作者簡介：廖镠，1974年生，廣西橫州人，本科，高級教師，主要研究方向為初中數(shù)學教學及學生行為習慣養(yǎng)成。

摘 要：九年級數(shù)學綜合復習課的學習效果直接影響學生的數(shù)學中考備考。教師應以整體性和系統(tǒng)性思維為核心，將初中數(shù)學教材中零散的知識點重新整合成一個個知識模塊，以技能的訓練、概念知識的關聯(lián)、數(shù)學思想方法的提煉等分別構建尺規(guī)作圖專題復習課、平行四邊形專題復習課和二次函數(shù)專題復習課，從教學實踐出發(fā)發(fā)揮學生的學習主體作用，落實專題復習的專項訓練，從而提高九年級數(shù)學專題復習的教學質量。

關鍵詞：初中數(shù)學；專題復習；尺規(guī)作圖；平行四邊形；二次函數(shù)

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）10-0114-04

復習是學生再認識和深化理解已學知識，對知識進行歸納和總結，形成知識體系的過程。復習課用于指導學生復習，幫助學生查漏補缺，鞏固基礎知識和基本技能，使學生所學知識系統(tǒng)化、結構化，進而提高學生的學業(yè)水平。目前初中九年級數(shù)學綜合復習教學存在一些問題，影響了學生的數(shù)學中考備考。如：部分教師在復習課中仍然堅持按照教材所規(guī)定的章節(jié)進行按部就班、形式單一的練習，不利于學生構建知識框架；部分教師在復習階段，沒有幫助學生構建數(shù)學模型發(fā)展學生數(shù)學認知，而是讓學生盲目刷題，導致學生復習效率低下。學生在有限的備考時間內無法將數(shù)學知識連成一個有機的整體，不能內化和掌握技能、方法，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力便得不到提高［1］。如何遵循正確的途徑和方法進行高效的復習課教學呢？筆者結合多年初中數(shù)學教學實踐，提出了專題復習教學策略。

專題復習教學是一種以特定主題為基礎，教師將相關知識有機融合，遵循鞏固性、綜合性、層次性、遷移性原則組織學生進行高效復習的一種復習課教學方法，有利于全面提高學生分析問題、解決問題的能力。在初中數(shù)學九年級綜合復習中，專題復習體現(xiàn)了教師的知識整合能力和綜合教學能力。教師以整體性和系統(tǒng)性思維為核心，將初中數(shù)學教材中零散的知識點重新整合成一個知識模塊，構建知識網(wǎng)絡，梳理知識之間的關系，歸納出相關的數(shù)學模型，與學生探討解決問題的方法技能，促使學生更好地總結、提煉數(shù)學思想方法，構建完整的數(shù)學知識體系。專題復習的切口較小，可以避免學生出現(xiàn)思維跳躍的狀況，降低復習的難度，提高復習的效率［2］。

一、以技能的訓練構建尺規(guī)作圖專題復習課

在九年級數(shù)學綜合復習中，教師可以根據(jù)學生的實際情況對章節(jié)知識進行整理，制作成數(shù)學技能訓練專題課，讓學生對數(shù)學技能進行系統(tǒng)的復習。教師引導學生積極參與技能訓練，分情況、分種類對技能進行強化，有利于學生深入學習知識和運用技能解決問題。尺規(guī)作圖是中考必考內容之一，每一項作圖技能學生都必須熟練掌握，因此教師應把尺規(guī)作圖作為重點技能進行專題訓練。

（一）尺規(guī)作圖專題復習應注意的教學環(huán)節(jié)

在初中數(shù)學尺規(guī)作圖專題復習中，學生需要通過掌握尺規(guī)作圖的基礎知識和基本工具、了解不同作圖命題和相關的幾何概念、熟悉常見的作圖構造和技巧等，不斷提高自己的答題能力。初中階段的尺規(guī)作圖主要有過一個點作已知直線的垂線、作已知線段的垂直平分線、截取線段等于已知線段、作一個角等于已知角、作一個角的角平分線。教師可以依照“知識導入—原理解釋—基本規(guī)則—練習演示—錯誤分析—拓展應用”教學環(huán)節(jié)（如表1），引導學生復習尺規(guī)作圖相關知識。學生通過實踐練習，可逐漸提高在尺規(guī)作圖方面的解題技巧與學業(yè)水平。

表1 尺規(guī)作圖專題復習應注意的教學環(huán)節(jié)

