李明娣

［摘? 要］ 隨著新課改的不斷深入，各種新的教學(xué)手段層出不窮，一些教師出現(xiàn)了“教法優(yōu)先，知識(shí)滯后”的問題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的掌握不夠透徹。文章以“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，具體從“借助實(shí)物，初步認(rèn)圓”“活動(dòng)探索，自主畫圓”“練習(xí)訓(xùn)練，實(shí)際用圓”三個(gè)方面踐行深度學(xué)習(xí)理念，探索知識(shí)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。

［關(guān)鍵詞］ 本質(zhì)；探索；深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，掌握其學(xué)習(xí)方法具有重要意義。因存在個(gè)體差異的原因，不同學(xué)生在學(xué)習(xí)方法的接受程度上有較大區(qū)別。為了解決這一問題，筆者進(jìn)行了大量的實(shí)踐與研究，在深度學(xué)習(xí)理念下探索知識(shí)本質(zhì)，充分挖掘?qū)W生的潛能，激活學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)分析

“圓的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)階段抽象程度較高的內(nèi)容，對(duì)思維的要求較高，學(xué)生想要建構(gòu)完整的知識(shí)體系，需要立足深度學(xué)習(xí)才能實(shí)現(xiàn)。本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了一些常見的平面圖形，如長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形等，對(duì)圓的認(rèn)識(shí)有一定的生活基礎(chǔ)。因此，教師要聯(lián)系學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生從多邊形出發(fā)，逐步認(rèn)識(shí)曲線圖——圓。本節(jié)課是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與遷移能力的基礎(chǔ)，能進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生形成良好的探索經(jīng)驗(yàn)奠定基礎(chǔ)。

二、教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 借助實(shí)物，初步認(rèn)圓

（1）用實(shí)物描圓

課堂伊始，教師讓學(xué)生展示從家里帶來(lái)的圓形實(shí)物。（學(xué)生帶來(lái)的實(shí)物有1元硬幣、圓形積木、瓶蓋、茶葉罐等）

師：大家?guī)?lái)的物品非常豐富，比如茶葉罐，它是一個(gè)圓柱體，它的頂或底就是圓形的。這么多圓形物品的呈現(xiàn)，給你們帶來(lái)了什么感受？

生1：圓在我們生活中無(wú)處不在。

師：非常好！圓本身就是由生活實(shí)際中的物品抽象而來(lái)的概念，今天我們就一起來(lái)認(rèn)識(shí)圓這個(gè)圖形。請(qǐng)大家借助自己帶來(lái)的物品，在草稿紙上描一個(gè)圓。

師生活動(dòng)：學(xué)生借助實(shí)物自主進(jìn)行描圓操作，教師隨機(jī)抽取幾個(gè)實(shí)物與學(xué)生所描的圓進(jìn)行展示，要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)在自己的認(rèn)知中什么樣的圖形被稱為“圓”。學(xué)生給出的答案異常豐富，比如首尾相接彎曲的線、首尾相接勻稱的曲線、首尾相接光滑的曲線等。

師：顯然，圓與咱們之前探索過(guò)的其他多邊形有著較大差別，它們的異同點(diǎn)主要體現(xiàn)在哪里？

生2：相同點(diǎn)是多邊形與圓都是由線條圍成的圖形，且具有首尾相接的特點(diǎn)。

生3：不同點(diǎn)是多邊形的邊是線段，圓卻是由曲線構(gòu)成的。

生4：圓沒有頂點(diǎn)，但多邊形都有頂點(diǎn)。

生5：多邊形和圓都屬于平面圖形。

教師充分肯定了學(xué)生的回答，并將學(xué)生的答案稍加整理，讓學(xué)生再描述一遍，幫助學(xué)生梳理知識(shí)要點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)圓與多邊形的異同點(diǎn)有更清晰的認(rèn)識(shí)，為完善知識(shí)結(jié)構(gòu)夯實(shí)基礎(chǔ)。

