1 問題提出

勾股定理是初中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特征，但勾股定理的教學(xué)設(shè)計始終是一個難點.文獻(xiàn)[1]對該難點做了深刻的剖析：“如何讓學(xué)生比較自然地想到用面積的方法探索勾股定理，用割補法驗證勾股定理或用演繹的方法證明勾股定理，探究還是接受，是教材和教學(xué)面臨的問題.”閱讀數(shù)遍，筆者受益匪淺.章建躍博士指出，一般觀念是對教學(xué)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)對象的定義方式、性質(zhì)指什么、怎樣研究等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論.一般觀念對學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式觀察、思考、分析事物以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用.針對“勾股定理”一課，筆者在一般觀念的指引下，圍繞教學(xué)難點，做了有益的教學(xué)實踐，下面通過具體教學(xué)設(shè)計談?wù)勛约旱南敕?

2 教學(xué)設(shè)計

活動1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知.

教學(xué)組織：同學(xué)們，關(guān)于三角形，你知道什么？（生：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.）關(guān)于特殊的三角形“直角三角形”，你還知道什么？（生：直角三角形的兩個銳角互余.）這是直角三角形關(guān)于什么元素的性質(zhì)？（生：角.）關(guān)于直角三角形，你還有什么猜想？（生：它的三邊應(yīng)該也有特殊關(guān)系.）探索直角三角形三邊關(guān)系的一般路徑是什么？（生：先畫幾個特殊的直角三角形，度量三邊的長度，根據(jù)度量的結(jié)果大膽猜想，最后驗證并證明，獲得直角三角形三邊的定理.）你是怎么知道這個研究路徑的？（生：類比三角形內(nèi)角和定理的研究路徑.）

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生在一般觀念下，能自己提出研究對象及內(nèi)容，類比三角形內(nèi)角和定理的研究路徑，搭建探究直角三角形勾股定理的基本路徑，踐行先行組織者的作用.

活動2：畫一畫、量一量、想一想.

如圖1，畫Rt△ABC，使得a＝3 cm，b＝4 cm，測量出c的長度.

教學(xué)組織：學(xué)生利用直尺和刻度尺畫出符合要求的Rt△ABC，很快便報出c的長度（取整數(shù)）.教師追問“為什么你們測量出c的長度都是5 cm？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)可用三角形全等的判定定理“SAS”說明大家所畫的三角形全等，因此c的長度也是唯一確定的.教師追問“此時直角三角形三邊的關(guān)系可以確定嗎？”學(xué)生提出至少三個以上特殊例子才可能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自然引入畫Rt△ABC，分別使得“a＝6 cm，b＝8 cm”和“a＝5 cm，b＝12 cm”，進(jìn)而分別測量出c的長度.

教學(xué)說明：學(xué)生通過自己動手操作，逐步感受勾股定理的客觀存在性，但同時，由于畫圖工具的使用過程存在一定的誤差，必然激發(fā)學(xué)生的理性思考，為后面勾股定理的證明埋下伏筆，滲透科學(xué)精神.

畫了三個不同大小的Rt△ABC，并測量了它們的三條邊長，你有什么發(fā)現(xiàn)？

教學(xué)組織：有了前面的三組數(shù)據(jù)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a，b與c滿足a2＋b2＝c2. 教師追問“如果a表示線段的長，那么a2可以表示什么？”引導(dǎo)學(xué)生與圖形的面積建立聯(lián)系，接著追問“那么a2＋b2＝c2可以怎樣理解？” 分別以直角三角形的兩條直角邊和斜邊為邊向外作正方形，得到“以兩直角邊為邊所作的兩個正方形的面積之和，等于以斜邊為邊所作的正方形的面積”.“我們的猜想一定成立嗎？為什么？”不一定，畫圖、度量會有誤差.“如何改進(jìn)我們的操作？”學(xué)生提出利用網(wǎng)格畫圖.

