摘" 要：立體幾何的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能.立體幾何在高中數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的重要載體，其中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的熱點(diǎn).本文從立體幾何中的幾類軌跡問題展開，利用現(xiàn)代多媒體教學(xué)技術(shù)，讓學(xué)生體會(huì)幾何直觀和空間想象的過程，利用空間圖形來理解和解決數(shù)學(xué)問題.

關(guān)鍵詞：立體幾何；軌跡問題；教學(xué)

1" 教學(xué)分析

1.1" 內(nèi)容分析

本節(jié)課探究的立體幾何中的軌跡問題是指以立體幾何為載體，研究動(dòng)點(diǎn)軌跡問題.對(duì)立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的探究，有助于滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，也有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2" 學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象為高三學(xué)生，目前已復(fù)習(xí)完立體幾何的位置關(guān)系與空間角，對(duì)解析幾何和立體幾何的知識(shí)已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，但對(duì)高考中知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)的靈活運(yùn)用較為薄弱，對(duì)研究問題的方法有所欠缺.

立體幾何中的軌跡問題對(duì)學(xué)生直觀想象的能力要求較高，需要學(xué)生把空間問題平面化，劃歸為平面中的軌跡問題來處理.

2" 目標(biāo)分析

2.1" 教學(xué)目標(biāo)

基于上述教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情分析，并結(jié)合新課標(biāo)與新高考的要求，確定本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）知識(shí)與技能：①理解并能正確分析立體幾何中的軌跡是如何產(chǎn)生的，相應(yīng)地采取何種方法能在立體幾何中確定軌跡；②掌握軌跡問題的解題策略，進(jìn)一步掌握立體幾何中的位置關(guān)系，從而解決平面與球、圓柱、圓錐的截面問題.

（2）過程與方法：①通過以正方體為載體的問題，利用變式訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握立體幾何中軌跡問題的解題策略，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；②通過小組探究與個(gè)人思考相結(jié)合的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生良好的分析問題和解決問題的能力；③通過把空間問題平面化，掌握化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：①通過把平面與空間中軌跡生成的對(duì)比，滲透聯(lián)系的觀點(diǎn)和辯證唯物主義世界觀；②通過小組合作與學(xué)生課堂展示，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)、合作能力與創(chuàng)新精神.

2.2" 重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握立體幾何中的軌跡問題的解題策略，能明確空間幾何中的軌跡.

教學(xué)難點(diǎn)：在動(dòng)點(diǎn)變化的過程中發(fā)現(xiàn)不變量，能想象出平面截立體幾何得到的截面軌跡.

3" 教學(xué)策略

基于以上分析，可見本節(jié)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的直觀想象能力提出較高的要求，鑒于此，本節(jié)課在教學(xué)形式上采用導(dǎo)學(xué)案教學(xué).

另外，為了降低學(xué)生的思維成本，更好地提高學(xué)生的直觀想象能力，本節(jié)課在教學(xué)技術(shù)上采用GeoGebra軟件進(jìn)行輔助教學(xué).

4" 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：回顧復(fù)習(xí)，鋪墊引入.

請(qǐng)同學(xué)們回答在下列情況下得到的軌跡是什么？

（1）在平面中到定點(diǎn)距離為定長的點(diǎn)的軌跡是什么？在空間中呢？

（2）在平面中到定直線距離為定長的點(diǎn)的軌跡是什么？在空間中呢？

（3）在平面中與一定點(diǎn)的連線與定直線夾角為定值的點(diǎn)的軌跡是什么？在空間中呢？

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析在同一要求下，在平面中與空間中得到的軌跡.

學(xué)生活動(dòng)：準(zhǔn)確說出在不同情況下得到的軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)比分析平面與空間中的軌跡，讓學(xué)生體會(huì)“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成體”，鍛煉學(xué)生的直觀想象能力，滲透空間問題平面化的思想，為接下來的例題講解做鋪墊.

環(huán)節(jié)二：講練結(jié)合，掌握方法.

圖1

例1" 如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界運(yùn)動(dòng)，且始終保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是""" .

教師活動(dòng)：讓學(xué)生畫出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，分析如下問題.

（1）如果學(xué)生采用幾何法，厘清如下要點(diǎn)：

①你是如何畫出點(diǎn)P的軌跡；

②為什么動(dòng)點(diǎn)P在變化的過程中能始終保持AP⊥BD1;

③一般地，如果給出條件“動(dòng)直線l（過定點(diǎn)A）與定直線m垂直”，我們?nèi)绾蔚玫絼?dòng)點(diǎn)的軌跡.

（2）如果學(xué)生采用向量法，厘清如下要點(diǎn)：

①如何設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②得到軌跡方程x=z，這個(gè)方程代表的幾何圖形是什么.

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成題目，通過厘清要點(diǎn)的過程，掌握幾何法與向量法.

【設(shè)計(jì)意圖】通過例1，得到應(yīng)對(duì)條件為動(dòng)直線l（過定點(diǎn)A）與定直線m垂直的點(diǎn)的軌跡的解題策略，講解幾何法與向量法.

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從“變問題”與“變條件”兩個(gè)角度對(duì)例1進(jìn)行變式訓(xùn)練與拓展提升.

變式1" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界運(yùn)動(dòng)，且始終保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為""" .

變式2" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界運(yùn)動(dòng)，且始終保持AP⊥BD1，則AP的最小值為""" .