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)為課堂的起始階段，激趣是教學(xué)的重中之重，實(shí)物展示與描圓活動(dòng)的開展，成功激發(fā)學(xué)生對(duì)圓的探索興趣。學(xué)生自主對(duì)比多邊形與圓的異同點(diǎn)，不僅能在異同點(diǎn)的歸納中提煉圓的特征，而且能為認(rèn)識(shí)圓的本質(zhì)、建構(gòu)概念奠定基礎(chǔ)。

（2）點(diǎn)集合成圓

借助多媒體展示圖1，要求學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：從這張圖中看到了什么？

有的學(xué)生表示自己看到了四個(gè)點(diǎn)，有的學(xué)生認(rèn)為這是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。教師未置可否，而是依次展示圖2所示的圖形，每展示一幅圖，就讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己看到了什么。隨著圖形的陸續(xù)展示，學(xué)生的回答為“點(diǎn)→多邊形→圓”。

師：通過(guò)以上觀察，大家覺得圓是一個(gè)怎樣的圖形？

生5：圓是由多個(gè)點(diǎn)圍成的圖形。

生6：我不這么認(rèn)為，雖然圖2中的最后一幅圖看起來(lái)像個(gè)圓，但它并不是真正的圓，圓應(yīng)該是由一條曲線圍成的，光滑不存在頂點(diǎn)。

師：想得很周全，不過(guò)當(dāng)這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)達(dá)到一定的數(shù)量時(shí)，就形成了圓。這是以后探索的問題，本節(jié)課暫時(shí)將這個(gè)問題放一放，現(xiàn)在我們一起回到圖中的點(diǎn)上，這些點(diǎn)在位置上存在什么共同點(diǎn)嗎？

生7：它們的排列勻稱。

生8：我認(rèn)為在圖形的中間有一個(gè)我們看不到的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圖中所展示的每個(gè)點(diǎn)的距離都一樣。

師：確實(shí)存在這樣一個(gè)看不見的中心點(diǎn)，問題是怎樣才能找到這個(gè)中心點(diǎn)呢？

生9：只要將圖1中對(duì)面的兩個(gè)點(diǎn)分別連接起來(lái)，就能得到一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是我們尋找的中心點(diǎn)。

師：很好！圖1可以這么操作，那么圖2中的幾個(gè)圖形該怎么探尋它們的中心點(diǎn)呢？

生10：同樣分別連接兩組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就能獲得一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是它們的中心點(diǎn)。

師：通過(guò)對(duì)中心點(diǎn)的探索，大家發(fā)現(xiàn)中心點(diǎn)到圖中各個(gè)點(diǎn)的距離都是相等的，對(duì)于圓來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)至關(guān)重要的發(fā)現(xiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：點(diǎn)圖的呈現(xiàn)，意在激活學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生充分感知點(diǎn)與圓之間的關(guān)系。在對(duì)中心點(diǎn)的探索中，教師進(jìn)一步活躍學(xué)生的思維，讓學(xué)生對(duì)“圓心”形成初步認(rèn)識(shí)，為接下來(lái)進(jìn)一步探索圓奠定基礎(chǔ)。

（3）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成圓

教師借助多媒體展示鐘面上的指針旋轉(zhuǎn)一周，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：從中看到了什么？有的學(xué)生表示指針圍繞中心旋轉(zhuǎn)一周，針尖行走形成了一個(gè)圓；有的學(xué)生認(rèn)為針尖行走形成的圓是想象出來(lái)的，并不是真正的圓。

師：鐘面指針運(yùn)動(dòng)一周所形成的圓確實(shí)是想象出來(lái)的，那么究竟什么是真正的圓呢？

生11：將針尖視為一個(gè)點(diǎn)，那么圓就是一個(gè)點(diǎn)圍繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周后所形成的圖形。

生12：還要確定針尖與旋轉(zhuǎn)中心的距離是恒定不變的。

師：大家對(duì)圓的理解越來(lái)越完整了，一點(diǎn)圍繞中心點(diǎn)在距離恒定不變的情況下旋轉(zhuǎn)一周形成了圓，接下來(lái)該怎么研究圓呢？

設(shè)計(jì)意圖：鐘面是學(xué)生熟悉的生活物品，以此為情境帶領(lǐng)學(xué)生探索圓，既貼近學(xué)生的生活，容易讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為深入理解知識(shí)本質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

