羅美秀

［摘 要］新課標要求高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，而數(shù)學實驗教學是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要途徑。文章以“正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象”教學為例，探討數(shù)學實驗教學的具體實施方法。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學實驗；核心素養(yǎng)；正弦函數(shù)；余弦函數(shù)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0005-03

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）指出：“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。”數(shù)學家波利亞指出：“數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數(shù)學像一門系統(tǒng)的演繹科學，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來卻像是一門實驗性的歸納科學?！比欢糠指咧袛?shù)學教師一直采用單一的教學方式——講授式教學，只注重“抽象性”“邏輯性”，忽視“創(chuàng)造性”“實用性”。學生沒有經(jīng)歷知識的形成發(fā)展過程，而是死記硬背知識點，通過聽教師講解、做習題的方式掌握學習內(nèi)容，而這樣的學習模式會讓學生陷入“題?！?，無法觸類旁通、舉一反三。學生每天“埋頭苦干”，但成績依然不理想，久而久之，就對數(shù)學失去學習興趣。

數(shù)學實驗是指在數(shù)學教學過程中為了發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，探究數(shù)學知識，驗證數(shù)學結(jié)論（或假設），而利用有關(guān)工具進行的操作和思維活動。數(shù)學實驗為學生探究數(shù)學奧秘提供了一種有趣的途徑，它能吸引學生的注意力，調(diào)動學生主動參與課堂活動、主動學習、主動思考的積極性。在高中數(shù)學教學中恰當?shù)剡\用數(shù)學實驗，有利于引導學生參與實踐、自主探索、合作交流，有利于引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，提出猜想，驗證猜想，最后解決問題。通過數(shù)學實驗，學生能獲得一個主動學習、積極建構(gòu)新認知結(jié)構(gòu)的學習環(huán)境，能夠培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，從而落實“學生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”的基本理念。

一、課前準備

1.將班級學生分為10個學習小組。

2.讓學生以小組為單位，利用網(wǎng)絡查閱資料了 解沙擺簡諧振動實驗原理。

3.讓學生根據(jù)實驗原理準備好實驗器材（簡易漏斗、細繩、干細沙、白紙、架子等）。

二、教學過程

（一）創(chuàng)設情境，設問導學

［師生活動］重溫沙擺簡諧振動實驗，了解有關(guān)實驗原理。

［學生活動］小組合作進行沙擺簡諧振動實驗，并展示小組的實驗成果。

［教師活動］對學習小組的實驗過程和實驗結(jié)果進行點評，并針對學生的實驗成果提出問題：每個小組的實驗成果都是一條優(yōu)美的曲線，這樣的曲線要用什么函數(shù)來刻畫呢？

設計意圖：利用沙擺簡諧振動實驗吸引學生的注意力，讓學生快速進入學習狀態(tài)。通過小組合作進行沙擺簡諧振動實驗，使學生體會實踐的樂趣，直觀感知正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的形成過程，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)。借助實驗使學生產(chǎn)生情感共鳴，引出本節(jié)課的課題。

（二）實驗引領(lǐng)，探索新知

［教師活動］以實驗為引領(lǐng)，提出以下問題，引導學生探索新知。

問題1：正弦函數(shù)的定義是什么？能否利用正弦函數(shù)的定義畫出其圖象？

設計意圖：通過回顧，引導學生明確正弦函數(shù)的定義及正弦函數(shù)與單位圓之間的關(guān)系，為畫正弦函數(shù)的圖象做準備。

問題2：你能畫出當[x]的值分別為0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]時對應的正弦函數(shù)[y=sinx]圖象上的點嗎？

［師生活動］結(jié)合單位圓和正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標系中畫出[x0]的值分別為0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]時對應的正弦函數(shù)圖象上的點T（x0，sin x0）（如圖1）。

設計意圖：引導學生結(jié)合正弦函數(shù)的定義在平面直角坐標系中畫出正弦函數(shù)圖象的特殊點，深化學生對正弦函數(shù)定義的理解；讓學生結(jié)合點的坐標的幾何意義，準確描點，使學生直觀感受正弦函數(shù)圖象的畫法，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

