桂小兵

［基金項(xiàng)目］本文系合肥市教育規(guī)劃課題“‘四能視角下高中數(shù)學(xué)新教材習(xí)題的拓展研究”（HJG23122）、安徽省教育規(guī)劃課題“‘三新背景下開展高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的實(shí)踐研究”（JK23091）的階段研究成果。

［摘 要］借助人教A版高中數(shù)學(xué)新教材中的兩道習(xí)題設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，通過設(shè)置層層深入的問題，采用從特殊到一般的處理方式，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，思考解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］教材習(xí)題；數(shù)學(xué)建模活動(dòng)；高中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］??? A??????? ［文章編號(hào)］??? 1674-6058（2024）14-0001-04

數(shù)學(xué)·教學(xué)研究

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1]。習(xí)題是教材的重要組成部分，教材習(xí)題是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要抓手。相較舊教材，人教A版高中數(shù)學(xué)新教材習(xí)題內(nèi)容更加豐富，且主要分布在“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”三個(gè)欄目中，能夠逐層遞進(jìn)地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的鞏固應(yīng)用。特別是“拓廣探索”欄目，習(xí)題情境多樣，且貼近生活，是很好的數(shù)學(xué)建模載體。借助教材習(xí)題設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可取得很好的教學(xué)效果。下面筆者結(jié)合人教A版高中數(shù)學(xué)新教材中的兩道習(xí)題進(jìn)行說明。

一、建?；顒?dòng)設(shè)計(jì)案例

［案例1］（必修第一冊P58第10題）購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定。哪種購物方式比較經(jīng)濟(jì)？你能把所得結(jié)論作一些推廣嗎？

1.層層引導(dǎo)，抽象問題

這個(gè)購買物品問題與生活密切相關(guān)，學(xué)生有所體會(huì)且易于理解，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問題、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法解決問題。

問題1：就本題而言，多次購買同一種物品時(shí)，不斷變化的是什么？

生（全體）：物品價(jià)格。

追問1：怎么知道購物方式是否經(jīng)濟(jì)？

生1：兩種方式購買的總量不同，那就要看平均價(jià)格。

追問2：你能用符號(hào)語言表述兩種購買策略的平均價(jià)格嗎？

學(xué)生相互交流、討論，引入字母參數(shù)來表示價(jià)格、購買量、購買金額和購買次數(shù)，并用表格來直觀呈現(xiàn)（見表1和表2）。

2.建立模型，逐步求解

問題2：你能表示這兩種購買策略的平均價(jià)格嗎？

結(jié)合表格數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算易得策略一的平均價(jià)格為：

[P=p1a+p2a+p3a+…+pnana=p1+p2+p3+…+pnn]，

策略二的平均價(jià)格為：

[P′=nbbp1+bp2+bp3+…+bpn=n1p1+1p2+1p3+…+1pn]。

追問：那如何比較[P]和[P′]呢？

學(xué)生能想到用作差法比較大小，但由于算式復(fù)雜，計(jì)算能力不強(qiáng)，因此不能順利推導(dǎo)出結(jié)果。筆者以此為契機(jī)，設(shè)計(jì)兩個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生一步步解決問題。

探究活動(dòng)1：購買次數(shù)為2的情況。

策略一的平均價(jià)格：[P1=p1a+p2a2a=p1+p22]。

策略二的平均價(jià)格：[P2=2bbp1+bp2=21p1+1p2]。

生2： [P1-P2=p1+p22-21p1+1p2=p1+p22-2p1p2p1+p2=（p1-p2）22（p1+p2）≥0]，當(dāng)且僅當(dāng)[p1=p2]時(shí)取等號(hào)，即購買策略二的平均價(jià)格不超過購買策略一的平均價(jià)格。

生3：[P1-P2=p1+p22-21p1+1p2=（p1+p2）1p1+1p2-421p1+1p2=1+p1p2+p2p1+1-421p1+1p2≥2p1p2·p2p1-221p1+1p2=0]，當(dāng)且僅當(dāng)[p1p2=p2p1]即[p1=p2]時(shí)取等號(hào)。