2. 活動(dòng)探索，自主畫圓

師：通過(guò)以上對(duì)不同圓形物品的感知與探索，大家覺得在畫圓的方法上存在什么局限性嗎？

生13：根據(jù)實(shí)物畫圓，只能畫出與實(shí)物同等大小的圓，若想畫大一些或小一些的圓，必須重新找物品來(lái)畫。

生14：徒手畫圓，肯定畫不圓。

師：確實(shí)存在這些局限性，接下來(lái)我們就一起來(lái)探索怎樣解決畫圓過(guò)程中存在的問題?，F(xiàn)在我給各小組發(fā)放一張上面畫有圓的紙張，請(qǐng)大家進(jìn)行小組合作，想方設(shè)法畫一個(gè)與紙張上大小相等的圓。

生15：想要畫一個(gè)與原圓同等大小的圓，首先需要確定原圓的大小。我們研究發(fā)現(xiàn)，只要找到它的中心點(diǎn)，測(cè)量出中心點(diǎn)與圓邊的距離，就能畫出同等大小的圓了。

師：中心點(diǎn)怎么找呢？

生15：我們將圓剪下來(lái)，然后對(duì)折兩次，折痕的交點(diǎn)就是該圓的中心點(diǎn)。

師：非常好！這里我們研究的中心點(diǎn)就是“圓心”，一般用大寫字母“O”表示，連接圓上任意一點(diǎn)與圓心形成的線段就是半徑，一般用字母“r”表示。只要確定好圓心O與半徑r，圓的大小也就確定了。除了測(cè)量半徑確定圓的大小之外，還有什么辦法可以確定圓的大小呢？

生16：在確定圓心之后，過(guò)圓心畫一條直線，讓該直線貫穿整個(gè)圓，測(cè)量直線與圓相交的兩點(diǎn)間的距離，就能確定圓的大小。

師：如此測(cè)得的線段就是圓的直徑，一般以字母“d”表示。只要知道圓的直徑，那么圓的大小同樣就確定了，接下來(lái)該怎么操作呢？

生17：可以用圓規(guī)作圓。

師：為什么會(huì)想到用圓規(guī)作圓？

生（齊聲答）：因?yàn)槟阕屛覀儙A規(guī)過(guò)來(lái)了（學(xué)生笑）。

師：現(xiàn)在我們用圓規(guī)來(lái)作圓，先作一個(gè)半徑r=4cm的圓，然后作一個(gè)直徑d=8cm的圓，說(shuō)一說(shuō)你們的操作過(guò)程以及用圓規(guī)的注意事項(xiàng)。

學(xué)生自主操作，作r=4cm的圓，先將圓規(guī)腳分開，兩腳之間的距離為4cm，固定圓規(guī)的針腳，旋轉(zhuǎn)另一只腳畫圓，并提出畫圓過(guò)程中要時(shí)刻保持圓的半徑為4cm，不能移動(dòng)或變化大小。

師：為什么畫圓時(shí)的圓規(guī)兩腳間的距離要恒定不變，也不能移動(dòng)呢？

生18：距離一旦發(fā)生變化或移動(dòng)，畫出來(lái)的圓就不圓了。

師：由此可獲得圓的一個(gè)什么特征？

生19：圓心到圓上每一點(diǎn)的距離都相等，而圓是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，因此圓存在無(wú)數(shù)條半徑，且每一條半徑都相等。

師：很好！現(xiàn)在請(qǐng)大家自主嘗試畫幾個(gè)不同半徑的圓，看看這個(gè)結(jié)論是否正確呢？請(qǐng)大家自主畫直徑d=8cm的圓。

學(xué)生自主畫圖，驗(yàn)證圓半徑恒相等的結(jié)論；作直徑為8cm的圓，讓學(xué)生明確在同一個(gè)圓內(nèi)，半徑的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)度的一半，且每一個(gè)圓內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直徑。

師：通過(guò)以上探索，大家已經(jīng)學(xué)會(huì)了畫圓，并初步獲得了圓的一些特征，但這些都是在紙上用圓規(guī)作的圖，若讓你到室外畫一個(gè)直徑為10米的圓，該怎么畫呢？請(qǐng)各小組討論交流，并將結(jié)論展示出來(lái)。

