摘 要：重心坐標(biāo)不同于直角坐標(biāo)，它有三個(gè)分量，不僅每個(gè)分量有自己的幾何意義，而且坐標(biāo)還是齊次坐標(biāo)，這給解決平面幾何問(wèn)題帶來(lái)了很大的便利.在解決平面幾何中的三點(diǎn)共線問(wèn)題、三線共點(diǎn)問(wèn)題、平行線問(wèn)題、面積問(wèn)題時(shí)，重心坐標(biāo)要比直角坐標(biāo)簡(jiǎn)單得多.通過(guò)重心坐標(biāo)，可以將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，而且這種方法可操作性極強(qiáng)，給平面幾何問(wèn)題的解決提供了一種既新穎又高效的解題方法.

關(guān)鍵詞：平面幾何；重心坐標(biāo)；三點(diǎn)共線；三線共點(diǎn)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0007-07

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：

張君（1978.10—），男，四川省宣漢人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;

李鴻昌（1991.10—），男，貴州省凱里人，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：2023年度四川省教育科研項(xiàng)目重點(diǎn)課題——拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)視域下普通高中“強(qiáng)基課程”建設(shè)研究（編號(hào)：SCJG23A051）

對(duì)于平面幾何問(wèn)題的解決，除了純幾何法外，解析法也是一種可行的方法.解析法是建立坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.我們最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，但是，這兩個(gè)常用的坐標(biāo)系對(duì)某些平面幾何問(wèn)題并不是最適用的.一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于特定的問(wèn)題，最好選擇與之適應(yīng)的特殊坐標(biāo).

對(duì)于平面幾何中的面積問(wèn)題、三點(diǎn)共線問(wèn)題、三線共點(diǎn)問(wèn)題、平行問(wèn)題，使用重心坐標(biāo)（也叫面積坐標(biāo)）來(lái)處理，比使用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)要簡(jiǎn)潔很多.

平面幾何試題所涉及的知識(shí)和方法較多，要想順利解決平面幾何問(wèn)題，經(jīng)常需要做一些輔助線，試題靈活，難度較大，尤其是競(jìng)賽中的平面幾何試題.本文的主要目的是為了給平面幾何問(wèn)題的解決提供另外一種行之有效的解析方法——重心坐標(biāo).使用重心坐標(biāo)，只需掌握好重心坐標(biāo)的一些必備性質(zhì)，然后按部就班地計(jì)算即可，可操作性強(qiáng).這樣，通過(guò)重心坐標(biāo)，就把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，問(wèn)題自然變得更簡(jiǎn)單了.

1 重心坐標(biāo)的相關(guān)概念

1.1 重心坐標(biāo)

楊路教授給出了重心坐標(biāo)和重心規(guī)范坐標(biāo)的定義.

平面上任取一個(gè)△A1A2A3叫作坐標(biāo)三角形.對(duì)于該平面上任意一點(diǎn)M，將下述三個(gè)三角形面積的比值△MA2A3∶△MA3A1∶△MA1A2=μ1∶μ2∶μ3叫作點(diǎn)M的面積坐標(biāo)，或叫作重心坐標(biāo)，記為M（μ1∶

μ2∶μ3）或M（μ1，μ2，μ3）.

注 這里△MA2A3，△MA3A1，△MA1A2的面積都是帶符號(hào)的.通常約定，頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕械娜切蚊娣e為正，頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕械娜切蚊娣e為負(fù).這樣，各個(gè)坐標(biāo)分量μ1，μ2，μ3都是可正可負(fù)的.

1.2 重心規(guī)范坐標(biāo)

進(jìn)一步，我們令λ1=μ1μ1+μ2+μ3，λ2=μ2μ1+μ2+μ3，λ3=μ3μ1+μ2+μ3，

并將點(diǎn)M的重心規(guī)范坐標(biāo)規(guī)定為（λ1，λ2，λ3）.

顯然λ1+λ2+λ3=1.重心規(guī)范坐標(biāo)的各分量是唯一確定的，不再帶有比例常數(shù).事實(shí)上，對(duì)于某個(gè)點(diǎn)M，可以具體計(jì)算出這些分量：

λ1=△MA2A3△A1A2A3，λ2=△MA3A1△A1A2A3，λ3=△MA1A2△A1A2A3.

我們也可以通過(guò)向量給出重心規(guī)范坐標(biāo)的定義.

