方成

摘?要：通過研究高考題，嘗試從不同角度觀察問題結(jié)構(gòu)，找到問題的隱含信息，構(gòu)造與之關(guān)聯(lián)的函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、向量等，使其轉(zhuǎn)化到學(xué)生熟悉的情境中，從而化繁為易，靈活解題.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；高考試題；構(gòu)造法；問題結(jié)構(gòu)；轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0065-03

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，構(gòu)造法是學(xué)生研究問題最基本、最重要的思想方法之一，高考試題中也經(jīng)常出現(xiàn)它的蹤影.構(gòu)造的過程實(shí)際上是一種創(chuàng)新思維的過程，反映了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的深度與廣度，同時(shí)也顯露出自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).然而，“構(gòu)造法”難在如何“構(gòu)造”，而且“構(gòu)造”也沒有一般的途徑，因此學(xué)生解決問題甚感困難.

1 構(gòu)造法的概念與解題價(jià)值

構(gòu)造法是指根據(jù)問題的條件或結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法.這種方法不僅強(qiáng)調(diào)通過建立具體的數(shù)學(xué)模型來分析和解決實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力、數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識，而且可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，并把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際生活中.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程，就是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程.

2 高考數(shù)學(xué)解題中的構(gòu)造類型

2.1 構(gòu)造數(shù)列

例1?（2018年江蘇卷第14題）已知集合A=x|x=2n-1，n∈N*，B=x|x=2n，n∈N*，

將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得Sn>12an+1成立的n的最小值.

分析?將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，所以我們首先要找集合A，B的相似之處，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列an，再分析它和Sn>12an+1之間的關(guān)系，從而找出最小值.先來列舉B=2，4，8，16，32…，與A相比，元素間隔大，所以從Sn中加了幾個(gè)B中元素考慮.

1個(gè)：n=1+1=2，S2=3，12a3=36；

2個(gè)：n=2+2=4，S4=10，12a5=60；

3個(gè)：n=4+3=7，S7=30，12a8=108;

4個(gè)：n=8+4=12，S12=94，12a13=204；

5個(gè)：n=16+5=21，S21=318，12a22=396;

6個(gè)：n=32+6=38，S38=1 150，12a39=780.

發(fā)現(xiàn)21≤n≤38時(shí)Sn-12an+1發(fā)生變號，于是采用二分法查找：S30=687，12a31=612，所以所求n應(yīng)在22～29之間；S25=462，12a26=492，所以所求n應(yīng)在25～29之間；

S26=503，12a27=516，因?yàn)镾27>

12a28，而S26<12a27，故答案為27.

2.2 構(gòu)造函數(shù)

例2?已知函數(shù)f（x）=1x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）-f（x2）x1-x2

解析?（1）由題意可知：函數(shù)f（x）=1x-x+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞）.

對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，得

f ′（x）=-x2+ax-1x.

令g（x）=-x2+ax-1，

①若a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

②若a>0時(shí)，Δ=a2-4≤0，即0

結(jié)合①②，得當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

③若Δ>0時(shí)，即a>2時(shí)， x=a±a2-42，故f（x）在（0，a-a2-42）和（a+a2-42，+∞）上單調(diào)遞減，在（a-a2-42，a+a2-42）上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，當(dāng)a>2時(shí)，f（x）在（0，a-a2-42）和（a+a2-42，+∞）上單調(diào)遞減，在（a-a2-42，a+a2-42）上單調(diào)遞增.

（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，由（1）小題可知，當(dāng)a>2時(shí)，x1=a-a2-42，x2=a+a2-42，此時(shí)x1

要證f（x1）-f（x2）x1-x2

f（x1）-f（x2）>（a-2）（x1-x2）.

又f（x1）-f（x2）=x2-x1x2x1+（x2-x1）+alnx1x2，

由x1x2=1，得

f（x1）-f（x2）=2（x2-x1）+alnx1x2.

即證2（x2-x1）+alnx1x2>（a-2）（x1-x2）.

即證alnx1x2>a（x1-x2）.

令x1x2=t，則0

由x1x2=1知，x1=t，即證lnt>t-1t.

