摘要：針對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生在解決一元二次不等式問題時(shí)的困難，提出一種基于問題解決的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提升策略.通過分析學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次不等式解法的過程中可能遇到的問題，從教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)輔導(dǎo)三個(gè)方面提出具體的解決措施，有效提高學(xué)生在一元二次不等式解法方面的學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)興趣，為高中數(shù)學(xué)教育提供一種有益的實(shí)踐探索.

關(guān)鍵詞：高中學(xué)生；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；問題解決；一元二次不等式

1 問題提出

當(dāng)前，民族地區(qū)學(xué)生理科學(xué)習(xí)能力普遍較弱，西藏教育部門高度重視，將提高理科教學(xué)質(zhì)量作為提升整體教學(xué)質(zhì)量的突破口.特別是數(shù)學(xué)學(xué)科，已成為西藏學(xué)生成長成才的“攔路虎”[1]，剛進(jìn)入高中，一些學(xué)生在解決一元二次不等式問題時(shí)就遇到了困難.他們往往對一元二次不等式的概念理解不透徹，無法與初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)和一元二次方程的知識相關(guān)聯(lián)，不能正確運(yùn)用二次函數(shù)和一元二次方程的知識來解決不等式問題.此外，學(xué)生在面對實(shí)際問題時(shí)，往往缺乏將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，導(dǎo)致無法靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題.

為了幫助民族地區(qū)學(xué)生克服困難，掌握函數(shù)對于方程、不等式的統(tǒng)領(lǐng)和整合作用，學(xué)會從整體方面認(rèn)識、理解、掌握數(shù)學(xué)知識的途徑，同時(shí)，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和效果，本文中提出一種基于問題解決的高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提升策略.

2 學(xué)生的學(xué)習(xí)需求及特點(diǎn)分析

為了解決如上問題，我們需要深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和需求，并采用適當(dāng)?shù)奶嵘呗詭椭麄兛朔щy.

（1）需要研究學(xué)生的學(xué)習(xí)需求

一般來說，學(xué)生在理解和應(yīng)用一元二次不等式的解法上存在困難，主要是對二次函數(shù)和一元二次方程的知識掌握得不夠扎實(shí)，無法在二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間建立聯(lián)系.此外，學(xué)生在面對實(shí)際問題時(shí)，往往缺乏將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，導(dǎo)致無法靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題.

例1對于任意實(shí)數(shù)x，不等式x²+xgt;m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

這道題需要轉(zhuǎn)換成Δlt;0才能夠得到關(guān)于m的不等式，進(jìn)而通過解不等式得到m的取值范圍.對于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，需要細(xì)化解題步驟，詳細(xì)了解學(xué)生對于每一個(gè)步驟的反應(yīng)，捕捉學(xué)生思維的變化，進(jìn)行有針對性的化解.

（2）需要了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)

當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，一定要找到困難形成的原因，這樣才能從根本上去指導(dǎo)和幫助他們.一元二次不等式不是孤立的知識點(diǎn)，它與二次函數(shù)、一元二次方程都有聯(lián)系，如果只為解一元二次不等式尋找方法，而不從數(shù)學(xué)的整體性建立起知識體系，那么就難以培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

例如：求不等式x²+x-6gt;0的解集.一般情況下，學(xué)生掌握的方法是：第一步判斷不等式是否為標(biāo)準(zhǔn)不等式（即二次項(xiàng)x2的系數(shù)是否大于0，以及不等號右邊是否為0.若不是，則化為標(biāo)準(zhǔn)不等式）；若是則進(jìn)行第二步，計(jì)算判別式Δ與0的關(guān)系，以此確定一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解，本題對應(yīng)的一元二次方程是x²+x-6=0，Δ=25gt;0；第三步求一元二次方程的實(shí)數(shù)根，本題有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x=-3或x=2；第四步，寫出該不等式的解集{x|xlt;-3，或xgt;2}.有時(shí)教師為了讓學(xué)生能夠快速掌握解法，會以“大于取兩邊、小于取中間”的口決來快速記憶，然后套用.實(shí)際上，這樣的取巧辦法只能解決標(biāo)準(zhǔn)一元二次不等式對應(yīng)的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根的題型，對于不斷變化的題型就沒有了應(yīng)對辦法，反而不利用學(xué)生從整體上掌握不等式的解法，達(dá)不到一通百通、以不變的思想應(yīng)對萬變的題型的效果.