設(shè)A1，A2，A3是不共線的三點(diǎn)，O是空間中的一個(gè)定點(diǎn)，M是△A1A2A3所確定的平面上的任意一點(diǎn)， 則必有

OM=λ1OA1+λ2OA2+λ3OA3，λ1+λ2+λ3=1. ①

事實(shí)上， 由于點(diǎn)M在△A1A2A3確定的平面上， 故A1M，A1A2，A1A3是三個(gè)共面向量， 其中A1A2與A1A3不共線，故存在不全為零的實(shí)數(shù)u，v使A1M=uA1A2+vA1A3，因此

OM-OA1=u（OA2-OA1）+v（OA3-OA1），

OM=（1-u-v）OA1+uOA2+vOA3.

分別令λ1=1-u-v，λ2=u，λ3=v就得到（1）式.反過(guò)來(lái)，不難證明滿足（1）式所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M和向量OM必在由點(diǎn)A1，A2，A3所確定的平面上.

在（1）式中對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M的有序三數(shù)組（λ1，λ2，λ3）叫作點(diǎn)M的（規(guī)范）重心坐標(biāo).而△A1A2A3叫作坐標(biāo)三角形[1].

重心規(guī)范坐標(biāo)也稱為面積坐標(biāo).記法同上，則有序數(shù)組（λ1，λ2，λ3）稱為點(diǎn)M關(guān)于△A1A2A3的面積坐標(biāo)，記為M（λ1，λ2，λ3）[2].

按照定義， 容易得到點(diǎn)A1，A2，A3的重心坐標(biāo)分別為（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），且△A1A2A3的重心G的重心坐標(biāo)為（1，1，1），重心規(guī)范坐標(biāo)為（13，13，13）.

1.3 三角形重心規(guī)范坐標(biāo)的幾何意義如圖1所示，λ1，λ2，λ3的幾何意義是λ1=S△PBCS△ABC，λ2=S△PCAS△ABC，λ3=S△PABS△ABC.

此處的S是有向面積，當(dāng)三角形頂點(diǎn)按逆時(shí)針排列時(shí)，Sgt;0，否則，Slt;0.三角形中的線段視為有向線段，如AD，PD同向時(shí)，ADPD為正，否則為負(fù).

2 重心規(guī)范坐標(biāo)的性質(zhì)

設(shè)坐標(biāo)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，C，O為平面ABC內(nèi)的一定點(diǎn)，則有如下的性質(zhì).

性質(zhì)1 A，B，C三點(diǎn)的重心規(guī)范坐標(biāo)分別為

A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.

性質(zhì)2 設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則M的重心規(guī)范坐標(biāo)為M（0，12，12）.

性質(zhì)3 設(shè)AP=λAB，則點(diǎn)P的重心規(guī)范坐標(biāo)為P（1-λ，λ，0）.

性質(zhì)4 設(shè)M，N的重心規(guī)范坐標(biāo)為M（x1，y1，z1），N（x2，y2，z2），若MP=λPN，則點(diǎn)P的重心規(guī)范坐標(biāo)為P（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ，z1+λz21+λ）.

注 我們把性質(zhì)4的結(jié)論稱為定比分點(diǎn)公式.

性質(zhì)5 設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，P的重心規(guī)范坐標(biāo)為P（λ1，λ2，λ3），連接AP，BP，CP分別交BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線于D，E，F(xiàn)，則D，E，F(xiàn)的重心規(guī)范坐標(biāo)為D（0，λ21-λ1，λ31-λ1），E（λ11-λ2，0，λ31-λ2），D（λ11-λ3，λ21-λ3，0）.

3 重心坐標(biāo)的幾個(gè)重要定理

定理1[3] "（直角坐標(biāo)與重心坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化）設(shè)坐

標(biāo)△A1A2A3在某個(gè)直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)依次為A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）.令點(diǎn)M的重心坐標(biāo)為（μ1，μ2，μ3），它的直角坐標(biāo)為（x，y），則有

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3，y=μ1y1+μ2y2+μ3y3μ1+μ2+μ3.

證明 連接A3M交A1A2于點(diǎn)A4，如圖2所示.

設(shè)A4的直角坐標(biāo)為（x4，y4），由定比分點(diǎn)公式有

x4=A4A2·x1+A1A4·x2A1A2

=S△MA2A3·x1+S△MA3A1·x2S△MA2A3+S△MA3A1

=μ1x1+μ2x2μ1+μ2.

由定比分點(diǎn)公式，又有

x=MA3·x4+A4M·x3A4A3

=（S△MA2A3+S△MA3A1）x4+S△MA1A2·x3S△A1A2A3

=（μ1+μ2）x4+μ3x3μ1+μ2+μ3.

