摘"要:積分因子求解一階非恰當(dāng)微分方程的關(guān)鍵。對(duì)于非恰當(dāng)方程均可以通過(guò)尋找一個(gè)合適的積分因子來(lái)求解。本文通過(guò)公式法、觀察法、換元法來(lái)尋找計(jì)算一階方程的積分因子,并舉例加以說(shuō)明如何計(jì)算積分因子,以便快速地求解一階方程,為后續(xù)教學(xué)提供服務(wù)。
關(guān)鍵詞:一階方程;積分因子;求解
恰當(dāng)微分方程是一階常微分方程的重要組成部分,在常微分方程理論中占有重要的地位。對(duì)于一階恰當(dāng)微分方程,我們可以通過(guò)不定積分法、分組湊微法、線積分法等方法進(jìn)行方程的求解,而方程的解可以用初等函數(shù)的積分之和表示出來(lái),這就使得它們?cè)跀?shù)值計(jì)算和近似求解方面具有很大的優(yōu)勢(shì)。恰當(dāng)微分方程也可以定義一個(gè)恰當(dāng)微分算子,該算子具有良好的性質(zhì),比如冪等性、自逆性和保號(hào)性等。這些性質(zhì)使得恰當(dāng)微分算子在微分幾何、微分方程數(shù)值解和控制理論等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。但實(shí)際上大部分方程并非恰當(dāng)方程,能否將一個(gè)非恰當(dāng)方程轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程至關(guān)重要,積分因子由此而生。積分因子可以將一個(gè)非恰當(dāng)微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)恰當(dāng)微分方程,使得方程可以更容易求解。有時(shí),即使微分方程本身沒有解析解,通過(guò)積分因子的方法也可以得到一個(gè)數(shù)值解。故積分因子的計(jì)算尤為重要,但計(jì)算積分因子并非易事,沒有一個(gè)固定的方法,也需要一定的求解技巧,本文就一階微分方程積分因子的計(jì)算進(jìn)行研究。
1"基本概念
定義1:對(duì)于一階微分方程:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)
若方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端恰好是某一個(gè)二元函數(shù)v=v(x,y)的全微分,即:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=dv(x,y)=vxdx+vydy
則稱M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為恰當(dāng)方程(或全微分方程)[1]。
方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為恰當(dāng)方程的充要條件是My=Nx。
定義2:如果方程(1)不是恰當(dāng)方程,且存在連續(xù)可微的二元函數(shù)μ=μ(x,y)≠0,使得:
μM(x,y)dx+μN(yùn)(x,y)dy=0(2)
式(2)為一個(gè)恰當(dāng)方程,則稱μ(x,y)是方程(1)的積分因子[1]。
2"主要結(jié)果
積分因子是一階非恰當(dāng)方程求解的關(guān)鍵,而積分因子的計(jì)算沒有固定的求解公式,不同方程計(jì)算方法也不盡相同,這里盡可能用統(tǒng)一的方法來(lái)計(jì)算積分因子,列出積分因子計(jì)算的幾種方法以及幾類常見一階方程的積分因子。
2.1"公式法
如果函數(shù)M(x,y)、N(x,y)和μ(x,y)都是連續(xù)可微的,則μ(x,y)成為式(1)的積分因子的充要條件是:
μMy=μN(yùn)x
即:
Nμx-Mμy=(My-Nx)μ(3)
方程(3)的非零解總是存在的,但這是一個(gè)以μ為未知函數(shù)的一階偏微分方程,求解十分困難,故我們只針對(duì)在某種特殊情況下如何來(lái)計(jì)算方程的積分因子,可得出如下定理。
定理1:設(shè)M(x,y)、N(x,y)和φ(x,y)在某區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則方程(1)有形如μ=μ(φ(x,y))的積分因子的充要條件是函數(shù):
My(x,y)-Nx(x,y)N(x,y)φx(x,y)-M(x,y)φy(x,y)(4)
式(4)是φ(x,y)的函數(shù),此外,若記:
My(x,y)-Nx(x,y)N(x,y)φx(x,y)-M(x,y)φy(x,y)=f(φ(x,y)),
假設(shè)G(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則函數(shù)μ=eG(φ(x,y))就是方程(1)的一個(gè)積分因子。
證明“必要性”。如果方程(1)有積分因子μ=μ(φ),則由方程(3)進(jìn)一步可知:
dμdφ(Nφx-Mφy)=(My-Nx)μ
即:
dμμ=My-NxNφx-Mφydφ