（3）需要掌握問題解決的辦法

問題解決法在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用是一個(gè)非常值得研究的話題.問題解決法是一種以問題為核心的教學(xué)方法，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，鼓勵(lì)學(xué)生通過思考、探索和合作來解決問題.在數(shù)學(xué)教育中，問題解決法可以幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高解決問題的能力，同時(shí)也可以提升他們的自信心和興趣.

3 基于問題解決的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升策略

通過問題解決的過程，學(xué)生能夠主動(dòng)參與發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、提出解決方案的過程，并在實(shí)踐中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題.

具體來說，需要教師在教學(xué)初就設(shè)計(jì)好教學(xué)方法，采取引導(dǎo)學(xué)生思考和探索、提供具體實(shí)例和錯(cuò)因分析、結(jié)合實(shí)際問題的應(yīng)用探討、針對學(xué)生的個(gè)別輔導(dǎo)和小組合作學(xué)習(xí)、制定個(gè)性化的學(xué)習(xí)計(jì)劃和目標(biāo)等措施，以幫助學(xué)生在一元二次不等式解法方面掌握更好的方法，取得好的效果.

3.1 在教學(xué)方法上下功夫

（1）引導(dǎo)學(xué)生思考和探索

在教學(xué)中，教師可以通過設(shè)置一些具有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索一元二次不等式的解法.例如：初中學(xué)過一元一次不等式和一次函數(shù)的相關(guān)知識，教師可以通過一次函數(shù)的圖象分析一元一次不等式和一次函數(shù)的關(guān)系，以此進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索一元二次不等式的解法.

（2）提供具體實(shí)例和錯(cuò)因分析

教師可以提供一些典型的一元二次不等式問題，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí).同時(shí)，教師需要對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行跟蹤和分析，找出學(xué)生出錯(cuò)的原因，并提供針對性的指導(dǎo).

3.2 在教學(xué)內(nèi)容上下功夫

（1）重點(diǎn)講解一元二次不等式的概念和方法

教師需要讓學(xué)生明確一元二次不等式的概念和解一元二次不等式的方法，并通過實(shí)例幫助學(xué)生理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系.

首先，通過回顧一元一次不等式的概念，類比給出一元二次不等式的概念.類似于一元一次方程，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式〔一般形如ax+bgt;0（a≠0）或ax+blt;0（a≠0）〕.教師對“一元一次”再進(jìn)行說明，然后由學(xué)生類比出一元二次（含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)是2稱為一元二次）不等式的概念——只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式〔一般形如ax²+bx+cgt;0（a≠0）或ax²+bx+clt;0（a≠0）〕.由此得出的一元二次不等式的概念是建立在一元一次不等式之上的，既強(qiáng)化了一元一次不等式，又在此基礎(chǔ)上發(fā)展了新概念，在同一理論體系下學(xué)生知識體系有了新的擴(kuò)充.

其次，在回顧一次函數(shù)與一元一次不等式關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行類比，探尋二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，總結(jié)出求解一元二次不等式的方法.

教師通過由特殊到一般的方法進(jìn)行引導(dǎo)舉例，如以一次函數(shù)y=2x-5與一元一次不等式2x-5gt;0為例，讓學(xué)生通過函數(shù)圖象回顧它們之間的關(guān)系（圖1），然后以此類比探索二次函數(shù)y=x²-12x+20與一元二次不等式x²-12x+20gt;0的關(guān)系，并找到解一元二次不等式的辦法（如圖2）.

最后，總結(jié)探索到的方法，形成“五步法”解一元二次不等式的方法，化標(biāo)—求Δ—求根—畫草圖—看圖下結(jié)論.

如：求不等式-x2+2x+3gt;0的解集.第一步，化為標(biāo)準(zhǔn)不等式x^2-2x-3lt;0；第二步，求Δ=（-2）²-4×1×（-3）=16gt;0；第三步，求方程x²-2x-3=0的實(shí)數(shù)根x¹=-1，x²=3；第四步，畫草圖（圖3）;第五步，看圖下結(jié)論，得出不等式的解集為{x|-1lt;xlt;3}.

（2）結(jié)合實(shí)際問題的應(yīng)用進(jìn)行探討

教師可以通過一些實(shí)際問題的案例分析，幫助學(xué)生理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用所學(xué)知識來解決實(shí)際問題.

如：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個(gè)矩形區(qū)域種植花卉，若柵欄的長度是24 m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20 m2，則這個(gè)矩形的邊長為多少？

分析：設(shè)這個(gè)矩形的一條邊長為x m，則另外一條邊長為[SX（]1[]2[SX）]（24-2x）（0lt;xlt;12），故矩形區(qū)域的面積等于x（12-x），由此得到不等式x（1/2-x）gt;20，將求矩形邊長的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式x²-12x+20lt;0解集的數(shù)學(xué)問題.