探究活動(dòng)2：購買次數(shù)為3的情況。

策略一的平均價(jià)格：[P3=p1a+p2a+p3a3a=p1+p2+p33]。

策略二的平均價(jià)格：[P4=3bbp1+bp2+bp3=31p1+1p2+1p3]。

師：你有什么樣的類比猜想？你能證明嗎？

生4： [P3-P4=p1+p2+p33-31p1+1p2+1p3=p1+p2+p33-3p1p2p3p1p2+p1p3+p2p3]

[=（p1+p2+p3）（p1p2+p1p3+p2p3）-9p1p2p33（p1p2+p1p3+p2p3）=]？（運(yùn)算受阻）

生5：[P3-P4=p1+p2+p33-31p1+1p2+1p3=（p1+p2+p3）1p1+1p2+1p3-931p1+1p2+1p3]

[=3+p2p1+p1p2+p3p2+p2p3+p3p1+p1p3-931p1+1p2+1p3≥2p2p1·p1p2+2p3p2·p2p3+2p3p1·p1p3-631p1+1p2+1p3=0]，當(dāng)且僅當(dāng)[p1=p2=p3]時(shí)取等號(hào)，結(jié)論與購買次數(shù)為2的情況一致。

師：你發(fā)現(xiàn)哪種運(yùn)算方式具備一般性？你能借助它來探究購買次數(shù)為4的情況嗎？試一試 。

學(xué)生合作探究、動(dòng)手實(shí)踐，完成購買次數(shù)為4時(shí)兩種平均價(jià)格的比較，并猜想更一般的結(jié)論。

師：那現(xiàn)在我們來探究購買次數(shù)為[n]的情況。

[p1+p2+p3+…+pnn-n1p1+1p2+1p3+…+1pn][=（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn-n2n1p1+1p2+1p3+…+1pn]

對(duì)于[（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn]，展開式有[n2]項(xiàng)，即[p1p1+p2p1+p3p1+…+pnp1+p1p2+p2p2+p3p2+…+pnp2+…+p1pn+p2pn+p3pn+…+pnpn]。通過重新組合，使得兩兩積為定值、和有最小值2，可得

[（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn≥n22·2=n2]，當(dāng)且僅當(dāng)[p1=p2=p3=…=pn]時(shí)取等號(hào)。

模型結(jié)論：一般情況下，如果多次購買同一種商品，按第二種策略購物比較經(jīng)濟(jì)。通常，對(duì)于[n]個(gè)正數(shù)[p1，p2，p3，…，pn]，我們稱[p1+p2+p3+…+pnn]為它們的算術(shù)平均數(shù)，稱[n1p1+1p2+1p3+…+1pn]為它們的調(diào)和平均數(shù)。因此，[n]個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于調(diào)和平均數(shù)。

討論話題：藥理學(xué)研究中，通常利用小白鼠進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在一次實(shí)驗(yàn)中，給10只小白鼠使用一定劑量的某鎮(zhèn)定藥物，然后監(jiān)測它們的睡眠持續(xù)時(shí)間（min），記錄數(shù)據(jù)分別為20，24，29，31，33，37，49，58，28，200。你能表示這10只小白鼠的睡眠持續(xù)時(shí)間的平均水平嗎？

學(xué)生合作交流，結(jié)合已學(xué)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)，思考用哪一種表示方法比較合適。

［案例2］（選擇性必修第三冊P91第11題）某單位有10 000名職工，想通過驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者。假設(shè)攜帶病毒的人占5%，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10 000次。統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)。如果混合血樣呈陰性，說明這5人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次。

（1）按照這種化驗(yàn)方法能減少化驗(yàn)次數(shù)嗎？

（2）如果攜帶病毒的人只占2%，按照[k]個(gè)人一組，[k]取多大時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少？

1.問題初探，計(jì)算輔助

設(shè)每個(gè)人需要的化驗(yàn)次數(shù)為[X]。將攜帶病毒的人占5%轉(zhuǎn)化為每個(gè)人攜帶病毒的概率，且視每個(gè)人化驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立。 對(duì)于問題（1），學(xué)生能輕松解決。

[E（X）=15×0.955+65×（1-0.955）≈0.4262]，每5個(gè)人一組總平均次數(shù)約為[0.4262×10000=4262]，[4262<10000]，所以能減少化驗(yàn)次數(shù)。

