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        相似三角形在平面幾何中有關(guān)線段間關(guān)系的運用

        2017-04-01 22:13:13彭志忠
        都市家教·下半月 2017年2期
        關(guān)鍵詞:相似三角形平面幾何線段

        彭志忠

        【摘 要】相似三角形是平面幾何中的基本圖形之一,也是初中教學(xué)中的重點之一。它在解決平面幾何的許多問題,如某些定理的證明,兩直線的位置關(guān)系,特別是有關(guān)線段的比例,乘積及和差倍分等都起著“過河搭橋”的作用。

        【關(guān)鍵詞】相似三角形;平面幾何;線段;關(guān)系的運用

        相似三角形是平面幾何中的教學(xué)中,能否牢固地掌握相似三角形的判定定理及有關(guān)性質(zhì)并靈活地應(yīng)用它是解決平面幾何問題的關(guān)鍵之一,也是初中學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的途徑之一。現(xiàn)將談?wù)勏嗨迫切卧谄矫鎺缀沃杏嘘P(guān)線段間關(guān)系的運用。

        1證明兩線段相等

        證明線段相等的方法較多,常用的方法是根據(jù)全等三角形、特殊四邊形的性質(zhì)等等,但是利用相似三角形→比例線段→線段相等,也是一條便捷的解題思路,它有時會解決利用全等三角形、特殊四邊形的性質(zhì)無法解決或難解決的問題,

        例1:如圖:△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分線交CD、CB于P、E,PE∥AB交BC于F,求證:CE=BF。

        證明:∵AE是∠BAC的平分線,

        ∴∠CAE=∠BAE,

        又∵CD⊥AB,∠ACB=90°,

        ∴∠PDA=∠ACE=90°

        則△PDA∽△ECA。

        得①

        又由PF∥AB得②

        由①、②得③

        同是,由角平分線性質(zhì)得④

        又∵∠CDA=∠BCA=90,

        ∠CAD=∠BAC,

        ∴△ADC∽△ACB.

        ∴⑤

        由③、④、⑤得,故CE=BF。

        2證明線段成比例

        比例式的線段是平面幾何常見類型題,它有一種變形(ad=bc)和一種特例(a2=bc),利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)證明四條線段成比例是常用的方法。下面舉例說明用這種方法證題的思路。

        (1)當(dāng)所證的比例式中的線段分別是兩個三角形的兩邊時,首先考慮證這兩個三角形相似。

        例2:已知△ABC內(nèi)接于圓O,∠A的平分線交BC于D,交⊙O于E。

        求證:

        分析:AD·AE=AC·AB

        可證:△ADC∽△AEB.

        證明:連結(jié)BE,∠l=∠2,∠C=∠E,

        ∴△ADC∽△AEB,∴

        (2)當(dāng)所證比例式中的四條線段分別是兩個三角形的兩邊,但這兩個三角形不相似時,應(yīng)考慮添輔助線造成相似三角形,先使其中三條線段在兩個相似三角形中,然后再把另一條線段等量代換,從而證明求證的比例式成立。

        例3:AM為△ABC的∠A的平分線,過A作一圓與BC相切于M點,并且與AB、AC分別交于E、F,求證:

        分析:如圖,雖然BE、BM和CF、CM是△BEM和△CFM的邊,但這兩個三角形在一般情況下不相似。(只有O點在AM上,△BEM≌△CFM),所以,考慮連結(jié)EM、FM,則△BEM∽△BMA,△CFM∽△CMA,則有,又由角平分線性質(zhì),得

        證明:(略)