問題3：你能畫出正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象嗎？

生1：只要在[0，2π]上取足夠多的點T（x0，sin x0），并用光滑的曲線將這些點連起來，就可以得到正弦函數(shù)的圖象。

問題4：這樣的函數(shù)圖象精確嗎？

生2：不夠精確。因為畫圖時只是用了圖象的一些點，而不是全部，所以不夠精確。

［教師活動］利用希沃白板的作圖工具畫出正弦函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象（如圖2），并與圖1作比較。

設計意圖：利用希沃白板的作圖工具輔助教學，展示正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象的形成過程，使學生理解正弦函數(shù)的圖象與定義之間的聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想，為后續(xù)的“五點法”作圖奠定基礎(chǔ)。

問題5：在精確度要求不高的前提下，如何快速畫出正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象？

［學生活動］觀察圖象并自行找出快速畫圖的關(guān)鍵點。

［教師點評］在精確度要求不高的情況下，只需畫出正弦函數(shù)的五個關(guān)鍵點：[（0，0）]，[π/2，1]，[（π，0）]，[3π/2，-1]，[（2π，0）]，就可以畫出正弦函數(shù)圖象?？偨Y(jié)“五點法”作圖的步驟：列表（列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五個點的坐標）、描點（描出五個關(guān)鍵點）、連線（用光滑的曲線順次連接五個點）。

設計意圖：通過問題5，引導學生觀察正弦函數(shù)的圖象，概括其特征，獲得“五點法”作圖的簡便畫法，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)。

［例1］畫出[y=1+sinx]，[x∈0.2π]的簡圖。

［學生活動］小組合作探究并利用希沃授課助手展示交流。

［教師活動］對學生的探究成果進行點評，分析如何找出作圖的五個關(guān)鍵點，點出例1的易錯點。

設計意圖：加深學生對“五點法”作圖的理解；引導學生進行小組合作探究，培養(yǎng)學生的合作意識。

問題6：如何得到正弦函數(shù)在R上的圖象？

［教師活動］引導學生通過“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”這一知識點發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=sinx]，[x∈2kπ，2（k+1）π]，[k∈N*]且[k≠0]的圖象與函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象形狀完全一樣，只需將[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象不斷地向左或向右平移[2π個]單位長度就可以得到正弦函數(shù)在[R]上的圖象（如圖3）。

設計意圖：引導學生利用誘導公式[sin2kπ+x=sinx]，[k∈Z]，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化周期為[2kπ]，將函數(shù)的定義域由[0，2π]推廣到[R]，將函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象不斷向左或向右平移[2π]個單位長度可得到正弦函數(shù)在R上的圖象；利用信息技術(shù)展示圖象平移過程，讓學生直觀感受圖象的形成。

問題7：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)有什么聯(lián)系？

問題8：通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數(shù)的圖象變換為余弦函數(shù)的圖象？

［教師活動］引導學生探究正弦函數(shù)[y=sinx]與余弦函數(shù)[y=cosx]的關(guān)系，并由“[y=cosx=sinx+π/2]”發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的聯(lián)系。

[y=sinx的圖象向左平移π/2個單位長度y=cosx=sinx+π/2]的圖象（如圖4）。

設計意圖：讓學生通過實驗論證推理結(jié)論，體會誘導公式是圖象變換的代數(shù)依據(jù)；讓學生體驗將正弦函數(shù)的圖象向左平移[π/2]個單位長度后得到余弦函數(shù)的圖象，增強學生對兩個函數(shù)圖象聯(lián)系性的認識。

問題9：你能找出畫余弦函數(shù)[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象的五個關(guān)鍵點嗎？

［教師活動］引導學生類比畫正弦函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]圖象的五個關(guān)鍵點的方法，快速找出畫余弦函數(shù)[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象五個關(guān)鍵點。

［學生活動］分組討論，找出畫余弦函數(shù)[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象的五個關(guān)鍵點為[（0，1）]，[π/2，0]，[（π，-1）]，[3π/2，0]，[（2π，1）]。

設計意圖：引導學生類比“五點法”作正弦函數(shù)的圖象，快速畫出余弦函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學生的類比思想。

