摘要：文章立足新課標(biāo)對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提出的要求，從深度學(xué)習(xí)的角度剖析初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力現(xiàn)狀及問題歸因，構(gòu)建初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”運(yùn)算學(xué)習(xí)策略，為“減負(fù)增效”背景下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)提供新思路.

關(guān)鍵詞：運(yùn)算能力；深度學(xué)習(xí)；算理探究；運(yùn)算方法優(yōu)化

1 研究背景

2022年4月，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標(biāo)”），并于2022年秋季學(xué)期開始執(zhí)行.2022版課標(biāo)明確提出將運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，并將其界定為“根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力”.對學(xué)生運(yùn)算能力的要求不只局限于正確運(yùn)算，還要求學(xué)生能理解算法與算理之間的關(guān)系，能選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.

2 現(xiàn)狀分析

2.1 現(xiàn)狀分析

筆者與課題組成員調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的過程中，教師的教和學(xué)生的學(xué)僅停留在淺層層面，過度側(cè)重運(yùn)算的重復(fù)性機(jī)械性練習(xí)，而對運(yùn)算算理、運(yùn)算方法的探究不夠重視.

本次調(diào)研的學(xué)生涵蓋本校6～9年級近四千名學(xué)生，通過對學(xué)生的卷面錯誤進(jìn)行歸因分析、二次過關(guān)和針對性調(diào)查談訪，將學(xué)生運(yùn)算能力現(xiàn)狀歸納為五個層面（圖1）.調(diào)查表明，學(xué)生運(yùn)算能力整體表現(xiàn)較為薄弱，大多數(shù)問題了解和掌握程度不足60%，隨著年齡的增長和所學(xué)知識的增加，學(xué)生運(yùn)算能力整體有所提升，但在運(yùn)算轉(zhuǎn)化和運(yùn)算方法辨析上存在不同程度的減退.

2.2 運(yùn)算問題歸因分析

以深度學(xué)習(xí)為導(dǎo)向，結(jié)合對學(xué)生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀分析，將學(xué)生運(yùn)算問題歸因?yàn)橐韵氯齻€方面.

一是對算理探究的忽視.數(shù)學(xué)運(yùn)算課可分為運(yùn)算概念課、運(yùn)算法則課、運(yùn)算運(yùn)用課，不論是概念的歸納還是法則的概括亦或是思想方法的滲透都具有一定的抽象性，所以傳統(tǒng)的灌輸式、填鴨式的教學(xué)模式逐漸被一線教師拋棄.但在運(yùn)算課教學(xué)中，仍有不少教師以鞏固練習(xí)為主而忽視算理的探究，給學(xué)生造成“知其然而不知其所以然”的困惑，在評價學(xué)生學(xué)習(xí)時更是單純以運(yùn)算結(jié)果是否正確為導(dǎo)向，忽略學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展.

二是缺乏正向遷移.在進(jìn)行運(yùn)算錯因分析時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生因基礎(chǔ)知識不扎實(shí)、運(yùn)算順序不規(guī)范導(dǎo)致運(yùn)算錯誤的情況占比最大，而這種現(xiàn)象的指向根本在于沒有達(dá)到前后知識的關(guān)聯(lián)和遷移運(yùn)用.以有理數(shù)運(yùn)算為例，有理數(shù)是初中階段第一次對數(shù)系的擴(kuò)充，運(yùn)算中也增加了乘方、絕對值等新運(yùn)算，若不能在非負(fù)有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上正向遷移運(yùn)算法則，會導(dǎo)致在運(yùn)算過程中頻頻出現(xiàn)運(yùn)算錯誤.

例1 計(jì)算：－14－－18×（－4）.

分析：學(xué)生在運(yùn)算順序上誤將減法在乘法之前計(jì)算，即誤認(rèn)為是18×（－4）.錯誤的運(yùn)算順序?qū)е虏徽_的計(jì)算結(jié)果，實(shí)質(zhì)是在數(shù)系擴(kuò)充后，學(xué)生沒有對基礎(chǔ)運(yùn)算法則達(dá)到有效的遷移與運(yùn)用.

三是運(yùn)算方法未能優(yōu)化.除了運(yùn)算結(jié)果的正確性，運(yùn)算方法的選擇也是衡量學(xué)生運(yùn)算能力的重要標(biāo)準(zhǔn)，更是運(yùn)算簡捷性的外顯.很多學(xué)生即便在運(yùn)算中得到了正確的結(jié)果，但卻未能實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法的優(yōu)化，甚至將簡單問題復(fù)雜化，無法達(dá)到靈活運(yùn)用的目的.

例2 直線y=－x+4與直線y=2x+1相交于點(diǎn)A（1，3），則關(guān)于x，y的方程組x+y=4，2x－y=－1的解是.

分析：由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可直接得到對應(yīng)的二元一次方程組的解，而不必再解方程組.