教學(xué)說明：在學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)獲得直角三角形的三邊關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從“式結(jié)構(gòu)”自然聯(lián)想“形結(jié)構(gòu)”的角度認(rèn)識a2＋b2＝c2，為后面證明勾股定理提供了思維方法.同時在網(wǎng)格中，通過計算來驗證勾股定理，讓學(xué)生更進(jìn)一步感受勾股定理.

活動3：在網(wǎng)格中，任意畫出格點直角三角形（三個頂點落在格點上），分別以它的三邊為邊長的三個正方形是否也有類似的面積關(guān)系？

教學(xué)組織：教師觀察并指導(dǎo)學(xué)生繪制一個任意的直角三角形，然后根據(jù)這個三角形繪制相應(yīng)的正方形.教師將學(xué)生的繪圖展示在投影屏上，讓學(xué)生分享他們尋找面積關(guān)系的過程和方法.教師給予肯定的評價，其他學(xué)生則補充了不同計算正方形面積的方法.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了一種面積計算方法，即 “割補法”.這種方法是將不在網(wǎng)格線上的正方形通過其頂點分別劃分成四個小的直角三角形和一個小正方形，

或者通過其頂點分別劃分成橫向和縱向的線段，將其補成一個大的正方形，如圖2所示.原正方形的面積等于這個大正方形的面積減去四個小直角三角形的面積.

師生互動：

追問1：如何計算以斜邊c為邊的正方形的面積？你有哪些方法？

追問2：由方格紙來驗證我們的發(fā)現(xiàn)，這種方法可以說明結(jié)論一定成立嗎？ 為什么？接下來怎么辦？

教學(xué)說明：學(xué)生通過在網(wǎng)格中畫出格點直角三角形及相應(yīng)的正方形，并計算正方形的面積，進(jìn)一步感受勾股定理，明白僅僅依靠有限的實例來推斷出一般的結(jié)論是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更多的實例驗證，為得出一般性結(jié)論提供充分的支持.同時，用“割補法”求以斜邊為邊的正方形的面積，為勾股定理的證明提供了思路，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具“必然性”.

活動4：在“幾何畫板”中驗證勾股定理.

師生互動：筆者通過“幾何畫板”演示，拖動鼠標(biāo)不斷改變直角三角形的形狀，進(jìn)而改變直角三角形三條邊長的數(shù)據(jù)，但它的三條邊長的數(shù)據(jù)總是滿足勾股定理；再次拖動鼠標(biāo)將其變成一般三角形，發(fā)現(xiàn)此時它的三條邊長的數(shù)據(jù)不滿足勾股定理，感受勾股定理存在的條件.

教學(xué)說明：相較于格點直角三角形，在“幾何畫板”中拖動直角三角形的演示，讓學(xué)生對勾股定理的認(rèn)識更具有一般性，并從“數(shù)”的角度驗證了勾股定理；從直角三角形到一般三角形的變化中，感受由“形”到“數(shù)”的過程，進(jìn)一步認(rèn)識勾股定理.

活動5：如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b.求證：AB2＝a2＋b2.

師生互動：教師提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生證明勾股定理.若學(xué)生有困難，教師可引導(dǎo)“要表示AB2，也就是要表示什么？” “前面，我們是如何求不在網(wǎng)格線上的正方形的面積的？”最后展示學(xué)生的證明過程.如圖4，AB2＝S正方形CFGH－4×ab×12＝（a＋b）2－2ab＝a2＋b2; 如圖5， AB2＝S正方形FGHK＋4×ab×12＝（a－b）2＋2ab＝a2＋b2.同時，介紹“勾股定理”的相關(guān)歷史文化.

教學(xué)說明：讓學(xué)生根據(jù)“AB2， a2，b2”這些“式結(jié)構(gòu)”，想到“邊長分別為AB， a，b的正方形的面積” 這個“形結(jié)構(gòu)”，從而自然想到用“割補法”計算邊長為AB的正方形的面積，獲得證明方法.整個探究過程中，學(xué)生能夠體會“從特殊到一般”研究問題的方法，領(lǐng)悟化難為易的“數(shù)形結(jié)合”及“類比”的思想.

活動6：知識應(yīng)用，解決問題.