［例2］畫出[y=1-cosx]，[x∈0，2π]的簡圖。

［學生活動］小組合作探究。

設計意圖：讓學生合作探究，進一步加深對“五點法”作圖的理解，同時檢測學生對“五點法”作圖的掌握情況。

（三）課堂小結(jié)，升華知識

教師通過思維導圖，引導學生歸納總結(jié)本節(jié)課的重點內(nèi)容（如圖5）。

設計意圖：通過思維導圖，將本節(jié)課的知識點形成知識網(wǎng)絡，便于學生理解知識的形成過程，加深學生對知識的理解，提升學生的學習效果。

三、教學反思

數(shù)學實驗教學是一種高效的教學模式，是探究數(shù)學新知的重要途徑。如何才能更好地利用數(shù)學實驗輔助教學呢？筆者覺得可從以下幾個方面入手。

（一）深挖教材中的數(shù)學實驗案例

高中數(shù)學教材中的思考、探究、課后閱讀等板塊含有很多數(shù)學實驗案例，這些數(shù)學實驗案例類型較多，如操作性數(shù)學實驗、思維性數(shù)學實驗、計算機模擬實驗等。為幫助學生理解邏輯性、抽象性很強的數(shù)學知識，教師要細讀、精讀教材，深挖教材的數(shù)學實驗案例，同時要與時俱進，熟悉各種常用的信息技術(shù)、教學軟件，根據(jù)教學內(nèi)容和學生學情巧妙設計教學情境，帶領(lǐng)學生在數(shù)學實驗中獲取新知，體驗數(shù)學實驗的樂趣，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

（二）采用問題引領(lǐng)數(shù)學實驗的教學方式

在數(shù)學實驗教學中，教師要設計合理有效的問題。問題引領(lǐng)下的數(shù)學實驗教學是啟發(fā)學生思考、探索新知，培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要教學方式。教師在設計問題前，要深挖教材，充分利用教材資源，將知識與實際問題相結(jié)合，設計既相互獨立又有聯(lián)系的問題，讓學生在解決問題的過程中鞏固知識，實現(xiàn)知識的內(nèi)化與靈活運用。另外，教師要注意問題的多樣性，讓學生能夠?qū)W會從不同的角度思考問題，同時也要注意問題的挑戰(zhàn)性，由易到難，由淺入深，提高學生的思維能力。

（三）落實合作探究與交流的學習方式

通過合作探究與交流，學生能經(jīng)歷知識的形成過程，深刻理解知識，牢固掌握知識，能夠靈活運用知識解決問題。在數(shù)學實驗教學中，教師要為學生創(chuàng)造合作學習環(huán)境，引導學生小組合作進行實驗探究，同時借助信息技術(shù)實現(xiàn)組與組之間的交流。小組合作探究，不僅可以讓學生從多方面分析問題，深化對問題的理解，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，在交流探究結(jié)果中找到問題的最優(yōu)解，還可以充分調(diào)動學生學習的積極性，讓學生積極參與學習，同時提高學生的合作學習能力。

（四）充分利用信息技術(shù)豐富學習資源

《課標》指出要注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合。學習是接收、處理、內(nèi)化外部信息的過程，但數(shù)學具有很強的邏輯性和抽象性，而學生的認知水平有限，邏輯思維能力也存在一定的局限性，對數(shù)學知識還不能夠完全理解，并進行內(nèi)化。因此，教師需要將數(shù)學知識進行處理，使其具體化，幫助學生更好地接收、理解、內(nèi)化、運用知識。近年來，隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，涌現(xiàn)出了很多教學軟件，為高中數(shù)學教學提供了更多、更便利的條件。利用信息技術(shù)輔助高中數(shù)學教學，不僅能為學生提供豐富的學習資源，還可以通過具體的圖象呈現(xiàn)抽象的數(shù)學知識，進一步加深學生對知識的理解，幫助學生實現(xiàn)知識遷移與運用，使學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)得到有效提高。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 賴偉倫.開展數(shù)學實驗，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)［J］.中學數(shù)學雜志，2003（10）：12-14.

［3］? 師曉娜.創(chuàng)設真實問題情境，引發(fā)探究學習興趣［J］.小學科學（教師版），2016（1）：106-107.

（責任編輯 黃桂堅）