(jì)數(shù)單位包括個(gè)、十、百、千、萬等，相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是10，稱為十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

小數(shù)包含整數(shù)部分和小數(shù)部分。把“1”平均分成10份，則每份是0.1；0.1平均分成10份，每份是0.01，以此類推。小數(shù)部分的計(jì)數(shù)單位包括0.1、0.01等，10個(gè)0.01是1個(gè)0.1，同樣屬于十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

在這三類數(shù)中，分?jǐn)?shù)是相對(duì)特殊的存在。分?jǐn)?shù)的意義是指將單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份。分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是分?jǐn)?shù)單位，如認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，知道它是由7個(gè)組成的，再數(shù)1個(gè)就可以進(jìn)一。因此，分?jǐn)?shù)的進(jìn)制不一定是滿十進(jìn)一，而是滿特定的分?jǐn)?shù)單位進(jìn)一，與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)有關(guān)。

綜上所述，計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵，它決定了數(shù)的意義、組成、大小等，這些數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)整體，具有一致性。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要逐漸感悟計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生與實(shí)際應(yīng)用的緊密聯(lián)系，慢慢體會(huì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性。

（二）數(shù)的運(yùn)算一致性

小學(xué)階段關(guān)于“數(shù)的運(yùn)算”的學(xué)習(xí)是指整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。從四種運(yùn)算間的關(guān)系出發(fā)，加法是一切運(yùn)算的開始，表示部分量和部分量合起來求出總量；減法是加法的逆運(yùn)算，表示從總量中拿出部分量，求出剩下的部分量；乘法的意義是“多個(gè)相同數(shù)相加”，本質(zhì)上是加法運(yùn)算的簡(jiǎn)化過程；除法是乘法的逆運(yùn)算，也與減法有關(guān)，本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)連續(xù)減去若干個(gè)相同數(shù)得到結(jié)果。由此可見，四則運(yùn)算間相互勾連，教師在教學(xué)中應(yīng)建立相關(guān)的知識(shí)體系，幫助學(xué)生深刻理解運(yùn)算的本質(zhì)。

數(shù)的運(yùn)算的一致性也是通過計(jì)數(shù)單位聯(lián)系起來的。在筆算加減法時(shí)，要注意將相同數(shù)位對(duì)齊，目的是使相同計(jì)數(shù)單位的累加或遞減準(zhǔn)確。分?jǐn)?shù)的通分，也是為了在計(jì)數(shù)單位相同的基礎(chǔ)上進(jìn)行運(yùn)算。在筆算乘法中，均是將計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，得到新的計(jì)數(shù)單位；計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。在筆算除法時(shí)，則是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。無論是哪一種數(shù)的運(yùn)算，小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算都可以和整數(shù)的四則運(yùn)算建立聯(lián)系；無論哪種形式的數(shù)的運(yùn)算，都是計(jì)數(shù)單位的累加、遞減、創(chuàng)生和細(xì)分這充分體現(xiàn)了數(shù)的運(yùn)算的一致性。

綜上所述，數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算都具有一致性。數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)，數(shù)的運(yùn)算又能更深層次地反映數(shù)的概念的形成與發(fā)展，這綜合體現(xiàn)了數(shù)與運(yùn)算具有一致性。

二、數(shù)與運(yùn)算一致性教學(xué)策略

基于對(duì)數(shù)與運(yùn)算一致性內(nèi)涵的深度理解，教師在組織數(shù)與運(yùn)算主題課程教學(xué)時(shí)，要從整體出發(fā)架構(gòu)知識(shí)體系，幫助學(xué)生把握運(yùn)算的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。下面，筆者以具體的教學(xué)實(shí)例“小數(shù)的意義和讀寫”與“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”進(jìn)行闡述與說明。

（一）數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性以“小數(shù)的意義和讀寫”為例

“小數(shù)的意義和讀寫”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第三單元第1課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。蘇教版教材關(guān)于小數(shù)的知識(shí)共安排了四個(gè)單元，如表1所示。

在學(xué)生建立了對(duì)小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)后，“小數(shù)的意義和讀寫”能讓學(xué)生深入認(rèn)識(shí)小數(shù)的本質(zhì)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)小數(shù)四則運(yùn)算等知識(shí)奠定基礎(chǔ)。教材基于學(xué)生對(duì)米、分米、厘米、毫米，以及它們之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生感知一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)的含義。如果停留于表面的學(xué)習(xí)，學(xué)生就只能知道小數(shù)和分?jǐn)?shù)在形式上有所聯(lián)系，并不能真正體會(huì)數(shù)之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上認(rèn)識(shí)小數(shù)，如何呈現(xiàn)小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及整數(shù)間的聯(lián)系，打通知識(shí)脈絡(luò)，是教師在備課中需要深入思考的問題。

