隨著新課標(biāo)的落地，教師的教和學(xué)生的學(xué)都有所轉(zhuǎn)變。一線教師需要緊跟時(shí)代步伐，積極響應(yīng)課改方針政策。如何巧設(shè)問題導(dǎo)學(xué)，激活學(xué)生思維，已經(jīng)成為當(dāng)前教育者關(guān)注的重要話題。只有從全景視角出發(fā)，設(shè)置核心問題導(dǎo)學(xué)，教學(xué)時(shí)化繁為簡、以“少”勝“多”，才能讓知識序列和能力培養(yǎng)循序漸進(jìn)，形成相互聯(lián)系、螺旋上升的暢通機(jī)制。這樣不僅有助于教師更全面、深刻地把握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新意識，真正促進(jìn)學(xué)生思維向縱、深、廣發(fā)展。

一、思辨性問題導(dǎo)學(xué)，在激活思維中“辯理”

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是數(shù)學(xué)的內(nèi)核。發(fā)展思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的本真追求。思辨是指通過深入思考和探究來理解和解決問題，以及推動知識和理解的進(jìn)一步發(fā)展和完善的過程。思辨包括對事物、概念和觀點(diǎn)的探究、推理和評估，并可以涉及不同學(xué)科領(lǐng)域的知識、經(jīng)驗(yàn)和觀點(diǎn)的綜合。思辨需要運(yùn)用批判性思維、創(chuàng)造性思維和邏輯思維等多種思維方式，對問題進(jìn)行深入的分析和探討。思辨可以幫助學(xué)生拓寬視野、發(fā)現(xiàn)新的解決方案、提高自我認(rèn)識和培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。教師通過實(shí)際問題導(dǎo)學(xué)，從學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，深挖蘊(yùn)含的思維元素，設(shè)置指向?qū)W生思維發(fā)展的核心問題，引導(dǎo)學(xué)生深刻經(jīng)歷思維提升的過程，引發(fā)學(xué)生“辯論”，激發(fā)課堂思辨，在“不憤不啟，不悱不發(fā)”的思辨狀態(tài)中創(chuàng)造靈動課堂，撬動動態(tài)思維杠桿，解開靜態(tài)知識的底層密碼，發(fā)展核心素養(yǎng)。

（一）激活思維，理性思考

“鴿巢問題”是數(shù)學(xué)廣角中的內(nèi)容，屬于綜合與實(shí)踐的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。在此之前，學(xué)生已經(jīng)多次體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷?，如“工程問題”“行程問題”等的學(xué)習(xí)。此外，教材還以數(shù)學(xué)廣角為單元來呈現(xiàn)模型思想，如四年級的“雞兔同籠”問題和五年級的“植樹”“找次品”問題。

鴿巢問題是較為抽象和艱澀的數(shù)學(xué)問題，是組合數(shù)學(xué)的重要原理，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。鴿巢問題的“存在性”，是“最不利”情況下存在的?！白畈焕瓌t”是：為了保證完成某一個(gè)任務(wù)，從“最糟糕”的情況入手考慮問題，確保萬無一失的思想方法，在現(xiàn)實(shí)社會中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。對全體學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性。具體體現(xiàn)在：首先，難在模型的建立。“總有”“最多”“至少”等術(shù)語的理解，會對思考過程和結(jié)論的表述產(chǎn)生影響。其次，難在模型的應(yīng)用。如何判斷具體問題中的集合（鴿籠）與元素（鴿子），特別是對一些存在變式的情況，學(xué)生時(shí)常感到無從下手。學(xué)生在分享時(shí)，雖抓住了關(guān)鍵詞“最多”和“至少”，但卻不容易解釋清楚。不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生理解的難點(diǎn)在于對“最多”和“至少”兩個(gè)詞的理解。明明要求要“最多”，怎么又出來個(gè)“至少”呢？教師應(yīng)立足學(xué)生的思維特性，精心設(shè)計(jì)富有核心性、衍生性的核心問題，推動學(xué)生深入思考、深度探究、深刻感悟。學(xué)生在思辨中積累經(jīng)驗(yàn)，在充分辯理、主動構(gòu)建中舉一反三，使思維在靈動課堂中拔節(jié)成長。