3.3 在學(xué)生學(xué)習(xí)輔導(dǎo)上下功夫

（1）針對學(xué)生學(xué)習(xí)情況進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常面臨核心素養(yǎng)不足的問題，包括對數(shù)學(xué)概念的理解不深刻、學(xué)懂的知識之間聯(lián)系不緊密、解決數(shù)學(xué)問題的能力較弱等.這些問題不僅影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，也制約了他們在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展.教師需要有針對性地進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們解決學(xué)習(xí)中的個(gè)性困難.

如前面提到的例1，可以這樣進(jìn)行細(xì)化設(shè)計(jì).

第一步，“對于任意實(shí)數(shù)x，不等式x²+xgt;m恒成立”（記為），等價(jià)轉(zhuǎn)換為“不等式x²+x-mgt;0的解集為”（記為.

第二步，“不等式x2+x-mgt;0的解集為”轉(zhuǎn)換為“Δlt;0”（記為

第三步，得到“1+4mlt;0”（記為.

第四步，解不等式得“mlt;－14”（記為E）.

整個(gè)過程可以濃縮為A→B→C→D→E，在輔導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn)：

第一步A→B難理解，將題目條件A轉(zhuǎn)化為B學(xué)生理解不了，引導(dǎo)過程中“對于任意的實(shí)數(shù)x”描述為“所有的實(shí)數(shù)（即實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合”，將所有的實(shí)數(shù)都代入不等式x²+x-mgt;0（即所有實(shí)數(shù)一個(gè)一個(gè)地替換掉不等式中的x）都能使其成立，也就是說“不等式x²+x-mgt;0的解集是全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合”.在這一分析過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)中的“任意的”“所有的”“任何的”詞語的含義理解存在一定的難度，對“恒成立”的“恒”的含義不理解，對A的充要性不能夠理解，從而導(dǎo)致無法理解A→B.

第二步B→C難轉(zhuǎn)化，從文字表面看不出來B與C有任何關(guān)聯(lián)，需要具備解一元二次不等式的相關(guān)知識才能理解，結(jié)合教材例題解答過程，“不等式x²+x-mgt;0的解集為”說明“二次函數(shù)y=x²+x-m的圖象與x軸沒有交點(diǎn)（即圖象都位于x軸上方）”，這樣就能對第一步的解釋再一次利用圖象進(jìn)行說明；然后，再解釋圖象與x軸沒有交點(diǎn)用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示就是Δlt;0.在這一分析過程中，由于學(xué)生對一元二次不等式的解法不夠熟練，只會解簡單的不含參數(shù)的一元二次不等式，二次函數(shù)、方程和不等式的知識不能夠相互聯(lián)系、融會貫通與靈活運(yùn)用，因而導(dǎo)致無法從B轉(zhuǎn)化到C.

解決完第一步與第二步存在的困惑，后面的過程就比較容易了.

（2）針對學(xué)生學(xué)習(xí)情況成立學(xué)習(xí)共同體

學(xué)生在學(xué)習(xí)遇到困難時(shí)往往最先感受到的是枯燥，想放棄的思想尤為強(qiáng)烈，如果有一個(gè)學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)相互鼓勵(lì)、相互促進(jìn)，就能給他們增強(qiáng)信心.教師需要通過深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和需求，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和能力水平調(diào)整和設(shè)置個(gè)性化問題解決的任務(wù)，[JP2]輔助他們成立學(xué)習(xí)小組，建立學(xué)習(xí)成長共同體，制定適合他們團(tuán)隊(duì)成長的學(xué)習(xí)計(jì)劃和學(xué)習(xí)目標(biāo)，采用問題解決的辦法克服學(xué)習(xí)困難，鼓勵(lì)他們經(jīng)常性地進(jìn)行相互交流和討論，分享解決學(xué)習(xí)過程中遇到的問題的心得，增強(qiáng)解決問題的榮譽(yù)感，督促他們堅(jiān)守并逐步實(shí)施.

總之，基于問題解決的學(xué)習(xí)方法是幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑，在教學(xué)過程中，教師需要深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和需求，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法來幫助學(xué)生克服困難，解決在學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，讓學(xué)生在濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣下提升核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]陳婷，覃若男.西藏初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)投入現(xiàn)狀調(diào)查——基于16 430名學(xué)生的實(shí)證研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（3）：30-38.