        (3)當(dāng)所證比例式中的四條線段不是兩個三角形的兩邊時,應(yīng)通過作輔助線(一般是作平行線),構(gòu)成相似三角形。

        例4:如圖,BD=CE,求證:AC·EF=AB·DF。

        分析:因為所證等式中的四條線段不同在兩個三角形中,所以考慮作DG∥AC,這樣可使四條線段都分別在兩對相似三角形中。

        證明:過D作DG∥AC,交BC于G,

        ∵DG∥AC,

        ∴△FEC∽△FDG,得①

        ∴△BDG∽△BAC,得②

        又∵CE=BD,③

        由①、②、③得,故AC·EF=AB·DF。

        (4)當(dāng)四條線段在同一直線上時,可通過等量代換,使其中一條轉(zhuǎn)移,以造成兩個三角形,再證這兩個三角形相似。

        例5:AD為△ABC(AB>AC)的角平分線,AD的垂直平分線和BC的延長線交于點E,求證DE2=BE·CE。

        分析:這個題目要證明DE2=BE·CE,由于B、C、D、E四點在一條直線上,所以不能直接通過證明兩個三角形相似而證出。但EF是AD的垂直平分線為本題的已知條件,若連結(jié)AE,則DE=AE,即AE與DE為相等的線段。將AE代換DE2=BE·CE中的DE,有AE2=BE·CE。這樣只要證出△ACE與△BAE相似,就可證得AE:BE=CE:AE,即得證:AE2=BE·CE。

        證明:如圖:連結(jié)AE,

        ∵EF是AD的垂直平分線,

        ∴EA=ED①

        ∵∠2+∠3=∠4,

        又∵∠4=∠l+∠B(三角形外角定理),

        ∠l=∠2,

        ∴∠3=∠B.

        在△ACE和△ABE中,

        ∵∠3=∠B,∠AEC=∠BEA,

        則△ACE∽△BAE。

        ∵②

        由①②得DE2=BE·CE.

        在這個例題中,與DE相等的線段是AE,用AE代換DE后,便能順利地找出證法。從上例與數(shù)學(xué)實踐中得出:應(yīng)用等線代換這一方法證明比例式時,以找a2=bc中的a的等線為最好。

        3證明線段的倍分關(guān)系

        利用相似三角形證明線段的倍分關(guān)系,通常將兩線段置于兩個相似三角形中,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,然后用等量代換證明。

        例6:已知AB和CD是⊙O互相垂直的兩條直徑,G為的中點,連結(jié)AG交CD于E,交BC于F,求證:OE=BF.

        分析:由結(jié)論OE=BF,即=,又O是圓心,是直徑AB的中點,由此可考慮利用中位線的定理把結(jié)論與條件聯(lián)系起來。由于AB是直徑,則∠AGB=90°,因此,過O作OM⊥AG交AG于M,OM=BG,而OE與BF分別是Rt△OEM和Rt△BFG的對應(yīng)邊,現(xiàn)只需證明這兩個直角三角形相似。

        證明:連結(jié)BG,過O點作OM⊥AG于M,

        ∵AB為直徑,∴∠BGA=90°,

        ∴OM∥BG、AO=OB,

        ∴=

        又∵G為的中點,且AB⊥CD,

        ∴∠CBG=∠A=∠EOM,

        且∠BGF=∠EMO=90°。

        ∴Rt△OEM∽Rt△BFG。

        ∴=,得OE=BF.

        誠然,相似三角形在線段間應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些,它還可用于解決一些線段的平方或積的和差、幾何不等式、兩角相等以及面積比等問題,這里不一一贅述。

        總之,以上只是簡單地介紹相似三角形在平面幾何中有關(guān)線段間關(guān)系的運用,旨在使學(xué)生熟悉相似三角形運用的基礎(chǔ)上,逐步掌握利用它來解題的基本思路和方法??梢约由顚W(xué)生對直線形、圓形中有關(guān)線段間關(guān)系問題的相關(guān)性質(zhì)認(rèn)識和理解,提高學(xué)生的解題能力。

        參考文獻(xiàn):

        [1]馬榮秀.比例線段的證明技巧《河北教育》

        [2]陳如法,管學(xué)定.改進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)三例[J].《江蘇教育》

        [3]黃桐春.證明線段比例式方法淺析《中學(xué)教與學(xué)》

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