將上述的表達(dá)式代入，即得

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3.

類(lèi)似可得

y=μ1y1+μ2y2+μ3y3μ1+μ2+μ3.

定理2 設(shè)坐標(biāo)三角形三頂點(diǎn)A1，A2，A3到所在平面上某條直線l的距離分別是h1，h2，h3，則直線l上的動(dòng)點(diǎn)M（μ1，μ2，μ3）必滿足下列線性方程h1μ1+h2μ2+h3μ3=0.

也就是說(shuō)，在重心坐標(biāo)中，直線方程是齊次線性方程.

證明 以直線l為某一條軸（比如取其為y軸）建立直角坐標(biāo)系.這時(shí)直線l上任一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=0，但由定理1知

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3，

這就得到μ1x1+μ2x2+μ3x3=0.

又因?yàn)橹本€l是y軸，所以有

x1=h1，x2=h2，x3=h3.

因此h1μ1+h2μ2+h3μ3=0.

注 定理2中，點(diǎn)到直線的距離也都是帶符號(hào)的.我們約定：如果A1，A2位于直線l的同側(cè)，則它們到直線l的距離h1，h2是同號(hào)的.反之，如果A1，A2位于直線l的不同側(cè)，則它們到直線l的距離h1，h2是異號(hào)的.

定理3 （三角形面積公式）設(shè)P1，P2，P3是△A1A2A3所在平面上的三點(diǎn)，其重心規(guī)范坐標(biāo)為Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，則

S△P1P2P3=x1y1z1x2y2z2x3y3z3·S△A1A2A3.

證明 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Ai（αi，βi），i=1，2，3.由三角形面積的行列式表示，知

S△A1A2A3=111α1α2α3β1β2β3.

因?yàn)镻1，P2，P3的重心規(guī)范坐標(biāo)為Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，所以

OPi=xiOA1+yiOA2+ziOA3，i=1，2，3.

從而P1，P2，P3三點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為

P1（x1α1+y1α2+z1α3，x1β1+y1β2+z1β3），

P2（x2α1+y2α2+z2α3，x2β1+y2β2+z2β3），

P3（x3α1+y3α2+z3α3，x3β1+y3β2+z3β3）.

其中xi+yi+zi=1，i=1，2，3.

因此△P1P2P3的面積為S△P1P2P3

=111x1α1+y1α2+z1α3x2α1+y2α2+z2α3x3α1+y3α2+z3α3x1β1+y1β2+z1β3x2β1+y2β2+z2β3x3β1+y3β2+z3β3

=x1+y1+z1x2+y2+z2x3+y3+z3x1α1+y1α2+z1α3x2α1+y2α2+z2α3x3α1+y3α2+z3α3x1β1+y1β2+z1β3x2β1+y2β2+z2β3x3β1+y3β2+z3β3

=111α1α2α3β1β2β3

x1x2x3y1y2y3z1z2z3

=111α1α2α3β1β2β3x1y1z1x2y2z2x3y3z3

=x1y1z1x2y2z2x3y3z3·S△A1A2A3.

定理4 （三點(diǎn)共線的充要條件）設(shè)Pi的重心坐標(biāo)為Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，則P1，P2，P3三點(diǎn)共線的充要條件是x1y1z1x2y2z2x3y3z3=0.

證明 由定理3知，P1，P2，P3三點(diǎn)共線S△P1P2P3=0x1y1z1x2y2z2x3y3z3=0.

定理5 （兩點(diǎn)式直線方程）設(shè)P1，P2的重心坐標(biāo)為P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），則直線P1P2的方程為

xyzx1y1z1x2y2z2=0.

證明 設(shè)直線P1P2上任意一點(diǎn)P的重心坐標(biāo)為P（x，y，z），則P1，P2，P三點(diǎn)共線，由定理4有xyzx1y1z1x2y2z2=0.

這即是直線P1P2的方程.

由定理2，可以直接推出如下定理.

定理6 兩條直線平行的充分條件是它們的方程可以分別寫(xiě)為h1x+h2y+h3z=0，

（h1+τ）x+（h2+τ）y+（h3+τ）z=0.

4 重心坐標(biāo)在平面幾何中的應(yīng)用

上述定理對(duì)于解決平面幾何中的共點(diǎn)線問(wèn)題、共線點(diǎn)問(wèn)題、面積問(wèn)題、平行線問(wèn)題等提供了卓有成效的工具.

題型1 三點(diǎn)共線問(wèn)題.