[教學環(huán)節(jié) 復習內容 知識導入 引導學生回顧相關的幾何基礎知識，如線段垂直平分線的性質、角平分線的性質等，提出問題，使學生產生用尺規(guī)作圖的需要，從而了解尺規(guī)作圖的重要性 原理解釋 向學生簡要介紹尺規(guī)作圖的原理和基本概念，如尺子、圓規(guī)的用途及特點等。解釋清楚尺規(guī)作圖是基于已知條件利用尺規(guī)進行構圖的方法 基本規(guī)則 詳細介紹尺規(guī)作圖的基本規(guī)則和步驟，如利用尺規(guī)作等分線段、平行線、垂直線、角平分線等操作，強調每一步的操作要點和技巧 練習演示 給學生提供一些簡單的練習題，演示具體的尺規(guī)作圖過程。選擇一些具有代表性的例題，讓學生跟隨教師一起完成作圖，并解釋每一步的操作原因和思路 錯誤分析 引導學生分析常見的尺規(guī)作圖錯誤原因，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題并提出改進方法，培養(yǎng)學生的觀察能力和創(chuàng)新思維 拓展應用 給學生提供一些有挑戰(zhàn)性的綜合性問題，讓學生嘗試運用尺規(guī)作圖解決，培養(yǎng)學生的問題分析和解決能力 ]

（二）復習中注意將作圖原理與作圖技巧相結合

尺規(guī)作圖專題復習的教學目標是提高學生的思維能力和解題技巧，幫助學生高效完成作圖任務。學生在解答作圖題時，要清晰地表達出每個步驟的邏輯推理和依據(jù)，以確保解答的科學性、嚴密性和準確性。教師要利用初中數(shù)學學業(yè)水平考試試題中的作圖題對學生進行鞏固訓練，讓學生把五種基本作圖原理牢記于心，掌握常見的作圖技巧。

例如，作已知角的角平分線、作兩條已知線段的等分線，是解決一些較為復雜的作圖問題的基礎。教師可以設計尺規(guī)作圖訓練題（如圖1），通過一圖專訓的專題設計方法，讓學生體會到五種基本作圖原理與技巧在實戰(zhàn)中的應用。

[例題：已知Rt△ABC，∠C=90°，請同學們運用尺規(guī)作出∠ABC的角平分線，交AC于點D。

]

圖1 尺規(guī)作圖訓練題

教師結合題目引導學生回顧作角平分線的知識，并演示具體的尺規(guī)作圖過程：首先以點B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交AB、BC邊于點G、H；其次分別以點G、H為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內相交于點P，最后連接BP并延長交AC邊于點D，線段BD即是所求∠ABC的角平分線。畫角的平分線并不復雜，但是理解作圖原理，明白其中半徑的限定條件，卻是學生容易忽視的知識內容。因此，教師結合畫圖操作提出問題：“畫法中的半徑a、b的值有無限制？”學生在教師的問題驅動下嘗試幾種畫法，最后總結得出半徑a>0，半徑b>[12]GH的結論。教師還可以利用一圖多問的不同設問形式，如作AC邊的垂直平分線、作AB邊的中線、作AB邊上的高、過點C作直線CF∥AB等，幫助學生掌握尺規(guī)作圖的基本方法和技巧。

教師在尺規(guī)作圖解答問題的演示過程中，應該清晰地演示每一步的操作，并引導學生思考和討論；根據(jù)學生的實際水平和能力，將尺規(guī)作圖與其他數(shù)學知識相聯(lián)系，如與平面幾何、三角函數(shù)等內容進行關聯(lián)，幫助學生深入理解基本作圖原理和運用尺規(guī)作圖解決數(shù)學問題的方法，培養(yǎng)學生的幾何思維。

二、以概念知識的關聯(lián)構建平行四邊形專題復習課

初中數(shù)學復習課的教學重點在于指引學生主動回顧、整理知識，梳理知識脈絡，將零散的知識點有機地連接起來，從而實現(xiàn)對所學知識的融會貫通［3］。數(shù)學中考一般會結合平移、折疊、軸對稱等綜合性問題對平行四邊形的概念、性質和判定方法進行考查。在平行四邊形專題復習課中，教師應該以概念知識、圖形的變化等設問，讓學生思考、討論和解答，培養(yǎng)學生的問題分析能力和問題解決能力。同時教師還應提供一些拓展性的題目，激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和綜合應用能力，提高數(shù)學素養(yǎng)。

（一）運用概念圖進行平行四邊形概念知識的復習

平行四邊形包含了矩形、正方形和菱形，每一種圖形至少有兩種判定方法。在解題過程中，學生需要通過一定的方法證明圖形是平行四邊形或是哪一種特殊的平行四邊形。學生會出現(xiàn)審題困難和概念知識混淆的狀況，難以通過概念、性質和判定方法進行證明。在平行四邊形專題復習課中，教師可引導學生回顧平行四邊形的知識點，通過繪制概念圖展示圖形的差異性（如圖2），在概念圖中注明判定方法，幫助學生理解一般平行四邊形與特殊平行四邊形的關系。

