韓程霞

摘要：文章以“合并同類項(xiàng)”為例展示單元整體視角下的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)過程，即從整體視角分析課時(shí)內(nèi)容，明確需要解決的根本問題，遵循概念教學(xué)的基本流程，以“任務(wù)—設(shè)計(jì)—分析”為思路進(jìn)行具體闡述，嘗試用案例分析的方法探索單元整體設(shè)計(jì)路徑，并基于實(shí)踐提煉出需要恪守的原則.

關(guān)鍵詞：單元整體；課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)；路徑

本文中以單元整體思考下的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)（合并同類項(xiàng)）為主線，遵循概念教學(xué)的基本流程，針對(duì)課時(shí)中的每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，以“任務(wù)（需要解決的問題）—設(shè)計(jì)—分析（如何解決）”為思路，嘗試從宏觀到微觀、從方法到思想，探索單元整體視角下的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)路徑.

1 從整體視角分析課時(shí)內(nèi)容

“合并同類項(xiàng)”處于“代數(shù)領(lǐng)域→數(shù)與式主題→整式加減”教學(xué)單元，涉及數(shù)式通性和歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法，其關(guān)系如圖1所示.

“式”是“數(shù)”的拓展，教學(xué)中必須關(guān)注數(shù)到式的自然過渡.其中，整式作為一個(gè)具體研究對(duì)象，其研究方法類比數(shù)的研究思路，整式加減的教學(xué)重點(diǎn)是運(yùn)算法則，而合并同類項(xiàng)是整式加減運(yùn)算的核心所在.因?yàn)椤皻w納”是合并同類項(xiàng)最為根本的研究方法，所以“合并同類項(xiàng)”的教學(xué)思路定格為運(yùn)用歸納的方法教概念、法則，用類比數(shù)的運(yùn)算自然地體現(xiàn)數(shù)到式的拓展，彰顯數(shù)式通性.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 引入

從單元整體聚焦到具體課時(shí)，首先需要勾勒出一個(gè)基于代數(shù)運(yùn)算的大視角，幫助學(xué)生在整體格局下明確將要完成的學(xué)習(xí)任務(wù).

設(shè)計(jì)：“之前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，運(yùn)算的對(duì)象都是數(shù).那么，數(shù)及其運(yùn)算是如何操作的？有哪些運(yùn)算？經(jīng)過前面對(duì)整式概念的學(xué)習(xí)，對(duì)于新的運(yùn)算對(duì)象，可以類比數(shù)的運(yùn)算，思考如何構(gòu)建式的運(yùn)算體系.”

在數(shù)的學(xué)習(xí)階段，學(xué)生已經(jīng)知道數(shù)的加與減、乘與除、乘方與開方運(yùn)算的互逆關(guān)系，并且掌握了運(yùn)算律.在本節(jié)課之前已經(jīng)給出了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念，這意味著新的代數(shù)運(yùn)算對(duì)象已經(jīng)產(chǎn)生.這寥寥數(shù)語告訴學(xué)生，本節(jié)課將要遵循研究規(guī)律構(gòu)建代數(shù)式的運(yùn)算體系，為代數(shù)式的運(yùn)算建立開端.從整體視角看，整式的運(yùn)算將要經(jīng)歷加減、乘除過程，基于思想方法的一致性，在研究內(nèi)容拓展的過程中不斷重復(fù)代數(shù)體系的研究思路，有助于學(xué)生形成認(rèn)識(shí)問題、解決問題的基本方法.

2.2 獲取研究對(duì)象

2.2.1 從數(shù)到式自然遷移

勾勒出研究思路之后，聚焦具體課時(shí)操作自然會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問題：式是數(shù)的進(jìn)一步抽象及推廣，但是式又不等同于數(shù)，那么整式到底能不能相加呢？本環(huán)節(jié)需要解決“整式能不能相加”這一問題，研究從單項(xiàng)式開始.

設(shè)計(jì)：以下問題怎樣運(yùn)算最合理？

①34×5+66×5； ②34×52+66×52；

③34×5×8+66×5×8.