（二）搭腳手架，以辯促辨

核心問題：教師準(zhǔn)備給節(jié)糧惜食之星頒發(fā)獎(jiǎng)品，有粉、黃、藍(lán)3雙筷子。①直接拿走2根同顏色的筷子。②3雙筷子放進(jìn)抽獎(jiǎng)箱，然后一次性抽出4根，2根若是同顏色，則取走。你會怎樣選擇呢？請說說你的理由。在這個(gè)問題導(dǎo)學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷的思維的真正碰撞有兩次：第一次，選擇①或②的思辨。一部分學(xué)生認(rèn)為，選擇①能保證得到1雙筷子，選擇②則可能得到2雙筷子，也可能1雙都得不到，求穩(wěn)心理的他們選擇①。這部分學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)后，激起了更深刻的思維浪花。學(xué)生在頭腦風(fēng)暴中撥云見日：手氣再差也會得到至少1雙筷子。明白了①選項(xiàng)只能得到1雙筷子，而②選項(xiàng)可能得到2雙筷子，學(xué)生在思辨中無形體會了“總有”和“至少”的含義，將抽象、拗口的詞語具象化，初步感知了鴿巢問題的確定與不確定因素。第二次，枚舉法與假設(shè)法的思辨。在小組充分交流中，利用枚舉法的學(xué)生列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，利用假設(shè)法的學(xué)生把思維聚焦在“抽出的筷子根數(shù)至少要比顏色數(shù)多1”，因此，4根筷子出現(xiàn)的“最不利”情況就是前3根顏色都不同，第4根一定會重復(fù)顏色。

通過實(shí)際問題導(dǎo)學(xué)，激活思維辯理，學(xué)生在獨(dú)立思考、交流討論中以辯促辨，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在邏輯論證中凸顯鴿巢問題的本質(zhì)意義，突出邏輯推理數(shù)學(xué)方法的思維價(jià)值和理性意義，提高邏輯思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

二、活動性問題導(dǎo)學(xué)，在覓尋本質(zhì)中“明理”

高斯說過：數(shù)學(xué)中一些美麗定理具有這樣的特性，它們極易從事實(shí)中歸納出來，但證明卻藏得極深。數(shù)學(xué)教學(xué)不在于追求“熱鬧”的課堂，而在于覓尋隱藏在知識深處的數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解“四何”問題，即是何——是什么（知道）、為何——為什么（理解）、如何——怎么辦（應(yīng)用）、若何——又怎樣（遷移）。問題導(dǎo)學(xué)以核心問題為導(dǎo)向，緊扣本質(zhì)明理，讓思維從淺層到中層，再到深層，使數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)走向縱深。

小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域最基本的測量概念有長度、面積和體積，體現(xiàn)了由一維到二維，再到三維的立體空間。從縱向上看，長度單位、面積單位和體積單位有共同之處;從概念本質(zhì)上看，三者存在內(nèi)在聯(lián)系。編者根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，將這些空間概念分別編排在不同年級進(jìn)行教學(xué)。教師應(yīng)具有整體視野，從全景的角度建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系，從知識本質(zhì)進(jìn)行整體構(gòu)建，解決“斷層”，減緩“坡度”，溝通不同階段的教學(xué)認(rèn)知，讓知識序列和能力培養(yǎng)循序漸進(jìn)，形成相互聯(lián)系、螺旋上升的暢通機(jī)制，讓學(xué)生深刻把握數(shù)學(xué)內(nèi)容。