中考對運(yùn)算簡捷性的考查，主要體現(xiàn)在運(yùn)算過程中對法則的透徹理解、公式的恰當(dāng)選擇以及數(shù)學(xué)思想方法的合理使用等方面，尤其是合理使用數(shù)學(xué)思想方法，能夠極大地簡化運(yùn)算，提高速度.

3 學(xué)習(xí)策略

3.1 重視算理探究，關(guān)注運(yùn)算過程

算理是運(yùn)算的理論依據(jù)，由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成，它是一種客觀存在的規(guī)律，能夠?yàn)檫\(yùn)算提供正確的思維方式，以保證運(yùn)算的合理性和正確性.學(xué)生只有理解算理，才能掌握運(yùn)算方法，進(jìn)而運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.

例如，在進(jìn)行整式的加減運(yùn)算時，學(xué)生如果要能夠正確運(yùn)算，不僅要對單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、同類項(xiàng)等概念有一定的掌握，更要明確去括號、合并同類項(xiàng)等運(yùn)算的依據(jù).只有這樣，學(xué)生才能理解去括號時符號的變化規(guī)律，體會從數(shù)到式的過渡，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的提高.

例3 計(jì)算：－10－2（m2－1）－323+m2.

分析：在此算式中存在加減、乘除與乘方、去括號不同等級的運(yùn)算，因此確定運(yùn)算順序是首要任務(wù).按照運(yùn)算法則逐步運(yùn)算，一是運(yùn)用乘法分配律去括號，尤其關(guān)注單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都要與單項(xiàng)式相乘；二是去括號后計(jì)算乘方和單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式；三是合并同類項(xiàng).

誤區(qū)：－10－2（m2－1）－323+m2

=1－2m2－1－2+3m2

=m2－2.

3.2 定制專項(xiàng)練習(xí)，夯實(shí)通性通法

通性通法即解決一類數(shù)學(xué)問題的本源性質(zhì)和方法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)知識中通常有較強(qiáng)的輻射性.例如，數(shù)式運(yùn)算的通性是運(yùn)算律，方程的通性是等式的基本性質(zhì)，不等式的通性是不等式的基本性質(zhì)，函數(shù)的通性是函數(shù)關(guān)系式的變形與映射.代數(shù)問題的通法有變形、代換、分類討論、建模等常用方法，同類問題中應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法雖不唯一，但通?？梢詫?shí)現(xiàn)方法的類比遷移，因此制定專項(xiàng)練習(xí)能幫助學(xué)生對解決問題的通性通法有更透徹的理解.

以“解分式方程”為例，數(shù)學(xué)通性是等式的基本性質(zhì)，數(shù)學(xué)通法是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后求解并代值檢驗(yàn)整式方程的解是否是分式方程的解.專項(xiàng)練習(xí)設(shè)計(jì)應(yīng)包含解分式方程時有解和有增根兩種情況，幫助學(xué)生鞏固解分式方程的通法，提高解方程的正確率.

3.3 一題多解多變，優(yōu)化運(yùn)算方法

數(shù)學(xué)運(yùn)算中的大多數(shù)運(yùn)算題是有固定的運(yùn)算法則的，但也有部分問題在解決時存在多種方法.如何實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法優(yōu)化？這需要教師在教學(xué)中結(jié)合教材內(nèi)容，從新知與舊知、本類與他類、縱向與橫向等方面對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，也需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中有意進(jìn)行一題多解、一題多變等發(fā)散思維的練習(xí)，厘清知識之間的聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)，達(dá)到深度學(xué)習(xí).

初中階段數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法在簡化運(yùn)算中都有重要的作用.優(yōu)化運(yùn)算方法，靈活運(yùn)用運(yùn)算律是提升學(xué)生運(yùn)算能力的分水嶺.

以二元一次方程組求參數(shù)范圍為例，其本質(zhì)是消元的思想，可以使用代入消元法，也可以運(yùn)用加減消元法，結(jié)合條件求參數(shù)范圍.不同的解題方法既能揭示數(shù)與形的聯(lián)系，又能溝通幾類方法，拓展學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法的優(yōu)化和數(shù)學(xué)思維的提升.

例4 已知關(guān)于x，y的二元一次方程組x－2y=k，2x－3y=－k的解滿足xlt;y，求k的取值范圍.

解法1：由x－2y=k，2x－3y=－k，利用代入消元法解得x=－5k，y=－3k.因?yàn)閤lt;y，所以－5klt;－3k，解得kgt;0.

解法2：由xlt;y可得x－ylt;0，那么對于方程組

x－2y=k，2x－3y=－k，①②

②-①，可得x－y=－2k.

因?yàn)閤－ylt;0，所以－2klt;0，解得kgt;0.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，師生都應(yīng)對運(yùn)算能力的培養(yǎng)給予足夠的重視.在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中，通過算理探究、專項(xiàng)練習(xí)、一題多解等策略，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分類、聚類、辨析、比較、抽象、概括等深度學(xué)習(xí)的過程，逐步增強(qiáng)運(yùn)算能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.