追問：將上述問題中的5換成a，8換成b，還能運(yùn)算嗎？

上述運(yùn)算具有明顯的結(jié)構(gòu)特征，這是考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)是新舊知識(shí)相互影響與整合的過程，新舊知識(shí)間相似的成分越多越容易發(fā)生遷移.追問設(shè)計(jì)的意圖在于處理好從數(shù)“通”到式的過程：借助“字母表示數(shù)”的意義，用字母“替換”數(shù)字，完成從數(shù)到式的學(xué)習(xí)遷移，明確這樣的式可以運(yùn)算，并且只有使用分配律，才能通過改變運(yùn)算順序?qū)蓚€(gè)同類單項(xiàng)式合并為一個(gè)式子.從思想方法層面看，用好數(shù)式通性來設(shè)計(jì)路徑.

2.2.2 認(rèn)識(shí)新的運(yùn)算對(duì)象

數(shù)的運(yùn)算是“分類”計(jì)算的（整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、無理數(shù)等都一樣），因此，類比數(shù)的研究進(jìn)一步聚焦視線：什么樣的兩個(gè)式可以相加？

設(shè)計(jì)：2ab+3mn，2a+3a2，2ab+3ab能不能相加？

引導(dǎo)學(xué)生從一般視角入手獲得研究對(duì)象，通過歸納形式差異建立“類”的意識(shí)是設(shè)計(jì)出發(fā)點(diǎn).這個(gè)設(shè)計(jì)中包括了兩個(gè)單項(xiàng)式可能出現(xiàn)的全部類型：兩個(gè)單項(xiàng)式中沒有相同的字母（如2ab與3mn類型），無法相加；有相同的字母，但是字母個(gè)數(shù)（指數(shù)）不同（如2a與3a2類型），也無法相加；兩個(gè)單項(xiàng)式字母相同且字母指數(shù)相同，可以相加（如2ab與3ab類型）.其中，第三種類型可以基于運(yùn)算律相加得到一個(gè)新的單項(xiàng)式5ab，這樣的兩個(gè)單項(xiàng)式具有研究的價(jià)值，從而獲得本節(jié)課的研究對(duì)象.

上述設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，目的在于解決好“是不是任意兩個(gè)單項(xiàng)式都能相加？怎樣的兩個(gè)單項(xiàng)式相加才能得到一個(gè)單項(xiàng)式”的問題，同時(shí)做好對(duì)“類”的認(rèn)識(shí)的拓展.

2.3 概念屬性歸納

2.3.1 從結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)同類項(xiàng)

解決好“能不能加”的問題后，本環(huán)節(jié)要解決“怎么加”的問題，這也是課時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)所在.實(shí)際上這一環(huán)節(jié)要?dú)w納出，能夠相加的兩個(gè)單項(xiàng)式需要具有相同的結(jié)構(gòu)，這樣才可以使用分配律，在此基礎(chǔ)上歸納出同類項(xiàng)的概念以及合并同類項(xiàng)的法則.

設(shè)計(jì)：這一組問題能不能運(yùn)算？

（1）－3m+5m；?? （2）x2y－13x2y；

（3）－5x5y4+7x5y4；（4）2m2n6－9m2n6；

（5）ab3－7ab3+2ab3；（6）2ab2c－ab2c+4ab2c.

從教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“結(jié)構(gòu)”相同高度敏感，能夠主動(dòng)調(diào)取數(shù)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，將運(yùn)算律推廣到結(jié)構(gòu)相同的式的運(yùn)算中，依據(jù)數(shù)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)歸納概括出一些簡單“結(jié)論”，如“每個(gè)問題中的兩個(gè)（或多個(gè)）單項(xiàng)式除了數(shù)字以外都是相同的……”，盡管這樣的表述不夠精準(zhǔn)，但卻是知識(shí)的正向遷移過程，主動(dòng)將分配律推廣到式的運(yùn)算中.其實(shí)，這段材料中的思想方法絕不止于此，由于“字母表示數(shù)”，因此運(yùn)算律在式的運(yùn)算中依舊成立，所以數(shù)式通性是根本指導(dǎo)思想.

