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        新課標(biāo)理念下“數(shù)與運(yùn)算一致性”教學(xué)初探

        2024-12-31 00:00:00張麗娟
        求知導(dǎo)刊 2024年15期
        關(guān)鍵詞:整數(shù)小數(shù)一致性

        計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的概念的基礎(chǔ),整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)與計(jì)數(shù)單位息息相關(guān)。計(jì)數(shù)單位也是學(xué)生理解運(yùn)算算理的基礎(chǔ),四則運(yùn)算可視為計(jì)數(shù)單位的累加、遞減、分解和組合。聚焦新課標(biāo)理念下小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”結(jié)構(gòu)化主題教學(xué),結(jié)合“計(jì)數(shù)單位”這一核心概念整體設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),幫助學(xué)生理解“數(shù)的認(rèn)識(shí)”與“數(shù)的運(yùn)算”的本質(zhì),感悟數(shù)與運(yùn)算的整體性與一致性,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        計(jì)數(shù)單位;數(shù)的認(rèn)識(shí);數(shù)的運(yùn)算;一致性

        張麗娟(1986—),女,江蘇省蘇州市吳中區(qū)郭巷實(shí)驗(yàn)小學(xué)。

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,要感悟、體會(huì)數(shù)的概念的一致性、數(shù)的運(yùn)算的一致性、數(shù)與運(yùn)算的一致性。從數(shù)的概念看,數(shù)是由多個(gè)計(jì)數(shù)單位組成的;從運(yùn)算的意義看,加法是一切運(yùn)算的基礎(chǔ),所有運(yùn)算都可以理解為相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加或遞減。因此,計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的概念的基礎(chǔ),計(jì)數(shù)單位也是學(xué)生理解運(yùn)算算理的關(guān)鍵,計(jì)數(shù)單位是溝通“認(rèn)數(shù)”與“算數(shù)”的橋梁。在實(shí)際教學(xué)中,教師要基于新課標(biāo)理念整體把握核心知識(shí),開(kāi)展知識(shí)間的結(jié)構(gòu)化教學(xué),以計(jì)數(shù)單位勾連“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”,體現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解,培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        一、數(shù)與運(yùn)算一致性內(nèi)涵分析

        (一)數(shù)的認(rèn)識(shí)一致性

        在小學(xué)階段,學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)主要包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。整數(shù)是從具體數(shù)量中抽象出的數(shù),小數(shù)、分?jǐn)?shù)是從具體數(shù)量及數(shù)量關(guān)系中抽象出的數(shù)。

        學(xué)生首先學(xué)習(xí)的是整數(shù),如認(rèn)識(shí)整數(shù)4123,知道它是由4個(gè)“千”、1個(gè)“百”、2個(gè)“十”、3個(gè)“一”組成的;之后認(rèn)識(shí)更大的數(shù),如13987,知道千位滿十要向萬(wàn)位進(jìn)一。整數(shù)的計(jì)數(shù)單位包括個(gè)、十、百、千、萬(wàn)等,相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是10,稱為十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

        小數(shù)包含整數(shù)部分和小數(shù)部分。把“1”平均分成10份,則每份是0.1;0.1平均分成10份,每份是0.01,以此類推。小數(shù)部分的計(jì)數(shù)單位包括0.1、0.01等,10個(gè)0.01是1個(gè)0.1,同樣屬于十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

        在這三類數(shù)中,分?jǐn)?shù)是相對(duì)特殊的存在。分?jǐn)?shù)的意義是指將單位“1”平均分成若干份,表示其中的一份或幾份。分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是分?jǐn)?shù)單位,如認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù),知道它是由7個(gè)組成的,再數(shù)1個(gè)就可以進(jìn)一。因此,分?jǐn)?shù)的進(jìn)制不一定是滿十進(jìn)一,而是滿特定的分?jǐn)?shù)單位進(jìn)一,與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)有關(guān)。

        綜上所述,計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵,它決定了數(shù)的意義、組成、大小等,這些數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)整體,具有一致性。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中要逐漸感悟計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生與實(shí)際應(yīng)用的緊密聯(lián)系,慢慢體會(huì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性。