師：如果按6人一組、7人一組、8人一組進(jìn)行分組，化驗(yàn)次數(shù)是不是還可以減少？

生1：6人一組時(shí)，[E（X）=16×0.956+76×（1-0.956）≈0.4316]；7人一組時(shí)，[E（X）=17×0.957+87×（1-0.957）≈0.4445]；8人一組時(shí)，[E（X）=18×0.958+98×（1-0.958）≈0.4616]。

學(xué)生利用計(jì)算工具可以一直進(jìn)行分組，并且容易發(fā)現(xiàn)5人一組時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少，最合理。

類比遷移，攜帶病毒的人只占2%、[k]個(gè)人一組時(shí)，[E（X）=1k×0.98k+k+1k×（1-0.98k）=1k+1-0.98k]。

學(xué)生利用計(jì)算工具對(duì)[k]取1，2，3，…逐一計(jì)算，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)[k]取8時(shí)，化驗(yàn)次數(shù)最少。

師：我們不可能一直計(jì)算下去，有什么辦法可以解決這個(gè)問題？

問題是攜帶病毒的人只占2%、[k]個(gè)人一組時(shí)求[k]取何值時(shí)[E（X）]最小，學(xué)生容易想到函數(shù)角度，即令[f（k）=1k+1-0.98k]， [f '（k）=-1k2-0.98kln0.98]，但是最值求解遇到困難，教師給予指導(dǎo)。

途徑1：借助GeoGebra軟件作出[f（k）]或[f '（k）]的圖象，從圖象上直接得出結(jié)果，直觀但是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

途徑2：先求[k]的必要條件，需要滿足

[1k+1-0.98k<1，-1k2-0.98kln0.98=0，]代換[0.98k=-1k2·1ln0.98]，可得[k<-1ln0.98≈49.5]，再對(duì)[k=2]，3，…，49進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。

顯然途徑2具備嚴(yán)謹(jǐn)性，由此建立更一般的數(shù)學(xué)模型。

2.建立模型，逐步完善

師：這種分組化驗(yàn)在生活中經(jīng)常遇到。我們能否建立一個(gè)更一般的數(shù)學(xué)模型來刻畫這一類問題？問題中有哪些相關(guān)的量？

生2：被檢測群體的總數(shù)，每個(gè)人的化驗(yàn)不合格率以及每組的人數(shù)，可以依次設(shè)為[N，p，k]，其中[p∈（0，1）]，[k∈N*]，記每份樣本的化驗(yàn)次數(shù)為X，易得到[E（X）=1k×（1-p）k+k+1k×1-（1-p）k=1k+1-（1-p）k]，故[N]份樣本的平均化驗(yàn)次數(shù)為[1k+1-（1-p）k·N]。

聯(lián)系生活可知，如果[p]值比較大，那么分組的意義不大，并不能減少化驗(yàn)次數(shù)，所以模型需要進(jìn)一步優(yōu)化。對(duì)此，教師拋出兩個(gè)探究問題。

探究問題1：分組的目的是減少化驗(yàn)次數(shù)，對(duì)于[p]，是否有一個(gè)范圍來指導(dǎo)分組，體現(xiàn)出分組的必要性？

探究問題2：在必須分組的情況下，對(duì)于每一個(gè)[p]值，是否都存在[k]值使得平均化驗(yàn)次數(shù)最少？如果存在，如何求這個(gè)[k]值？

為了便于學(xué)生進(jìn)行探究，筆者提前利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)[f（k）=1k+1-（1-p）k]的圖象，設(shè)置參數(shù)[k，p]的滑動(dòng)條進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析（如圖1）。學(xué)生利用GeoGebra軟件，圍繞兩個(gè)探究問題開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

學(xué)生通過GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)分析并計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)[p>0.4]時(shí)，[E（X）>1]恒成立，這就失去了分組的必要性，同時(shí)得出[p]取1%～10%時(shí)，化驗(yàn)次數(shù)最少時(shí)對(duì)應(yīng)的[k]和[E（X）]值（見表3）。