2.3.2 歸納要素，獲得概念和法則

設(shè)計(jì)：對(duì)于以上每一組“結(jié)構(gòu)相同”的單項(xiàng)式，可以利用分配律相加.那么到底什么是“結(jié)構(gòu)相同”？這樣一個(gè)模糊的表述能否用單項(xiàng)式的要素加以解釋？這樣的每兩個(gè)單項(xiàng)式的要素之間滿足怎樣的關(guān)系？

同類項(xiàng)概念是本節(jié)課的重點(diǎn)，對(duì)要素的歸納過程是本節(jié)課的難點(diǎn)，難在概念的歸納與它的上位概念單項(xiàng)式相關(guān)，因此設(shè)計(jì)了一組問題串引發(fā)學(xué)生的思考.具體教學(xué)中可以以直觀的形式對(duì)單項(xiàng)式的要素作分析，如圖2：

在分析了同類項(xiàng)的要素特征后，需進(jìn)一步追問：在合并同類項(xiàng)的過程中為什么可以將系數(shù)相加，字母連同指數(shù)不變？這樣操作的理由需進(jìn)一步明確：字母可以表示數(shù)，所以在數(shù)中成立的所有規(guī)律，在式中都可以沿用，這是數(shù)式通性的體現(xiàn).

上述設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是根據(jù)要素特征歸納出同類項(xiàng)的概念和法則，用加數(shù)與和的關(guān)系歸納出同類項(xiàng)的本質(zhì)特征代替模糊表述的“結(jié)構(gòu)”，即“所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同”是兩個(gè)單項(xiàng)式能夠相加的基礎(chǔ).通過進(jìn)一步歸納獲得同類項(xiàng)的概念以及合并同類項(xiàng)的法則，在數(shù)式通性思想下使用分配律獲得概念與法則，歸納、轉(zhuǎn)化等思想方法同步得到滲透.

2.4 落實(shí)運(yùn)算技能

從概念教學(xué)流程來看，獲得概念與法則之后，落實(shí)運(yùn)算技能是必備環(huán)節(jié).另外，“合并同類項(xiàng)”向上承接單項(xiàng)式（整式）概念，向下為整式加減提供運(yùn)算原理，處于整式加減運(yùn)算的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，是第一次對(duì)式實(shí)施運(yùn)算，因而是式的運(yùn)算開端，所以本環(huán)節(jié)需要在闡明原理的基礎(chǔ)上規(guī)范思考，形成解決問題的基本步驟.

設(shè)計(jì)：

例1 合并多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)4x2－2x+7+3x－8x2.

例2 （1）求多項(xiàng)式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x=1.

（2）求多項(xiàng)式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x1=－1.8，x2=53，x3=－998.

考慮到同類項(xiàng)的概念主要通過具體運(yùn)算來落實(shí)，因而設(shè)計(jì)中沒有單獨(dú)的“概念辨析”環(huán)節(jié)，而是將其隱含在例1中，以辨析（同類項(xiàng)概念）—分組（加法交換律結(jié)合律的使用）—合并（合并同類項(xiàng)法則的使用）來實(shí)現(xiàn).而例2不但承載了步驟化解題的功能，還兼顧了方法的合理選擇功能.第（1）問中，對(duì)于x=1而言，無論是先合并后代入（式的運(yùn)算），還是直接代入（轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算）均比較簡單，為后續(xù)形成認(rèn)知沖突埋下伏筆.第（2）問需要合理選擇方法，幫助學(xué)生體驗(yàn)多項(xiàng)式運(yùn)算的結(jié)果具有一般性，只需對(duì)合并之后的結(jié)果取特殊值即可，如果將多項(xiàng)式的加減轉(zhuǎn)化成熟悉的有理數(shù)運(yùn)算，不但不具有一般性，而且復(fù)雜易出錯(cuò).

從能力培養(yǎng)層面看，合并同類項(xiàng)的步驟化操作中蘊(yùn)含著運(yùn)算技能的培養(yǎng)：運(yùn)算對(duì)象的認(rèn)識(shí)（明確觀察式子，劃出同類項(xiàng)）—運(yùn)算方法的認(rèn)識(shí)（用運(yùn)算律進(jìn)行項(xiàng)的交換、結(jié)合等）—按步驟進(jìn)行操作（得到運(yùn)算結(jié)果）—形成自動(dòng)化（思維和能力提升）.對(duì)思維的邏輯性的培養(yǎng)，使解決問題的過程更加有序，從更高層次看是培養(yǎng)學(xué)生良好的做事情習(xí)慣.