        (二)數(shù)的運(yùn)算一致性

        小學(xué)階段關(guān)于“數(shù)的運(yùn)算”的學(xué)習(xí)是指整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。從四種運(yùn)算間的關(guān)系出發(fā),加法是一切運(yùn)算的開(kāi)始,表示部分量和部分量合起來(lái)求出總量;減法是加法的逆運(yùn)算,表示從總量中拿出部分量,求出剩下的部分量;乘法的意義是“多個(gè)相同數(shù)相加”,本質(zhì)上是加法運(yùn)算的簡(jiǎn)化過(guò)程;除法是乘法的逆運(yùn)算,也與減法有關(guān),本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)連續(xù)減去若干個(gè)相同數(shù)得到結(jié)果。由此可見(jiàn),四則運(yùn)算間相互勾連,教師在教學(xué)中應(yīng)建立相關(guān)的知識(shí)體系,幫助學(xué)生深刻理解運(yùn)算的本質(zhì)。

        數(shù)的運(yùn)算的一致性也是通過(guò)計(jì)數(shù)單位聯(lián)系起來(lái)的。在筆算加減法時(shí),要注意將相同數(shù)位對(duì)齊,目的是使相同計(jì)數(shù)單位的累加或遞減準(zhǔn)確。分?jǐn)?shù)的通分,也是為了在計(jì)數(shù)單位相同的基礎(chǔ)上進(jìn)行運(yùn)算。在筆算乘法中,均是將計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘,得到新的計(jì)數(shù)單位;計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘,得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。在筆算除法時(shí),則是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除,計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。無(wú)論是哪一種數(shù)的運(yùn)算,小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算都可以和整數(shù)的四則運(yùn)算建立聯(lián)系;無(wú)論哪種形式的數(shù)的運(yùn)算,都是計(jì)數(shù)單位的累加、遞減、創(chuàng)生和細(xì)分這充分體現(xiàn)了數(shù)的運(yùn)算的一致性。

        綜上所述,數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算都具有一致性。數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ),數(shù)的運(yùn)算又能更深層次地反映數(shù)的概念的形成與發(fā)展,這綜合體現(xiàn)了數(shù)與運(yùn)算具有一致性。

        二、數(shù)與運(yùn)算一致性教學(xué)策略

        基于對(duì)數(shù)與運(yùn)算一致性內(nèi)涵的深度理解,教師在組織數(shù)與運(yùn)算主題課程教學(xué)時(shí),要從整體出發(fā)架構(gòu)知識(shí)體系,幫助學(xué)生把握運(yùn)算的本質(zhì),從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。下面,筆者以具體的教學(xué)實(shí)例“小數(shù)的意義和讀寫”與“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”進(jìn)行闡述與說(shuō)明。

        (一)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性以“小數(shù)的意義和讀寫”為例

        “小數(shù)的意義和讀寫”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第三單元第1課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。蘇教版教材關(guān)于小數(shù)的知識(shí)共安排了四個(gè)單元,如表1所示。

        在學(xué)生建立了對(duì)小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)后,“小數(shù)的意義和讀寫”能讓學(xué)生深入認(rèn)識(shí)小數(shù)的本質(zhì),為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)小數(shù)四則運(yùn)算等知識(shí)奠定基礎(chǔ)。教材基于學(xué)生對(duì)米、分米、厘米、毫米,以及它們之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí),引導(dǎo)學(xué)生感知一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)的含義。如果停留于表面的學(xué)習(xí),學(xué)生就只能知道小數(shù)和分?jǐn)?shù)在形式上有所聯(lián)系,并不能真正體會(huì)數(shù)之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。因此,如何引導(dǎo)學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上認(rèn)識(shí)小數(shù),如何呈現(xiàn)小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及整數(shù)間的聯(lián)系,打通知識(shí)脈絡(luò),是教師在備課中需要深入思考的問(wèn)題。

        1.勾連分?jǐn)?shù)抽象概括0.1的意義

        教師可出示研究單:0.1元表示什么?0.1米表示什么?

        學(xué)生可選擇一個(gè)問(wèn)題,結(jié)合研究單上的圖形進(jìn)行思考并與同桌交流。學(xué)生通過(guò)展示、交流,能明白1元等于10角,1角是元,寫成小數(shù)是0.1元;1米等于10分米,1分米是米,寫成小數(shù)是0.1米。接著,教師可讓學(xué)生在正方形、正方體中分別表示出0.1,體會(huì)用具體圖形表示0.1就是將圖形平均分成10份,取其中的1份。如果用整數(shù)“1”來(lái)表示圖形,就是把“1”平均分成10份,其中的1份是0.1,表示,這就是0.1的意義。

        2.數(shù)數(shù)深化一位小數(shù)的意義

        教師可提出問(wèn)題:在認(rèn)識(shí)了0.1后,我們?cè)賮?lái)仔細(xì)觀察被平均分的正方形、正方體,你能從中找出哪個(gè)小數(shù)?它與0.1有什么聯(lián)系?