1.勾連分?jǐn)?shù)抽象概括0.1的意義

教師可出示研究單：0.1元表示什么？0.1米表示什么？

學(xué)生可選擇一個(gè)問題，結(jié)合研究單上的圖形進(jìn)行思考并與同桌交流。學(xué)生通過展示、交流，能明白1元等于10角，1角是元，寫成小數(shù)是0.1元；1米等于10分米，1分米是米，寫成小數(shù)是0.1米。接著，教師可讓學(xué)生在正方形、正方體中分別表示出0.1，體會(huì)用具體圖形表示0.1就是將圖形平均分成10份，取其中的1份。如果用整數(shù)“1”來表示圖形，就是把“1”平均分成10份，其中的1份是0.1，表示，這就是0.1的意義。

2.數(shù)數(shù)深化一位小數(shù)的意義

教師可提出問題：在認(rèn)識(shí)了0.1后，我們?cè)賮碜屑?xì)觀察被平均分的正方形、正方體，你能從中找出哪個(gè)小數(shù)？它與0.1有什么聯(lián)系？

學(xué)生通過觀察、數(shù)數(shù)，能發(fā)現(xiàn)0.2里面有2個(gè)0.1，0.3里面有3個(gè)0.1……0.9里面有9個(gè)0.1。這些小數(shù)的小數(shù)部分都只有1位數(shù)，這樣的小數(shù)叫作一位小數(shù)。一位小數(shù)表示十分之幾，這就是一位小數(shù)的意義。然后，教師可讓學(xué)生繼續(xù)觀察正方形（或正方體），數(shù)一數(shù)并想一想：如果在0.9后再多數(shù)一個(gè)0.1是多少呢？學(xué)生很容易就能想到10個(gè)0.1就是“1”。在這一過程中，學(xué)生不僅能深刻理解一位小數(shù)的意義，還能明白小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)間的聯(lián)系“數(shù)是數(shù)出來的”。

3.數(shù)的認(rèn)識(shí)一致性計(jì)數(shù)單位的累加

學(xué)生通過遷移一位小數(shù)的認(rèn)知方法，經(jīng)歷從“生活中的數(shù)量”到“具體的圖形”抽象概括出0.01、0.001的意義的過程，理解兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾；然后在數(shù)形結(jié)合情境中數(shù)一數(shù)、想一想，理解和歸納兩位小數(shù)、三位小數(shù)的意義。這樣的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能讓學(xué)生逐漸體會(huì)小數(shù)與整數(shù)都是“十進(jìn)制”以及小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……10個(gè)0.001（）是0.01（），10個(gè)0.01（）是0.1（），10個(gè)0.1（）是1，10個(gè)1是10……通過勾連小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)，學(xué)生能慢慢體會(huì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性，感悟“數(shù)是計(jì)數(shù)單位的累加”。計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵，決定了數(shù)的意義、組成、大小等，因而整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在本質(zhì)上是一個(gè)整體，具有一致性。

（二）數(shù)的運(yùn)算的一致性以“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”為例

數(shù)的運(yùn)算具有一致性，但要真正打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算之間的壁壘并非易事。學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法之后，五年級(jí)上學(xué)期開始學(xué)習(xí)小數(shù)除法。小數(shù)除法涉及的知識(shí)點(diǎn)根據(jù)除數(shù)的特點(diǎn)總體可分為兩類，即除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法，而除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法通過商不變規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法。因此，除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法在小數(shù)除法計(jì)算教學(xué)中十分重要。教師在備課時(shí)要深入探究問題：關(guān)于整數(shù)除法的學(xué)習(xí)認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)對(duì)小數(shù)除法的學(xué)習(xí)有什么幫助？小數(shù)除法與整數(shù)除法之間到底有什么關(guān)系？

1.自主探索不同算法

在實(shí)際教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)貼合學(xué)生生活實(shí)際的問題情境：①小明去超市買4瓶養(yǎng)樂多，共花了48元，平均每瓶養(yǎng)樂多多少元？該問題可以用除法解決，學(xué)生在計(jì)算過程中需要回憶整數(shù)除法的計(jì)算方法。②小明買了3張貼畫共花了9.6元，平均每張貼畫多少元？同樣的，這個(gè)問題也屬于“等分除”的問題，可以用除法解決，列算式“9.6÷3”便可得出答案。通過觀察、對(duì)比，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式與之前的算式有所不同，即被除數(shù)是小數(shù)?；诖?，教師可引導(dǎo)學(xué)生在研究單上自主探索小數(shù)除法的計(jì)算方法，并與同桌交流為什么要這樣算。