由μ=μ(φ)可知,左端是φ的函數(shù),可見右端My-NxNφx-Mφy也是φ的函數(shù)。記My-NxNφx-Mφy=f(φ),于是,有dμμ=f(φ)dφ,從而μ=e∫f(φ)dφ=eG(φ)。
證明“充分性”。如果式(4)僅是φ的函數(shù),即My-NxNφx-Mφy=f(φ),則有Nμx-Mμy=(Nφx-Mφy)f(φ)eG(φ)=(My-Nx)μ,即:
μMy=μN(yùn)x
故,函數(shù)μ=e∫f(φ)dφ=eG(φ)是方程(1)的一個(gè)積分因子。
由定理1,可得出以下幾個(gè)結(jié)論:
推論1:方程(1)有形如μ(x)的積分因子的充要條件是My-NxN=f(x),且此時(shí)的積分因子μ=e∫f(x)dx。
證:由定理1,當(dāng)φ(x,y)=x時(shí),即證。
推論2:方程(1)有形如μ(y)的積分因子的充要條件是My-Nx-M=f(y),且此時(shí)的積分因子μ=e∫f(y)dy。
證:由定理1,當(dāng)φ(x,y)=y時(shí),即證。
推論3:方程(1)有形如μ(x+y)的積分因子的充要條件是My-NxN-M=f(x+y),且此時(shí)的積分因子μ=e∫f(u)duu=x+y。
證:由定理1,當(dāng)φ(x,y)=x+y時(shí),即證。
推論4:方程(1)有形如μ(xy)的積分因子的充要條件是My-NxNy-Mx=f(xy),且此時(shí)的積分因子μ=e∫f(u)duu=xy。
證:由定理1,當(dāng)φ(x,y)=xy時(shí),即證。
推論5:方程(1)有形如μ(xαyβ)的積分因子的充要條件是My-Nxαx-1N-βy-1M·1xαyβ=f(xαyβ),且此時(shí)的積分因子μ=e∫f(u)duu=xαyβ。
證:由定理1,當(dāng)φ(x,y)=xαyβ時(shí),即證。
推論6:若方程(1)有形如μ(yx)的積分因子的充要條件是My-Nx-N·yx2-M·1x=f(yx),且此時(shí)的積分因子μ=e∫f(u)duu=yx。
證:由定理1,當(dāng)φ(x,y)=yx時(shí),即證。
推論7:若方程(1)中的函數(shù)M(x,y),N(x,y)滿足
My(x,y)-Nx(x,y)N(x,y)g(x)-M(x,y)h(y)=f(∫g(x)dx+∫h(y)dy)
其中g(shù)(x)、h(y)分別是x,y的連續(xù)函數(shù),則方程(1)有積分因子μ=e∫f(u)duu=∫g(x)dx+∫h(y)dy。
特別地,當(dāng)My(x,y)-Nx(x,y)N(x,y)g(x)-M(x,y)h(y)=1,則方程(1)有積分因子μ=e∫g(x)dx+∫h(y)dy。
下面針對(duì)上述結(jié)論的應(yīng)用舉例加以說(shuō)明。
例1:計(jì)算方程(x+y-1)dx-(x+y+1)dy=0的積分因子。
解:這里M=x+y-1,N=-x-y-1,因My=1≠Nx=-1,故不是恰當(dāng)方程,由于My-NxN-M=2-2x-2y=-1x+y,故由推論3得,積分因子是μ=e-ln(x+y)=1x+y。
例2:計(jì)算方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的積分因子。
解:這里M=(1+xy)y,N=(1-xy)x,因My=1+2xy≠Nx=1-2xy,故不是恰當(dāng)方程,由于My-NxNy-Mx=-2xy,故由推論4得,積分因子是μ=e-∫2uduu=xy=1(xy)2。
例3:計(jì)算方程(y2+2x2y)dx+(xy+x3)dy=0的積分因子。
解法1:這里M=y2+2x2y,N=xy+x3,不是恰當(dāng)方程,當(dāng)g(x)=3x,h(y)=2y時(shí),
My(x,y)-Nx(x,y)N(x,y)g(x)-M(x,y)h(y)=y-x2(xy+x3)g(x)-(y2+2x2y)h(y)
=1。
故由推論7得,原方程有一個(gè)積分因子μ=e∫g(x)dx+∫h(y)dy=e∫3xdx+∫2ydy=x3y2。
2.2"觀察法
部分方程的積分因子無(wú)法通過(guò)上述公式進(jìn)行求解或通過(guò)公式求解時(shí)較為煩瑣,此時(shí),可通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行變形,或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行分項(xiàng)組合,觀察方程特點(diǎn),得出方程的積分因子。
例4:計(jì)算方程(y2+2x2y)dx+(xy+x3)dy=0的積分因子。
分析:該方程除了用上述公式法求解,觀察發(fā)現(xiàn)把方程重新分項(xiàng)組合后,第1、3項(xiàng)組合有一個(gè)積分因子1y,第2、4項(xiàng)組合有一個(gè)積分因子1x,故可將積分因子的形式假設(shè)出來(lái),進(jìn)而求出。
解法2:把原方程改寫為兩組和:
(y2dx+xydx)+(2x2ydx+x3dy)=0
前一組有積分因子μ1=1y,并且:
1y(y2dx+xydy)=d(xy)
后一組有積分因子μ2=1x,并且:
1x(2x2ydx+x3dy)=d(x2y)