令g（t）=lnt-t+1t，則g′（t）=1t-12t-12t3≤1t-12×2×1t=0，故g（t）單調(diào)遞減.

因?yàn)間（1）=0，故g（t）>0，所以lnt>t-1t .

2.3 構(gòu)造方程

例3?（2022年全國新高考Ⅰ卷21題）已知點(diǎn) A（2，1）在雙曲線C：x2a2-x2a2-1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP， AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

解析?（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程得a2=2，所以雙曲線C的方程為x22-y2=1.構(gòu)造直線y=kx+m，聯(lián)立解得（2k2-1）x2+4kmx+2m2+2=0，由根與系數(shù)的關(guān)系與兩直線斜率之和為0，解得斜率k=-1.

（2）設(shè)直線AP的傾斜角為θ（0<θ<π2），由題意可知∠PAQ=π-2θ.

因?yàn)閠an∠PAQ=22，所以tanθ=2.

又因?yàn)閥1-1x1-2=2，x212-y21=1，得到

x1=10-423.

所以AP=3x1-2=43（2-1）3.

同理，x2=10+423，

AQ=3x2-2=43（2+1）3.

由tan∠PAQ=22，有sin∠PAQ=223.

故S△PAQ=12APAQsin∠PAQ=1629.

2.4 構(gòu)造不等式

例4?已知函數(shù)f（x）=x-lnx.若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2.

證明?函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x）=12x-1x，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導(dǎo)數(shù)相等，則

12x1-1x1=12x2-1x2.

變形，得12x1-12x2=1x1-1x2=2（12x1-12x2）（1x1+1x2）.

化簡，得1x1+1x2=12.

由基本不等式可知

12x1x2=x1+x2≥24x1x2.

因?yàn)閤1≠x2，所以x1x2>256.

由題意得f（x1）+f（x2）=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln（x1x2）.

設(shè)g（x）=12 x-lnx，則g（x）′=14x（x-4），當(dāng)g′（x）=0，得x=16.當(dāng)x>16時(shí)，g（x）單調(diào)遞增.故g（x1x2）>g（256）=8-8ln2.

即f（x1）+f（x2）>8-8ln2.

2.5 構(gòu)造圖形

例5?已知正方體的棱長為1，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為.

分析?當(dāng)截面為正三角形時(shí)，如圖1，首先需要構(gòu)造出一個(gè)棱長為1的正方體，確定截面在正方體什么位置時(shí)，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等.設(shè)當(dāng)平面α與正方體相交于A，B，C時(shí)，當(dāng)AC=BC=AB時(shí)，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，面積為S△ABC=32.

當(dāng)截面為六邊形對，如圖2，如果平面平移至圖2位置時(shí)，截面面積值最大，此時(shí)六邊形每個(gè)頂點(diǎn)都在正方體各個(gè)棱的中點(diǎn)處.

則六邊形邊長為（12）2+（12）2=22.

則六邊形CBDEFG的面積為

SBDEFGC=6×34×（22）2=334，最大值為334.

3 結(jié)束語

當(dāng)數(shù)學(xué)問題出現(xiàn)時(shí)，一種解題思路是從已知條件出發(fā)，探求問題結(jié)論，但有時(shí)這種做法并不奏效.此時(shí)，就要打破常規(guī)，洞穿問題結(jié)構(gòu)，構(gòu)造數(shù)學(xué)對象.而這個(gè)數(shù)學(xué)對象與所給條件、結(jié)論之間存在某種“關(guān)系”，能使問題趨向簡單化.在構(gòu)造數(shù)學(xué)對象的過程中，學(xué)生的思維不僅得到了提升，并且對原有的知識進(jìn)行了再創(chuàng)造.因此，在高考數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，學(xué)生要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，活躍的數(shù)學(xué)思維，看穿問題本質(zhì)，構(gòu)造新的問題條件特征，從而尋求最佳的解題途徑，達(dá)到高校選拔人才的目的［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］

傅海倫，賈冠軍．?dāng)?shù)學(xué)思想方法發(fā)展概論［M］.濟(jì)南：山東教育出版社，2009.

［責(zé)任編輯：李?璟］