（一）拼擺沖突，引發(fā)深思

“面積和面積單位”在核心問題“哪個(gè)圖形面積大”這一活動性問題的驅(qū)動下，學(xué)生自主選擇重疊法、拼接法、數(shù)格子等，在活動中感受數(shù)學(xué)“理”的嚴(yán)謹(jǐn)性，在拼一拼、擺一擺過程中，通過同一圖形用不同大小的正方形拼擺所用的數(shù)量不同，激起認(rèn)知沖突，進(jìn)而引出需要統(tǒng)一用一樣大小的單位來擺，也就是統(tǒng)一面積單位，包括“形狀”和“大小”的統(tǒng)一。度量的前提是構(gòu)建度量的標(biāo)準(zhǔn)，并對標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行賦值。學(xué)生在一、二年級認(rèn)識時(shí)間、錢幣、質(zhì)量、長度等計(jì)量單位，已經(jīng)積累了一定的思維經(jīng)驗(yàn)。而面積單位的建構(gòu)過程更為直觀，也更利于學(xué)生感悟度量思想。人教版教材用了三角形、圓形、正方形對比引出正方形更適合做面積單位，此處給出的理由是圓不能密鋪而三角形不能鋪滿。這個(gè)理由并沒有說服我，因?yàn)殚L方形完全可以將正三角形一分為二繼續(xù)鋪滿，而且用三角形作單位去鋪長方形本來就不公平，今天換做兩個(gè)三角形比較大小，那就變成了正方形不能鋪滿了??！所以，我對此處課堂教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了改變。我們可以思考在除去圓之外，為什么面積單位非要選擇正方形不可？我們需要找到一個(gè)充分的理由。以面積是1 cm2的長方形為例，其可以是長2 cm和寬0.5 cm，或長4 cm和寬0.25 cm等;面積是1 cm2的三角形，可以是底1 cm高2 cm，或底4 cm高0.5 cm;面積是1 cm2的平行四邊形同樣有很多。只有1 cm2的正方形是唯一的。我們需要選擇一個(gè)不會變化的事物作為測量單位?！捌磾[”的本質(zhì)是用小的面積單位不斷積累來測量圖形的面積，以面積的深度理解為核心，幫助學(xué)生構(gòu)建核心概念，建立面積和面積單位之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)“整體化教學(xué)”。這有利于學(xué)生形成量感，達(dá)成核心素養(yǎng)目標(biāo)。

（二）測量活動，建立表象

通過選用小圓片、小三角形和小正方形來測量，發(fā)現(xiàn)小三角形和小圓片在拼擺的時(shí)候都不能密鋪，此給了學(xué)生充分表達(dá)的機(jī)會，敘述小正方形做面積單位最合適的道理。這樣既有效促進(jìn)思維生長，又給其他學(xué)生以啟迪，讓學(xué)生在明理中突破難點(diǎn)，在似懂非懂中順利過渡，“面積單位”呼之欲出，結(jié)合估測和實(shí)際測量，幫助學(xué)生建立常用面積單位的表象。在數(shù)學(xué)中充分利用學(xué)生關(guān)于長度度量等方面的經(jīng)驗(yàn)，把對面積的研究從定性引向定量。另外，對抽象的面積單位概念的體會和認(rèn)識，應(yīng)當(dāng)通過實(shí)踐活動幫助學(xué)生建立表象，并體驗(yàn)其實(shí)際意義。此處開展實(shí)踐活動：哪些物體表面面積接近1 cm2（1 dm2/1 m2）？黑板的面積有多大？數(shù)學(xué)書封面的面積用哪個(gè)面積單位比較合適？估一估大概是多少dm2，再實(shí)際測量。估測活動與實(shí)際測量活動相結(jié)合，加深了學(xué)生對度量單位的認(rèn)識與把握，使學(xué)生順利建立面積單位的表象。學(xué)生容易通過對比、歸納，根據(jù)已給的信息，嘗試給1 dm2和1 cm2下定義，并嘗試用它們來估測身邊物體面積的大小，還可能給出1 mm2和1 km2等面積單位。這樣的方式非常考驗(yàn)學(xué)生的觀察、分析、歸納能力，可以讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。

新課程理念指出，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。教師應(yīng)設(shè)計(jì)科學(xué)合理的教學(xué)環(huán)節(jié)，力求將幾何概念課上得生動、有趣而富有數(shù)學(xué)之“理”，讓學(xué)生在活動中思考，觸動學(xué)生的思維內(nèi)核，使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)認(rèn)知上的超越，深化對本質(zhì)的理解，實(shí)現(xiàn)思維的質(zhì)變。