2.5 構(gòu)建知識(shí)框架

2.5.1 課時(shí)小結(jié)

設(shè)計(jì)：①本節(jié)課主要學(xué)了什么知識(shí)？②為什么式的運(yùn)算可以使用運(yùn)算律？③同類項(xiàng)的概念和合并同類項(xiàng)法則是怎樣獲取的？④你有辦法解決兩個(gè)多項(xiàng)式加減問題嗎？

這幾個(gè)問題不但回顧了本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容、研究思路，還結(jié)合教學(xué)內(nèi)容揭示了所反映的數(shù)學(xué)思想和方法，以期達(dá)到理解本質(zhì)、領(lǐng)悟思想、掌握方法、形成結(jié)構(gòu)等目的.

2.5.2 單元小結(jié)

從單元整體視角來看，每一節(jié)課教學(xué)都是構(gòu)建單元知識(shí)體系過程中的具體環(huán)節(jié)，因此單元教學(xué)完成后，仍需進(jìn)一步小結(jié)并構(gòu)建單元知識(shí)框架，如“整式加減”單元框架（如圖3）.

2.5.3 主題小結(jié)

從數(shù)學(xué)的整體性來看，單元與單元之間的有機(jī)銜接形成教學(xué)主題.基于這樣的觀點(diǎn)，同一主題之下不同單元的學(xué)習(xí)過程是更大的知識(shí)框架建構(gòu)的過程，也是統(tǒng)一認(rèn)識(shí)的過程.如整式的加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算全部學(xué)完后，可以構(gòu)建“數(shù)與式”的運(yùn)算研究結(jié)構(gòu)框架圖（如圖4），將式與數(shù)的研究方式統(tǒng)一.從本質(zhì)上看，整式的運(yùn)算是數(shù)的運(yùn)算的推廣，因而數(shù)的運(yùn)算的全部法則和運(yùn)算律在整式運(yùn)算中都沒有發(fā)生改變，數(shù)式通性是研究思想，歸納是基本研究方法.點(diǎn)滴積累，反復(fù)實(shí)踐都是對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的培育和提升.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)思考

對(duì)于單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，還需要遵循以下原則.

3.1 遵循數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律

任何一節(jié)課在單元整體視角之下都有其所屬的“領(lǐng)域→主題→單元”，不同的視角對(duì)教學(xué)有不同的要求，如“用歸納的方法研究代數(shù)、用類比的方法研究幾何”是“領(lǐng)域”視角下的研究要求；“數(shù)式通性”是對(duì)“主題（單元）”視角下的研究要求.這些反復(fù)強(qiáng)調(diào)的思想方法和教學(xué)手段是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律和一般觀念的遵循.事實(shí)上，由于同一類數(shù)學(xué)對(duì)象的研究套路、數(shù)學(xué)思想和方法一脈相承，因此教學(xué)設(shè)計(jì)必有其可以遵循的內(nèi)在規(guī)律，要從更高的視角認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，用相同的套路解決不同的問題，從知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、綜合應(yīng)用上進(jìn)行系統(tǒng)整合.

3.2 尊重不同課型差異

本文中的案例是一節(jié)概念教學(xué)課，因而以概念教學(xué)基本流程為明線，融思想方法于其中展開設(shè)計(jì)，所闡述的操作路徑分析僅限于新授課.事實(shí)上，由于課型不同（概念課、規(guī)則課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課等）、學(xué)習(xí)階段不同，對(duì)學(xué)生能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)各有側(cè)重，因此教學(xué)設(shè)計(jì)要關(guān)注課型差異，根據(jù)課型功能對(duì)設(shè)計(jì)做出相應(yīng)調(diào)整.

3.3 明確主導(dǎo)突出主體

單元整體教學(xué)需要教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，從師生所擁有的知識(shí)水平來看，學(xué)生顯然不具備縱觀知識(shí)整體的水平，教師要做學(xué)生思維的引領(lǐng)者，圍繞核心概念通過合理的問題設(shè)計(jì)，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)階梯，引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)意愿，讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生.“用數(shù)學(xué)的方式育人”是數(shù)學(xué)教育的最終落腳點(diǎn).