2.理解算法與算理間的聯(lián)系

在學(xué)生進(jìn)行自主探索、同桌交流后，教師可組織全班展示活動(dòng)?？赡艹霈F(xiàn)的算法如下：

①1元＝10角，9.6元＝96角，96÷3＝32（角），32角＝3.2元。

②9.6元＝9元6角，9元平均分成3份，每份是3元，6角平均分成3份，每份是2角，3元2角是3.2元。

③豎式計(jì)算。學(xué)生在此計(jì)算過程中可能會(huì)遇到問題：小數(shù)點(diǎn)的位置應(yīng)該放在哪里？學(xué)生交流算法及算理：計(jì)算9.6除以3時(shí)，先將9平均分成3份，也就是9個(gè)1平均分成3份，每份是3個(gè)1，3寫在個(gè)位上；再將0.6平均分成3份，也就是6個(gè)0.1平均分成3份，每份是2個(gè)0.1，2寫在十分位上。這與整數(shù)除法的計(jì)算方法是一致的，先從高位算起，再逐一細(xì)分計(jì)數(shù)單位。

3.體會(huì)除法運(yùn)算的一致性

教師可繼續(xù)提出問題：小明又買了5千克香蕉，共花了12元，平均每千克香蕉多少元？

學(xué)生列豎式計(jì)算“12÷5”時(shí)，可能產(chǎn)生兩種想法：一是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，用余數(shù)表示，得到“12÷5＝2（元）……2（元）”；二是繼續(xù)往下除，因?yàn)橛嘞碌摹?元”還能繼續(xù)分，把2元看成20角，平均分成5份，每份是4角，進(jìn)而得出2.4元。

這道題能讓學(xué)生進(jìn)一步感悟小數(shù)除法是整數(shù)除法的延續(xù)，因?yàn)樾?shù)除法和整數(shù)除法一樣，都是先從高位算起，當(dāng)高位上的數(shù)在平均分時(shí)有剩余時(shí)，再將高一級(jí)剩余的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化為低一級(jí)的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)細(xì)分計(jì)算下去。小數(shù)除法和整數(shù)除法的核心本質(zhì)都是十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位的不斷細(xì)分，體現(xiàn)了除法運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，這可以讓學(xué)生感悟小數(shù)除法與整數(shù)除法運(yùn)算具有整體性和一致性，建立關(guān)于除法運(yùn)算的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)。

總而言之，計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的概念的基礎(chǔ)，計(jì)數(shù)單位也是學(xué)生理解運(yùn)算算理的關(guān)鍵。抓住計(jì)數(shù)單位這一核心概念，使學(xué)生體會(huì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義與運(yùn)算是一脈相承的，感悟數(shù)的概念的形成和發(fā)展與數(shù)的運(yùn)算的一致性，進(jìn)而凸顯“數(shù)與運(yùn)算”主題教學(xué)的整體性與一致性，有助于學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的思維，從而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、數(shù)與運(yùn)算一致性教學(xué)評(píng)價(jià)分析

在讓學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算一致性的教學(xué)實(shí)踐中，教師切不可急于求成，尤其是新課標(biāo)頒布以后，要讓學(xué)生有個(gè)慢慢適應(yīng)的、循序漸進(jìn)的過程。同時(shí)，教師對(duì)新課標(biāo)以及教材的理解需要更透徹、更長遠(yuǎn)，更具有目標(biāo)性。比如，在幫助學(xué)生理解數(shù)的運(yùn)算一致性的過程中，計(jì)算方法及原理的證明過程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必不可少的環(huán)節(jié)。教師要讓學(xué)生既明白算法，又講得清算理，將算理和算法融會(huì)貫通，真正理解知識(shí)的本質(zhì)。對(duì)于課與課之間、單元與單元之間的聯(lián)系，教師要有系統(tǒng)性、整體性、發(fā)展性的認(rèn)識(shí)，將零散的知識(shí)點(diǎn)整合在一起，幫助學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)。

從教材的教學(xué)內(nèi)容分析，由生活化的問題情境入手是使數(shù)學(xué)教學(xué)有的放矢的重要途徑，也是學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系的關(guān)鍵。在讓學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算一致性的教學(xué)實(shí)踐中，教師可以結(jié)合生活中的實(shí)際情況，引出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，讓數(shù)的呈現(xiàn)更形象、具體。在解決實(shí)際問題的過程中，必定會(huì)用到數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生結(jié)合生活情境更容易理解四則運(yùn)算的意義。像這樣以生為本的教學(xué)方式，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

綜上所述，教師應(yīng)當(dāng)重視對(duì)教材內(nèi)容的分析和把控，深入淺出地理解小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，提煉并梳理出整體框架，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的一致性和可遷移性，形成科學(xué)的思維習(xí)慣。

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