三、聯(lián)系性問題導(dǎo)學(xué)，在構(gòu)建體系中“通理”

美國認(rèn)知心理學(xué)家布魯納指出，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何關(guān)聯(lián)的。因此，教師在解讀教材時(shí)，要打破學(xué)段壁壘，將不同學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)融合，實(shí)現(xiàn)不同學(xué)段之間的知識銜接和能力培養(yǎng)，為學(xué)生提供更為連貫、系統(tǒng)、高效的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。運(yùn)用“三鏡視角”觀察，即用“顯微鏡”觀察課時(shí)內(nèi)容關(guān)鍵元素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，用“放大鏡”觀察課時(shí)內(nèi)容與相關(guān)課時(shí)、單元和領(lǐng)域內(nèi)容的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，用“望遠(yuǎn)鏡”觀察課時(shí)內(nèi)容與學(xué)科外相關(guān)學(xué)科乃至廣闊的生活世界的關(guān)聯(lián)。正如史寧中教授所說，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)要實(shí)現(xiàn)從知識點(diǎn)到知識團(tuán)的跨越。

（一）前后聯(lián)系，歸納聯(lián)理

在學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)，學(xué)生都知道“圓的面積=πr2”，但這個(gè)公式的道理是什么，未必理解透徹。在梳理中，我們以核心問題“圓的面積為什么等于πr2”導(dǎo)學(xué)，撬開面積公式原理的大門，深挖隱藏的秘密。本課緊緊圍繞轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已學(xué)知識，把圓等分成4份、8份、16份、32份、64份……分割得越小，越接近長方形。觀察發(fā)現(xiàn)，圓的面積即長方形的面積，長是πr，寬是r，圓的面積=πr2。圓的面積公式的推導(dǎo)方法有多種。通過對不同版本教材的對比，不難發(fā)現(xiàn)，大部分教材都是將分割后的圓拼成近似的長方形，然后通過比較長、寬、圓的半徑之間的關(guān)系，推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式的。在數(shù)形結(jié)合中研究、歸納，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的面積與拼成的近似長方形的面積之間的聯(lián)系，從而完成對新知的構(gòu)建過程，建立數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在聯(lián)理中培養(yǎng)推理能力，體驗(yàn)了面積守恒、極限等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了解決問題的能力。在構(gòu)建知識過程中，學(xué)生是發(fā)現(xiàn)者、研究者，能發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)。

（二）內(nèi)在聯(lián)系，深刻通理

“平面圖形求面積公式的道理一樣嗎？”學(xué)生以學(xué)過的直邊圖形為例，闡明其中蘊(yùn)藏的奧秘：都是在數(shù)圖形里面有幾個(gè)面積單位。學(xué)生在三年級學(xué)過長方形面積公式長×寬，長即一行面積單位個(gè)數(shù)，寬即一列的面積單位個(gè)數(shù)，長×寬即求長方形里面所鋪面積單位的個(gè)數(shù);在五年級學(xué)習(xí)“多邊形的面積”單元知識時(shí)亦是。平行四邊形、三角形、梯形均轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過的圖形，找到沿著長（或底）有幾個(gè)面積單位，沿著寬（或高）有幾個(gè)面積單位，再相乘。二維圖形的面積就是數(shù)圖形里有幾個(gè)面積單位。圓的面積也一樣，都是對多少個(gè)面積單位的表達(dá)，本質(zhì)具有一致性。平行四邊形、三角形、梯形的面積都是以三年級長方形的面積為基礎(chǔ)，圓的面積的求解也能回到數(shù)面積近似長方形的面積單位。有的學(xué)生拼成近似平行四邊形、近似梯形、近似三角形，再數(shù)面積單位。這樣我們就能引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)系中領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想，并靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想。

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是主動探索、自主交流的過程，必須在已有知識和經(jīng)驗(yàn)上展開學(xué)習(xí)活動。本節(jié)課以聯(lián)系性問題導(dǎo)學(xué)，基于學(xué)生年齡特征和心理特點(diǎn)，關(guān)注知識的差異性、階段性和遞進(jìn)性，從“二維圖形的面積”整體出發(fā)，溝通內(nèi)在聯(lián)系。在不斷思考追問中，學(xué)生建立完整的知識結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、開放性問題導(dǎo)學(xué)，在對比質(zhì)疑中“追理”