故假設(shè)積分因子是μ=1y(xy)α=1x(x2y)β,其中α、β是待定實(shí)數(shù)。則得出α=3,β=2,故積分因子是μ=x3y2。
對(duì)于微分形式的變量分離方程f(x)φ(y)dx-dy=0,當(dāng)φ(y)≠0時(shí),方程兩邊同乘1φ(y),得f(x)dx-dyφ(y)=0,即為恰當(dāng)方程[2]。
方程f(x)φ(y)dx-dy=0的積分因子是1φ(y),由此可得,對(duì)于微分形式的變量分離方程的積分因子是乘以方程之后能夠使該方程變量分離的函數(shù)。
例5:計(jì)算方程M1(x)M2(y)dx-N1(x)N2(y)dy=0的積分因子。其中M1、M2、N1、N2均為連續(xù)函數(shù)。
解:這里M=M1(x)M2(y),N=-N1(x)N2(y),故不是恰當(dāng)方程,但易看出是變量分離方程,因此,當(dāng)M2(y)N1(x)≠0,方程兩邊同時(shí)乘1M2(y)N1(x),得M1(x)N1(x)dx-N2(y)M2(y)dy=0,即為恰當(dāng)方程。故μ=1M2(y)N1(x)是該方程的一個(gè)積分因子。
2.3"換元法
部分方程的積分因子可通過(guò)上述公式法、觀察法等計(jì)算出。
若通過(guò)上述兩種方法也不能計(jì)算出積分因子,這時(shí)就需要尋求其他方法。而作變量變換,是常微分方程中常見的一種求解技巧[3]。故積分因子也可通過(guò)有限次變量變換計(jì)算得出,即若原方程能通過(guò)有限次變量變換轉(zhuǎn)化為新的方程,而新方程可以通過(guò)上述方法計(jì)算出積分因子,則可通過(guò)變量還原,原方程的積分因子也就迎刃而解。
例6:計(jì)算齊次方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子,其中M(x,y),N(x,y)是同次齊次函數(shù)。
分析:齊次方程的積分因子通過(guò)上述兩種方法不能計(jì)算,但齊次方程可通過(guò)變量變換轉(zhuǎn)化為變量分離方程,而變量分離方程的積分因子很容易計(jì)算。
解:假設(shè)M(x,y),N(x,y)是m次齊次函數(shù)。令y=ux,則原方程化為M(x,ux)dx+N(x,ux)(xdu+udx)=0即:
xmM(1,u)dx+xmN(1,u)(xdu+udx)=0
整理得:
xm(M(1,u)+uN(1,u))dx+xm+1N(1,u)du=0(5)
而式(5)為變量分離方程,且式(5)的積分因子是1xm+1(M(1,u)+uN(1,u))。最后,將變量u=yx還原,得原方程的積分因子是1xM(x,y)+yN(x,y)。
例7:計(jì)算方程x2dydx=f(xy)的積分因子。
分析:該方程經(jīng)過(guò)變量變換可轉(zhuǎn)化為變量分離方程,而變量分量方程的積分因子可通過(guò)推論1計(jì)算得出。
解:方程寫成微分形式f(xy)dx-x2dy=0,令u=xy,則y=ux,dy=1xdu-ux2dx
將上式代入,f(u)dx-x21xdu-ux2dx=0
即:
(u+f(u))dx-xdu=0(6)
上述式(6)為變量分離方程,且式(6)的積分因子是1x(u+f(u))。
最后,將變量u=xy還原,得原方程的積分因子是1x(xy+f(xy))。
結(jié)語(yǔ)
積分因子的計(jì)算是求解一階方程的關(guān)鍵所在,任何一階方程也均可通過(guò)積分因子進(jìn)行求解。但求方程的積分因子有一定的困難,沒有一個(gè)統(tǒng)一的公式,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn)。本文總結(jié)出了三種常用的方法以供他人參考,并給出了具體實(shí)例加以說(shuō)明應(yīng)用。恰當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)姆椒?,能夠幫助我們快速地?jì)算出積分因子,從而求得一階方程的通解,為后續(xù)一階方程的求解提供便捷,但方法有限未能實(shí)現(xiàn)全部方程積分因子的計(jì)算。
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基金項(xiàng)目:重慶人文科技學(xué)院教改項(xiàng)目“面向普通師范類專業(yè)常微分方程課程改革與實(shí)踐”(20CRKXJJG08);重慶人文科技學(xué)院校級(jí)一流課程建設(shè)“《常微分方程》線下一流課程建設(shè)”;重慶人文科技學(xué)院自然科學(xué)項(xiàng)目“基于智能制造的零件缺陷檢測(cè)研究”(CRKZK2021009)
作者簡(jiǎn)介:張盟盟(1990—"),女,漢族,河南長(zhǎng)葛人,碩士研究生,講師,研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué);吳紹鋒(1991—"),男,漢族,山西運(yùn)城人,碩士研究生,講師,研究方向:農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)備。