（1）在直角三角形中，兩直角邊分別是15 cm，20 cm，則第三條邊長；

（2）在直角三角形中，兩邊分別是15 cm，20 cm，則第三條邊長是.

教學(xué)組織：學(xué)生先獨立完成，再展示思考過程.師生共同總結(jié)應(yīng)用勾股定理的關(guān)鍵點，加深對勾股定理的認(rèn)識.

教學(xué)說明：上述問題沒有給出圖形，目的是讓學(xué)生樹立畫圖意識，培養(yǎng)畫圖分析習(xí)慣.同時借助對比（1）（2）兩問中已知條件的差異，感受問題（2）分類討論的必要性，明確分析此問題的方法，達(dá)到應(yīng)用知識的目的.

活動7：整體架構(gòu)，理清思路.

教學(xué)組織：教師提問學(xué)生，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？我們是如何得到勾股定理的？教師通過不斷追問，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，同時板書框架圖（圖6），并進(jìn)行說明.

教學(xué)說明：以框架圖的形式呈現(xiàn)總結(jié)內(nèi)容，更直觀地引導(dǎo)學(xué)生回顧知識的探究過程，積累活動經(jīng)驗，感受知識的另一條“育人線”.

3 教學(xué)思考

3.1 一般觀念下，建構(gòu)有效的研究思路和方法

章建躍博士提出，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)探究思路和方法，“給學(xué)生一個數(shù)學(xué)框架”，可以幫助學(xué)生形成知識的結(jié)構(gòu)化和整體性.教學(xué)中，筆者通過“關(guān)于三角形，你知道什么？關(guān)于特殊的三角形——直角三角形，你還知道什么？這是直角三角形關(guān)于什么元素的性質(zhì)？你還有什么猜想？探索直角三角形三邊關(guān)系的一般路徑是什么？你是怎么知道這個研究路徑的？”等問題鏈幫助學(xué)生主動建構(gòu)探究路徑，學(xué)生才能“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”.積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.

3.2 一般觀念下，提高思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維能力，說到底就是要使學(xué)生在面對問題時總能想到辦法.針對“勾股定理”一課，先從幾個特殊的直角三角形獲得勾股定理的猜想，然后分別從“形”（網(wǎng)格中的直角三角形）和“數(shù)”（幾何畫板中的直角三角形）的角度驗證勾股定理，讓學(xué)生進(jìn)一步感受“證明是排除懷疑的必由之路”.最后，在一般直角三角形中證明了勾股定理.在一般觀念的指引下，學(xué)生在經(jīng)歷“實驗-猜想-驗證-證明”的過程中，不斷建構(gòu)有效的探究活動，提高思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性，學(xué)生的理性精神得以發(fā)展.

3.3 一般觀念下，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具“必然性”

如何讓學(xué)生比較自然地想到用面積的方法探索勾股定理，用割補法驗證勾股定理或用演繹的方法證明勾股定理，這是本節(jié)課的重點，也是難點.筆者通過設(shè)問“如果a表示線段的長，那么a2可以表示什么？那么a2＋b2＝c2可以怎樣理解？”引導(dǎo)學(xué)生從“式結(jié)構(gòu)”聯(lián)想“形結(jié)構(gòu)”，自然想到用面積的方法探索勾股定理；再通過設(shè)問“我們的猜想一定成立嗎？如何改進(jìn)我們的操作？”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷在網(wǎng)格中畫出格點直角三角形及相應(yīng)的正方形，并計算正方形的面積，同時，用“割補法”求以斜邊為邊的正方形的面積，為勾股定理的證明提供了思路；最后在證明勾股定理時，設(shè)問“要表示AB2，也就是要表示什么？前面，我們是如何求不在網(wǎng)格線上的正方形的面積的？”前后一致、自然連貫，使數(shù)學(xué)的發(fā)展和發(fā)現(xiàn)更具“必然性”.

參考文獻(xiàn)：

[1]顧繼玲.探究還是接受——從“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計說起[J].數(shù)學(xué)通報，2020（1）：14-18.