根據(jù)SOLO分類評價(jià)理論，不同的解法反映不同學(xué)生不同層次的認(rèn)知水平，體現(xiàn)不同層次學(xué)生思維的廣度、深度與靈活性。開放性問題提供“大空間”，可以讓學(xué)生在師生對話、生生質(zhì)疑中撥云見日。

“找次品”屬于統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容，旨在通過操作活動滲透優(yōu)化思想。學(xué)生在真實(shí)情境中感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。教師不斷讓學(xué)生通過觀察、試驗(yàn)、推理歸納優(yōu)化策略的有效性，在潛移默化中學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，培養(yǎng)了思維的條理性和邏輯性。此前學(xué)習(xí)過的“沏茶”“田忌賽馬”“打電話”等，都屬于這一范疇。學(xué)生已經(jīng)具有一定的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，因此，教學(xué)的關(guān)鍵落在找次品最優(yōu)策略的本質(zhì)理解上。

（一）明晰問題，感受推理

本課以“如何用最快的方法找到次品”這一富有挑戰(zhàn)性的開放性問題導(dǎo)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。學(xué)生容易想到用天平，基本上把8個(gè)分成（4，4），9個(gè)分成（3，3，3）來稱，少部分分成（4，4，1）來稱。教學(xué)時(shí)巧妙用對比—質(zhì)疑手段喚醒學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生再次追理：“為什么要盡可能分成3份？”如果分成（4，4），稱一次只排除，如果分成3份，一次可以排除，所以三等分最快。學(xué)生在比較、推理中理解“一分為三”策略最優(yōu)的道理。

（二）對比質(zhì)疑，深刻追理

此處的對比有：第一次：天平外的為什么不稱？感受推理的重要性。第二次：把9分成（4，4，1）和（3，3，3），感受平均分的重要性。第三次：9個(gè)只需稱2次，8個(gè)卻要稱3次，合理嗎？第四次：同樣是8個(gè)，分成（4，4）2次就可以找到，而分成（3，3，2）要3次，從而發(fā)現(xiàn)分法不同，將目光聚集到“第3個(gè)盤子”上。第五次：把8個(gè)分成3份對比，發(fā)現(xiàn)“使最大數(shù)與最小數(shù)相差1的這種盡量均分最優(yōu)。第六次：“一分為三”和“一分為多”進(jìn)行對比，如（1，1，1，1，1，1，1，1）和（3，3，2），通過數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，分的份數(shù)越多，第二次查找的范圍越大，再次確認(rèn)“一分為三”是最好的策略。即在多次對比中找到規(guī)律，把問題模型化。學(xué)生在解決問題的過程中，質(zhì)疑與思辨共存，傾聽與交流相伴，落實(shí)了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

新課標(biāo)視域下，小學(xué)數(shù)學(xué)深度說理課堂的問題設(shè)計(jì)與實(shí)施，要以思辨性問題導(dǎo)學(xué)，激發(fā)學(xué)生辯理：在活動性問題導(dǎo)學(xué)中覓尋本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生明理;在聯(lián)系性問題導(dǎo)學(xué)中構(gòu)建知識，引導(dǎo)學(xué)生通理;在開放性問題導(dǎo)學(xué)中對比質(zhì)疑，促使學(xué)生追理。問題導(dǎo)學(xué)作為“雙減”政策下的課堂新樣態(tài)，以問題為導(dǎo)向、以導(dǎo)學(xué)為方法、以發(fā)展思維為目的、以落實(shí)核心素養(yǎng)為最終目的，把教學(xué)內(nèi)容整合提煉歸納出核心問題，提供開放的課堂空間、問題空間、思考空間，以多元學(xué)習(xí)的方式，在說理表達(dá)中碰撞思維，推動數(shù)學(xué)課堂走向“靈動”，推動學(xué)生思維走向“深刻”，落實(shí)了全面育人的時(shí)代需求。

編輯：常超波