        學(xué)生通過(guò)觀察、數(shù)數(shù),能發(fā)現(xiàn)0.2里面有2個(gè)0.1,0.3里面有3個(gè)0.1……0.9里面有9個(gè)0.1。這些小數(shù)的小數(shù)部分都只有1位數(shù),這樣的小數(shù)叫作一位小數(shù)。一位小數(shù)表示十分之幾,這就是一位小數(shù)的意義。然后,教師可讓學(xué)生繼續(xù)觀察正方形(或正方體),數(shù)一數(shù)并想一想:如果在0.9后再多數(shù)一個(gè)0.1是多少呢?學(xué)生很容易就能想到10個(gè)0.1就是“1”。在這一過(guò)程中,學(xué)生不僅能深刻理解一位小數(shù)的意義,還能明白小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)間的聯(lián)系“數(shù)是數(shù)出來(lái)的”。

        3.數(shù)的認(rèn)識(shí)一致性計(jì)數(shù)單位的累加

        學(xué)生通過(guò)遷移一位小數(shù)的認(rèn)知方法,經(jīng)歷從“生活中的數(shù)量”到“具體的圖形”抽象概括出0.01、0.001的意義的過(guò)程,理解兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾;然后在數(shù)形結(jié)合情境中數(shù)一數(shù)、想一想,理解和歸納兩位小數(shù)、三位小數(shù)的意義。這樣的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能讓學(xué)生逐漸體會(huì)小數(shù)與整數(shù)都是“十進(jìn)制”以及小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系:一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾……10個(gè)0.001()是0.01(),10個(gè)0.01()是0.1(),10個(gè)0.1()是1,10個(gè)1是10……通過(guò)勾連小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù),學(xué)生能慢慢體會(huì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性,感悟“數(shù)是計(jì)數(shù)單位的累加”。計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵,決定了數(shù)的意義、組成、大小等,因而整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在本質(zhì)上是一個(gè)整體,具有一致性。

        (二)數(shù)的運(yùn)算的一致性以“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”為例

        數(shù)的運(yùn)算具有一致性,但要真正打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算之間的壁壘并非易事。學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法之后,五年級(jí)上學(xué)期開(kāi)始學(xué)習(xí)小數(shù)除法。小數(shù)除法涉及的知識(shí)點(diǎn)根據(jù)除數(shù)的特點(diǎn)總體可分為兩類,即除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法,而除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法通過(guò)商不變規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法。因此,除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法在小數(shù)除法計(jì)算教學(xué)中十分重要。教師在備課時(shí)要深入探究問(wèn)題:關(guān)于整數(shù)除法的學(xué)習(xí)認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)對(duì)小數(shù)除法的學(xué)習(xí)有什么幫助?小數(shù)除法與整數(shù)除法之間到底有什么關(guān)系?

        1.自主探索不同算法

        在實(shí)際教學(xué)中,教師可創(chuàng)設(shè)貼合學(xué)生生活實(shí)際的問(wèn)題情境:①小明去超市買4瓶養(yǎng)樂(lè)多,共花了48元,平均每瓶養(yǎng)樂(lè)多多少元?該問(wèn)題可以用除法解決,學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中需要回憶整數(shù)除法的計(jì)算方法。②小明買了3張貼畫共花了9.6元,平均每張貼畫多少元?同樣的,這個(gè)問(wèn)題也屬于“等分除”的問(wèn)題,可以用除法解決,列算式“9.6÷3”便可得出答案。通過(guò)觀察、對(duì)比,學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式與之前的算式有所不同,即被除數(shù)是小數(shù)?;诖耍處熆梢龑?dǎo)學(xué)生在研究單上自主探索小數(shù)除法的計(jì)算方法,并與同桌交流為什么要這樣算。

        2.理解算法與算理間的聯(lián)系

        在學(xué)生進(jìn)行自主探索、同桌交流后,教師可組織全班展示活動(dòng)??赡艹霈F(xiàn)的算法如下:

        ①1元=10角,9.6元=96角,96÷3=32(角),32角=3.2元。

        ②9.6元=9元6角,9元平均分成3份,每份是3元,6角平均分成3份,每份是2角,3元2角是3.2元。

        ③豎式計(jì)算。學(xué)生在此計(jì)算過(guò)程中可能會(huì)遇到問(wèn)題:小數(shù)點(diǎn)的位置應(yīng)該放在哪里?學(xué)生交流算法及算理:計(jì)算9.6除以3時(shí),先將9平均分成3份,也就是9個(gè)1平均分成3份,每份是3個(gè)1,3寫在個(gè)位上;再將0.6平均分成3份,也就是6個(gè)0.1平均分成3份,每份是2個(gè)0.1,2寫在十分位上。這與整數(shù)除法的計(jì)算方法是一致的,先從高位算起,再逐一細(xì)分計(jì)數(shù)單位。

        3.體會(huì)除法運(yùn)算的一致性

        教師可繼續(xù)提出問(wèn)題:小明又買了5千克香蕉,共花了12元,平均每千克香蕉多少元?