例1[4] 如圖3所示，在四邊形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面積比為3∶4∶1.點(diǎn)M，N分別在AC，CD上，滿足AM∶AC=CN∶CD，且B，M，N三點(diǎn)共線，求證：M與N分別是AC，CD中點(diǎn).

證明 取△ABC為坐標(biāo)三角形，易知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.

設(shè)S△ABC=1，由題意知S△ABD=3，S△BCD=4.

而S△DAC=3+4-1=6，所以S△DCA=-6.

所以S△BCDS△ABC=4，S△DCAS△ABC=-6，S△ABDS△ABC=3.

故D（4，-6，3）.

依題意AMAC=CNCD，得AMMC=CNND.

設(shè)λ=AMMC=CNND，可知

M（11+λ，0，λ1+λ），

N（4λ1+λ，-6λ1+λ，1+3λ1+λ）.

由B，M，N三點(diǎn)共線，根據(jù)定理4得

01011+λ0λ1+λ4λ1+λ-6λ1+λ1+3λ1+λ=0.

整理，得1+3λ-4λ2=0，

解得λ=1（λ=-14舍去）.

故M與N分別是AC，CD的中點(diǎn).

例2 如圖4所示，設(shè)A1，B1，C1是直線l1上的任意三個(gè)點(diǎn)，而A2，B2，C2是另一直線l2上的任意三個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線B1C2與B2C1的交點(diǎn)為L(zhǎng)，直線A1C2與A2C1的交點(diǎn)為M，直線A1B2與A2B1的交點(diǎn)為N， 則L，M，N三點(diǎn)在一條直線上.圖4 例2圖

注 這就是巴卜斯（Pappus）定理，這條直線稱為Pappus線.

證明 取△A1C1B2為坐標(biāo)三角形，則三個(gè)頂點(diǎn)A1，C1，B2的重心坐標(biāo)分別為

A1=（1，0，0），C1=（0，1，0），B2=（0，0，1）.

由于點(diǎn)B1在直線A1C1上， 而直線A1C1的方程為z=0，因此點(diǎn)B1的坐標(biāo)可設(shè)為（u，v，0）（uv≠0）.

設(shè)直線l2的方程為c1x+c2y+c3z=0，由于該直線通過(guò)點(diǎn)B2（0，0，1）， 因此有c3=0.

故直線l2的方程為c1x+c2y=0.

設(shè)A2與C2兩點(diǎn)的重心坐標(biāo)分別為

A2=（c2，（-c1），s），C2=（c2，（-c1），t）.

因?yàn)锳2，C2不在直線l1上，

故st≠0，s≠t（c1，c2不同時(shí)為零）.

由于B2C1的方程為x1=0，直線B1C2的方程為

x1x2x3uv0c2-c1t=0.

即vtx1-utx2-（uc1+vc2）x3=0.

由此得點(diǎn)L（0，（uc1+vc2），（-ut））.

同理可得到，M（tc2，（-sc1），st），N（（uc1+vc2），0，vs）.

計(jì)算由三點(diǎn)L，M，N的重心坐標(biāo)組成的三階行列式

0uc1+vc2-uttc2-sc2stuc1+vc20vs=0.

由三點(diǎn)共線的充要條件， 證得L，M，N三點(diǎn)共線， 從而完成了Pappus定理的證明.

題型2 面積問(wèn)題.

例3[5] 在△ABC的邊AB，BC，CA上，分別任取與頂點(diǎn)不重合的三點(diǎn)M，N，K.求證：△KAM，△BNM和△CKN中，至少有一個(gè)三角形面積不大于△ABC面積的14.

證明 取△ABC坐標(biāo)三角形，建立重心坐標(biāo)系，易知A，B，C的面積坐標(biāo)為 A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.如圖5所示，可設(shè)M，N，K的面積坐標(biāo)為M（m，1-m，0），N（0，n，1-n），K（1-k，0，k）.其中， 0lt;m，n，klt;1.

根據(jù)定理3（面積公式），并取S△ABC=1，得

S△AMK=100m1-m01-k0k·S△ABC=k（1-m），

S△BNM=010m1-m00n1-n·S△ABC=m（1-n），

S△CKN=0011-k0k0n1-n·S△ABC=n（1-k）.

根據(jù)柯西不等式，得

S△AMK·S△BNM·S△CKN=mnk（1-m）（1-n）（1-k）

≤［m+n+k+（1-m）+（1-n）+（1-k）6］6

=（14）3.

如果△AMK，△BNM，△CKN的面積都大于14，則上式不可能成立，故這三個(gè)三角形中，至少有一個(gè)三角形面積不大于△ABC面積的14.