這說明給定[p]值，存在[k]值使得化驗(yàn)次數(shù)最少且分組有意義。

師：很好！以上為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，那能否用代數(shù)方法來解釋呢？

學(xué)生從一元函數(shù)角度出發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性，由于[f '（k）]較為復(fù)雜，因此在求解[f（k）]最值時(shí)受阻。教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合[k∈N*]調(diào)整運(yùn)算策略，先說明分組必要性的要求，即[1k+1-（1-p）k<1]，等價(jià)于[k（1-p）k>1]。

令[g（k）=k（1-p）k-1]，[g'（k）=（1-p）k1+kln（1-p）]，當(dāng)[k∈0，-1ln（1-p）]時(shí)，[g（k）]單調(diào)遞增；當(dāng)[k∈-1ln（1-p），+∞]，[g（k）]單調(diào)遞減。

故[g-1ln（1-p）=-1ln（1-p）·（1-p）-1ln（1-p）-1>0]，即[-（1-p）-1ln（1-p）

令[u=ln（1-p）]，[1-p=eu]，則不等式變形為[-（eu）-1u

再說明存在最合適的分組[k]值，即存在使得[f（k）=1k+1-（1-p）k]取得最小值的正整數(shù)[k]。[f '（k）=-1k2-（1-p）kln（1-p）]，極值與單調(diào)性分析比較困難。換一個(gè)思路，說明當(dāng)[k>-1ln（1-p）]時(shí)，[f（k）>f-1ln（1-p）]恒成立，這樣，由于[k∈N?]，在區(qū)間[0，-1ln（1-p）]內(nèi)必然存在使得[f（k）]取得最小值的[k]。

即證：[1k+1-（1-p）k>-ln（1-p）+1-（1-p）-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

即證：[1k1-k（1-p）k>-ln（1-p）-（1-p）-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

即證：[1kk（1-p）k-1<-ln（1-p）-1ln（1-p）（1-p）-1ln（1-p）-1]，[k>-1ln（1-p）]。

即證：[1k·g（k）<-ln（1-p）·g-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

由于[k>-1ln（1-p）]，[g（k）

師：結(jié)合以上的模型分析，你能作一下總結(jié)嗎？

生3：對(duì)于分組化驗(yàn)，當(dāng)[p<1-e-1e≈0.3078]時(shí)才能減少工作量。采用分組化驗(yàn)方法后，計(jì)算[f（k）=1k+1-（1-p）k]，其中[k∈k∈N*k≤-1ln（1-p）]，當(dāng)[f（k）]最小時(shí)對(duì)應(yīng)的[k]值就是最合適的分組[k]值。

二、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)設(shè)計(jì)反思

案例1的教學(xué)對(duì)象是高一新生，他們剛剛學(xué)完不等式、基本不等式等內(nèi)容，數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都還不夠強(qiáng)，而這兩種能力恰恰是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)能力。教學(xué)中教師采用從特殊到一般、由易到難的方式，設(shè)置層層深入的問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生解決問題，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)能力的螺旋式上升。

案例2的教學(xué)對(duì)象是即將學(xué)完高中課程的高二學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都已經(jīng)達(dá)到一定水平，建模過程中的字母運(yùn)算、函數(shù)分析等工作他們都可以完成，教師只需在難點(diǎn)處進(jìn)行點(diǎn)撥。同時(shí)，學(xué)生還可以借助信息技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，自主發(fā)現(xiàn)一些數(shù)字特征、變化規(guī)律，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。

綜上，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的重要途徑。在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，學(xué)生通過數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)表達(dá)、模型建構(gòu)、數(shù)學(xué)運(yùn)算等分析和解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力都得到了很好的培養(yǎng)。教材是教學(xué)的重要資源，是專家集體智慧的結(jié)晶，是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有力抓手[2]。教師要充分利用教材中的習(xí)題資源設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，并結(jié)合不同層次學(xué)生的學(xué)情和運(yùn)算能力，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，真正發(fā)揮教材的育人功能。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 王世朋，錢良辰，汪煦.課本習(xí)題實(shí)施探究活動(dòng)教學(xué)的路徑及建議：以人教2019A版數(shù)學(xué)第一冊教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022（8）：41-45.

（責(zé)任編輯??? 黃春香）