        學(xué)生列豎式計(jì)算“12÷5”時(shí),可能產(chǎn)生兩種想法:一是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),用余數(shù)表示,得到“12÷5=2(元)……2(元)”;二是繼續(xù)往下除,因?yàn)橛嘞碌摹?元”還能繼續(xù)分,把2元看成20角,平均分成5份,每份是4角,進(jìn)而得出2.4元。

        這道題能讓學(xué)生進(jìn)一步感悟小數(shù)除法是整數(shù)除法的延續(xù),因?yàn)樾?shù)除法和整數(shù)除法一樣,都是先從高位算起,當(dāng)高位上的數(shù)在平均分時(shí)有剩余時(shí),再將高一級(jí)剩余的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化為低一級(jí)的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)細(xì)分計(jì)算下去。小數(shù)除法和整數(shù)除法的核心本質(zhì)都是十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位的不斷細(xì)分,體現(xiàn)了除法運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系,這可以讓學(xué)生感悟小數(shù)除法與整數(shù)除法運(yùn)算具有整體性和一致性,建立關(guān)于除法運(yùn)算的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)。

        總而言之,計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的概念的基礎(chǔ),計(jì)數(shù)單位也是學(xué)生理解運(yùn)算算理的關(guān)鍵。抓住計(jì)數(shù)單位這一核心概念,使學(xué)生體會(huì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義與運(yùn)算是一脈相承的,感悟數(shù)的概念的形成和發(fā)展與數(shù)的運(yùn)算的一致性,進(jìn)而凸顯“數(shù)與運(yùn)算”主題教學(xué)的整體性與一致性,有助于學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解,建立知識(shí)之間的聯(lián)系,形成結(jié)構(gòu)化的思維,從而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        三、數(shù)與運(yùn)算一致性教學(xué)評(píng)價(jià)分析

        在讓學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算一致性的教學(xué)實(shí)踐中,教師切不可急于求成,尤其是新課標(biāo)頒布以后,要讓學(xué)生有個(gè)慢慢適應(yīng)的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。同時(shí),教師對(duì)新課標(biāo)以及教材的理解需要更透徹、更長(zhǎng)遠(yuǎn),更具有目標(biāo)性。比如,在幫助學(xué)生理解數(shù)的運(yùn)算一致性的過(guò)程中,計(jì)算方法及原理的證明過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必不可少的環(huán)節(jié)。教師要讓學(xué)生既明白算法,又講得清算理,將算理和算法融會(huì)貫通,真正理解知識(shí)的本質(zhì)。對(duì)于課與課之間、單元與單元之間的聯(lián)系,教師要有系統(tǒng)性、整體性、發(fā)展性的認(rèn)識(shí),將零散的知識(shí)點(diǎn)整合在一起,幫助學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)。

        從教材的教學(xué)內(nèi)容分析,由生活化的問(wèn)題情境入手是使數(shù)學(xué)教學(xué)有的放矢的重要途徑,也是學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系的關(guān)鍵。在讓學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算一致性的教學(xué)實(shí)踐中,教師可以結(jié)合生活中的實(shí)際情況,引出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題,讓數(shù)的呈現(xiàn)更形象、具體。在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,必定會(huì)用到數(shù)的運(yùn)算,學(xué)生結(jié)合生活情境更容易理解四則運(yùn)算的意義。像這樣以生為本的教學(xué)方式,不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

        綜上所述,教師應(yīng)當(dāng)重視對(duì)教材內(nèi)容的分析和把控,深入淺出地理解小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn),提煉并梳理出整體框架,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的一致性和可遷移性,形成科學(xué)的思維習(xí)慣。

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

        [2]鞏子坤,史寧中,張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角:數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性[J].課程教材教法,2022(6):48.

        [3]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論:數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象(第1輯)[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,2008.

        [4]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則:小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京:高等教育出版社,2013.

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