各小組經(jīng)過(guò)合作交流，一致認(rèn)為無(wú)法用圓規(guī)作圖，即使能夠制作出這么大的圓規(guī)，操作也非常困難；不過(guò)有學(xué)生提出，可以先確定某一點(diǎn)為圓心，然后用一根5米長(zhǎng)的繩子就能畫出直徑為10米的圓。

師：為什么要選擇5米長(zhǎng)的繩子，而不選擇10米長(zhǎng)的繩子？具體該怎么操作？

生20：直徑為10米，那么圓的半徑就是5米。操作時(shí)，可以讓一個(gè)人固定好繩子的一端作為圓心，另一個(gè)人拉繩子的另一頭，繞一圈畫圓。

師：操作時(shí)有什么需要特別注意的嗎？

生20：一定要拉緊繩子畫圓，如果不拉緊，畫出來(lái)的圓就會(huì)出現(xiàn)偏差。

師：非常好！現(xiàn)在我們能夠順利畫直徑為10米的圓了。若我們想畫一個(gè)直徑為100米的圓，又該怎么操作呢？

學(xué)生一致表示雖然用“拉繩畫圓”的辦法行不通，但是可以借助繩子來(lái)解決問題。比如先確定好圓心，然后拉緊繩子找十幾個(gè)與圓心距離為50米的點(diǎn)，用光滑的曲線連接這些點(diǎn)就能獲得近似的圓。

設(shè)計(jì)意圖：逐層遞進(jìn)的問題情境成功驅(qū)動(dòng)了學(xué)生開展自主探究、實(shí)踐與思考，學(xué)生在合作交流中不僅明確了圓的直徑與半徑的關(guān)系，還通過(guò)畫不同大小圓方法的探索，確定了同一個(gè)圓內(nèi)存在無(wú)數(shù)條半徑與直徑，且每一條半徑或直徑的長(zhǎng)度均相等。畫直徑為10米與100米的圓方法的探索，進(jìn)一步鞏固了學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生感知畫圓方法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。此環(huán)節(jié)既鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦能力，還有效揭示了圓的本質(zhì)，拔高了學(xué)生的思維。

3. 練習(xí)訓(xùn)練，實(shí)際應(yīng)用

師：請(qǐng)大家取出準(zhǔn)備好的圓形卡紙，若該圓為車輪，那么車軸的位置在哪兒？

生（齊聲答）：圓心。

學(xué)生所闡述的理由是車軸處于圓心位置時(shí)，車子才能平穩(wěn)滾動(dòng)。若將車輪與地面接觸的位置視為一個(gè)點(diǎn)，那么該點(diǎn)與圓心的距離要恒定不變。

師：通過(guò)對(duì)圓心的探索，大家有沒有發(fā)現(xiàn)圓還具備一個(gè)重要特征？

生21：圓是軸對(duì)稱圖形，直徑為對(duì)稱軸。

師：非常好！更準(zhǔn)確地說(shuō)，圓的對(duì)稱軸為直徑所在的直線?，F(xiàn)在大家來(lái)看，我手中有一枚1元硬幣，如果我想要知道這枚硬幣的圓心，該怎么辦呢？這個(gè)問題留給大家課后探索，下節(jié)課討論。

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)學(xué)生初步掌握?qǐng)A的特征后，教師設(shè)計(jì)出“找車軸”的問題，意在進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，并在對(duì)問題的探索中獲得圓的另一個(gè)重要性質(zhì)——軸對(duì)稱。硬幣圓心的探索給學(xué)生留下了懸念，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的探索熱情，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的魅力，使學(xué)生的思維進(jìn)一步獲得發(fā)展，形成深度學(xué)習(xí)。

總之，教師想要真正突破因“教法優(yōu)先，知識(shí)滯后”導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)掌握不透徹的問題，最好的方法就是踐行深度學(xué)習(xí)理念，基于以學(xué)生為主體的視角實(shí)施課堂教學(xué)，讓學(xué)生在自主探索、合作交流與積極思考中不斷發(fā)展思維能力，形成關(guān)鍵性的數(shù)學(xué)品質(zhì)與人格。