清代中期，乾嘉學(xué)派對(duì)傳統(tǒng)算學(xué)典籍文獻(xiàn)進(jìn)行了許多發(fā)掘與整理工作，其宗旨是“興復(fù)古學(xué)、昌明中法”，目的是復(fù)興和發(fā)展傳統(tǒng)算學(xué)。繼吳派、皖派之后，以阮元為代表的揚(yáng)州學(xué)派崛起，有一批學(xué)者與阮元亦師亦友，或?yàn)榈茏雍烷T生，其中有數(shù)學(xué)家羅士琳、焦循等。

羅士琳（1784—1853），清代揚(yáng)州府甘泉人，除了具備深厚的國(guó)學(xué)基礎(chǔ)外，他也是一位中國(guó)數(shù)學(xué)史的研究學(xué)者。《清史稿·卷五百七·列傳·卷二百九十四·疇人二》（編者注：“疇人”指的是算學(xué)家）曾有傳：“羅士琳，字茗香，甘泉人。以監(jiān)生循例貢太學(xué)，嘗考取天文生……少治經(jīng)，從其舅江都秦太史恩復(fù)受舉業(yè)，已乃棄去，專力步算，博覽疇人書，日夕研求數(shù)年。”他的舅父秦恩復(fù)是藏書家、校勘學(xué)家，揚(yáng)州人，乾隆五十二年（1787年）進(jìn)士。

令人稱奇的是，羅士琳對(duì)勾股定理進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并提出了推算勾股數(shù)的公式，現(xiàn)在被稱為“羅士琳法則”：（1）任取正整數(shù)m和n（mgt;n），那么m、n的平方和，m、n的平方差，m、n之積的兩倍是一組勾股數(shù)。

（2）如果k是大于1的奇數(shù)，那么 k，k的平方減1的差除以2，k的平方加1的和除以2是一組勾股數(shù)。

（3）如果k是大于2的偶數(shù)，那么 k，k的一半的平方減1，k的一半的平方加1是一組勾股數(shù)。

（4）如果 a、b、c是一組勾股數(shù)，n是正整數(shù)，那么na、nb、nc也是一組勾股數(shù)。

我們分別對(duì)以上四個(gè)法則進(jìn)行證明：

（1）已知：m和n（mgt;n）為任意兩個(gè)正整數(shù)。

求證：m、n的平方和，m、n的平方差，m、n之積的兩倍是一組勾股數(shù)。

證明：這三個(gè)數(shù)分別為m2+n2，m2-n2，2mn。

因?yàn)閙gt;n，所以m2+n2gt;2mn，m2+n2gt;m2-n2，若三者為勾股數(shù)，則m2+n2為弦長(zhǎng)。

計(jì)算（m2-n2）2+（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，由此得證。

（2）已知：k是大于1的奇數(shù)。

求證：k，k的平方減1的差除以2，k的平方加1的和除以2是一組勾股數(shù)。

證明：這三個(gè)數(shù)分別為k，

[k2-12]，[k2+12]。

因?yàn)閗是大于1的奇數(shù)，所以k≥3，所以[k2+12]gt;[k2-12]，[k2+12]≥[3k+12]gt;

[32]kgt;k，若三者為勾股數(shù)，則[k2+12]為弦長(zhǎng)。

計(jì)算[k2-122]+k2=[k4-2k2+14]+k2=[k4+2k2+14]=[k2+122]，由此得證。

（3）已知：k是大于2的偶數(shù)。

求證：k，k的一半的平方減1，k的一半的平方加1是一組勾股數(shù)。

證明：這三個(gè)數(shù)分別為k，[k22]-1，[k22]+1，因?yàn)閗是大于2的偶數(shù)，所以[k2]≥2，所以[k22]+1gt;[k22]-1，[k22]+1≥2·[k2]+1=k+1gt;k，若三者為勾股數(shù)，則[k22]+1為弦長(zhǎng)。

計(jì)算[k22-12]+k2=[k24-12]+k2=[k416]-[12]k2+1+k2=[k416]+[12]k2+1=[k24+12]=[k22+12]，由此得證。

（4）已知：a、b、c是一組勾股數(shù)，n是正整數(shù)。

求證：na、nb、nc 也是一組勾股數(shù)。

證明：因?yàn)閍、b、c 是一組勾股數(shù)，不妨設(shè)c最大，因?yàn)閚是正整數(shù)，所以na，nb，nc中nc最大，根據(jù)勾股定理，則有c2=a2+b2，而（na）2+（nb）2=n2a2+n2b2=n2（a2+b2）=n2c2=（nc）2，由此得證。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）