例4 設(shè)P是△ABC的底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，PF∥AC，分別交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)B（如圖6所示）.求證：△BPF，△PCE及四邊形PEAF的面積中，必有一個(gè)

不小于△ABC面積的49.

證明 設(shè)P關(guān)于△ABC的重心坐標(biāo)為P（0，p，1-p）.由于FP∥AC，且點(diǎn)F在AB上，故F（1-p，p，0）.

同理，E（p，0，1-p）.

根據(jù)定理3（面積公式）， 可得

S△BPF=0100p1-p1-pp0·S△ABC

=（1-p）2S△ABC.

同樣地，

S△CEP=001p01-p0p1-P·S△ABC=p2S△ABC.

于是PEAF的面積應(yīng)為

S△ABC-（1-p）2S△ABC-p2S△ABC=S△ABC［1-（1-p）2-p2］=2p（1-p）S△ABC.

下面分三種情況討論.

①當(dāng)23≤p≤1時(shí)，S△CEP≥49S△ABC.

②當(dāng)0≤p≤13時(shí)，1-p≥1-13=23，

故S△BPF=（1-p）2S△ABC≥49S△ABC.

③當(dāng)13≤p≤23時(shí)，p（1-p）=-p2+p是一條開(kāi)口向下的拋物線，最大值在p=12處達(dá)到， 因此p（1-p）在［13，23］中的最小值在兩端點(diǎn)處達(dá)到，即13×23=29，這時(shí)四邊形AFPE的面積等于2p（1-p）S△ABC≥2×29S△ABC=49S△ABC.

由此可見(jiàn)， 四邊形PEAF的面積不小于49S△ABC.

綜上所述， 這三部分面積中，至少有一塊大于或等于△ABC面積的49.

題型3 平行直線問(wèn)題.

例5 證明：如圖7所示，自△A1A2A3的一個(gè)頂點(diǎn)A1向其他兩角的平分線作垂線，則兩垂足E，F(xiàn)的連線平行于該頂點(diǎn)A1的對(duì)邊.

證明 取△A1A2A3為坐標(biāo)三角形， 設(shè)E=（α1，α2，α3），F(xiàn)=（β1，β2，β3）.

首先不難算出

α1∶α3=a1∶a3，

α2∶α3=a2cos（A3+A22）∶a3cosA22.

于是

E=（a1cosA22∶a2cos（A3+A22）∶a3cosA22）.

同理

F=（a1cosA32∶a2cosA32∶a3cos（A2+A32））.

由定理5可得直線EF的方程為

xyza1cosA22a2cos（A3+A22）a3cosA22a1cosA32a2cosA32a3cos（A2+A32）=0.

利用積化和差等三角公式，化簡(jiǎn)得

（a2a3sinA1）x-（a3a1sinA2）y-（a1a2sinA3）z=0.

再由正弦定理， 有x+y+z=0.

也可寫(xiě)為2x-（x+y+z）=0.

由定理6即知此直線應(yīng)與直線x=0平行.

5 結(jié)束語(yǔ)

利用純幾何法解決平面幾何問(wèn)題，很多時(shí)候解題過(guò)程簡(jiǎn)短，但經(jīng)常需要添加輔助線，以及利用一些不易想到的技巧，技巧性強(qiáng)，不易掌握.然而，利用直角坐標(biāo)來(lái)處理，則運(yùn)算量特別大，過(guò)程繁雜.如果是利用重心坐標(biāo)來(lái)處理平面幾何問(wèn)題，尤其是平面幾何中的共點(diǎn)線問(wèn)題、共線點(diǎn)問(wèn)題、平行線問(wèn)題、面積問(wèn)題等，問(wèn)題會(huì)變得更簡(jiǎn)單，同時(shí)解題思路清晰、操作性極強(qiáng)，而且解題過(guò)程簡(jiǎn)潔.因此可以說(shuō)，重心坐標(biāo)是解決平面幾何問(wèn)題的新視角、新思路和新方法.

重心坐標(biāo)的引入，給平面幾何問(wèn)題的解決帶來(lái)了新的突破.也許重心坐標(biāo)解幾何題沒(méi)有“點(diǎn)幾何”來(lái)得那么直接而迅速，但也不失為一種方法，值得嘗試，值得進(jìn)一步探究.從上文例題的解答過(guò)程可知，利用重心坐標(biāo)來(lái)解決平面幾何問(wèn)題，要比利用直角坐標(biāo)來(lái)解決簡(jiǎn)單得多.

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