變式3" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界運(yùn)動(dòng)，且始終保持AP⊥BD1，E、F分別為BB1、BC的中點(diǎn)，則三棱錐E-APF的體積為""" .

變式4" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在正方體的表面運(yùn)動(dòng)，且始終保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是""" .

變式5" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在正方體的表面運(yùn)動(dòng)，且始終保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的長度（面積）為""" .

學(xué)生活動(dòng)：通過小組合作交流，對(duì)例1變式問題進(jìn)行探究.

【設(shè)計(jì)意圖】通過5個(gè)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生明晰立體幾何中的軌跡問題考查的方向是軌跡的長度、面積、體積與最值等.找到軌跡所在的位置是第一步，利用軌跡來解決立體幾何中的問題是第二步.

例2" （2021年新高考Ⅰ卷第12題改編）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1，其中λ∈［0，1］，μ∈［0，1］.

（1）當(dāng)λ=1時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡為什么？

（2）當(dāng)μ=1時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡為什么？

（3）當(dāng)λ=12時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡為什么？

（4）當(dāng)μ=12時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡為什么？

（5）當(dāng)λ+μ=1時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡為什么？

教師活動(dòng)：①讓學(xué)生畫出參量在不同情況下點(diǎn)P的軌跡；

②分別從向量運(yùn)算的角度與向量關(guān)系分析BP=λBC+μBB1，從而找到點(diǎn)P的軌跡.

學(xué)生活動(dòng)：①畫出參量在不同情況下點(diǎn)P的軌跡；②準(zhǔn)確描述BP=λBC+μBB1代表的幾何意義.

【設(shè)計(jì)意圖】通過例2，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從向量運(yùn)算和向量關(guān)系這兩個(gè)角度來分析動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，掌握向量法.

例3" 正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為2，以點(diǎn)D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為""" .

教師活動(dòng)：借助GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生從以下兩種方法找到交線的軌跡.

（1）截面法.厘清如下要點(diǎn)：

①球面與側(cè)面BCC1B1的交線是什么；

②截面的圓心在哪，你是如何找到的.

（2）定義法.厘清如下要點(diǎn)：

①交線的點(diǎn)在變化的過程中是否有不變的量；

②在平面中到定點(diǎn)距離為定長的點(diǎn)的軌跡是什么.

學(xué)生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)用截面法與定義法得到球面與側(cè)面BCC1B1的交線，并能準(zhǔn)確求出交線長.

【設(shè)計(jì)意圖】通過例3，掌握截面法（平面截球得到圓）與定義法（平面中到定點(diǎn)距離為定長的點(diǎn)的軌跡是圓），得到找截面圓的圓心的一般方法.

例4" （2008年高考數(shù)學(xué)浙江卷第10題）如圖2，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（" ）.

圖2

A. 圓

B. 橢圓

C. 一條直線

D. 兩條平行直線

教師活動(dòng)：借助GeoGebra軟件，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，分析如下要點(diǎn).

（1）△ABP的面積為定值等價(jià)于什么？

（2）在空間中到定直線的距離為定長的點(diǎn)的軌跡是什么？

（3）平面斜著截圓柱面得到的交線的軌跡是什么？

學(xué)生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)用截面法分析出點(diǎn)P的軌跡為平面斜著截圓柱面得到的交線，因此是橢圓.

環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)，提煉升華.

（1）借助思維導(dǎo)圖，結(jié)合學(xué)生的小結(jié)完成本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)與方法的歸納，搭建知識(shí)框架.

（2）引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課用到的數(shù)學(xué)思想方法.

學(xué)生活動(dòng)：回顧小結(jié)，完成思維導(dǎo)圖，搭建知識(shí)框架.

【設(shè)計(jì)意圖】通過思維導(dǎo)圖進(jìn)行小結(jié)，有助于學(xué)生搭建知識(shí)框架，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，感受本節(jié)課所滲透的數(shù)學(xué)思想方法與考查的能力素養(yǎng).

5" 教學(xué)反思

5.1" 倡導(dǎo)學(xué)生主體，教師思維引領(lǐng)

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)生是信息加工的主體，是意義的主動(dòng)建構(gòu)者.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)突出學(xué)生知識(shí)的意義建構(gòu).［1］因此，高三復(fù)習(xí)教學(xué)，不應(yīng)是教師展示解題的“才藝表演”，更不應(yīng)只強(qiáng)調(diào)靜態(tài)數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)概念、算法、解題技巧等）的獲得.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是思維的教學(xué)，從這一角度出發(fā)，教學(xué)就應(yīng)當(dāng)給學(xué)生充分的時(shí)間去思考，給學(xué)生更多的機(jī)會(huì)闡述自己對(duì)問題的看法.

5.2" 過程有機(jī)設(shè)置，信息技術(shù)應(yīng)用

本節(jié)課作為高三復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)問題，教師應(yīng)給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，進(jìn)行思考、探究和討論，創(chuàng)造積極的情感體驗(yàn)和思維碰撞，使課堂教學(xué)真正成為師生互動(dòng)、對(duì)話式的主體自主探究與自省研究的學(xué)習(xí)過程.

此外，本節(jié)課采用GeoGebra 軟件與思維導(dǎo)圖進(jìn)行輔助教學(xué)，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)成本，提高學(xué)生的直觀想象能力，讓數(shù)學(xué)課堂更加高效.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.