概念圖是一種以節(jié)點為代表、以連線為表達方式的圖形展示方法，用以呈現(xiàn)概念之間的關系。一般平行四邊形與特殊平行四邊形概念圖不僅能以清晰明了的方式呈現(xiàn)各類圖形之間的相互關系，而且能清晰地呈現(xiàn)各類圖形的判定方法。

圖2 一般平行四邊形與特殊平行四邊形概念圖

（二）通過題目條件的變化進行變式訓練

教師在對平行四邊形題目進行講解時，可以對一個圖形加以剖解，讓學生抓住圖形中的概念知識抽象出來形成模型，通過題目條件的變化進行變式訓練，加深學生對平行四邊形判定方法的理解，培養(yǎng)學生對知識的遷移運用能力。當學生遇到同類型題目時，就會有正確的思考方向和解題方法。

綜合性復習需要學生具備較高的綜合知識運用能力，教師在專題復習教學中應注重變式訓練，引導學生獨立思考和解決問題。針對平行四邊形的判定例題（如圖3），教師先讓學生通過判定方法推導出四邊形EGFH是平行四邊形。接著，教師示范給題目添加條件，如添加了“EF⊥GH”這個條件，使得四邊形EGFH轉變?yōu)閷蔷€互相垂直的菱形。

[例題：在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O畫出直線EF、GH分別與平行四邊形的邊相交，連接EG、GF、FH、HE如圖所示。請問四邊形EGFH是什么形狀？

]

圖3 平行四邊形的判定例題

師：除此之外，同學們可以添加其他什么條件，推導或者通過繪制精確的圖形來得出相應的結論？

生1：添加“AC=BD”一個條件，平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦?，四邊形EGFH是平行四邊形（如圖4）。

生2：添加“AC=BD，EF⊥GH”兩個條件，平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦?，四邊形EGFH是菱形（如圖5）。

生3：添加“AC=BD，EF⊥GH，AC⊥BD”三個條件，平行四邊形ABCD變?yōu)檎叫危倪呅蜤GFH是正方形（如圖6）。

圖4? ? ? ? ?圖5? ? ? ? 圖6

教師將圖形模型條件的變化與概念知識進行串聯(lián)，使學生對平行四邊形概念知識有一個清晰的認識，明確各個知識點之間的邏輯關系和內在聯(lián)系，通過變式訓練區(qū)別每個圖形模型中的不同點，有助于學生完善平行四邊形的知識框架，在解決問題時能夠游刃有余，從而有效提高了復習效果。

三、以數(shù)形結合思想構建二次函數(shù)專題復習課

我國著名數(shù)學家華羅庚先生說：數(shù)無形時少直觀，形無數(shù)時難入微。教師在初中數(shù)學九年級綜合復習教學中要做好數(shù)與形關系的揭示與轉化，有目的、有計劃地進行數(shù)形結合教學，使學生逐步形成數(shù)形結合思想，并使之成為解決數(shù)學問題的工具。二次函數(shù)在數(shù)學中考中占的分值較大，但由于其綜合性強，考生在二次函數(shù)解題過程中正確率不高。數(shù)形結合思想可以使一些抽象的、復雜的數(shù)學問題形象化、簡單化，有助于學生把握數(shù)學問題的本質，從而解決問題。在二次函數(shù)專題復習課中，教師應注重解題方法的提煉，強化學生的數(shù)形結合思想，引導學生通過把數(shù)量關系問題轉化為圖形性質問題或把圖形性質問題轉化為數(shù)量關系問題，感悟數(shù)形結合思想在二次函數(shù)解題中的重要作用，從而提高解題能力。

（一）數(shù)形結合幫助學生理解二次函數(shù)圖象及其性質

數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)學問題的題設和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并充分利用這種結合探求解決問題的思想方法。學生只有在對二次函數(shù)圖象及其性質充分理解的前提下，才能根據(jù)函數(shù)表達式或圖象來分析數(shù)學問題，實現(xiàn)數(shù)與形的結合。教師在二次函數(shù)專題復習教學中，應注重訓練學生將二次函數(shù)的文字語言、圖象語言和符號語言進行相互轉化，把“數(shù)”對應的“形”找出來，加強學生對二次函數(shù)圖象及其性質的理解。

首先，教師讓學生從最簡單的二次函數(shù)y=ax2入手，逐步過渡到y(tǒng)=ax2+k、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k，通過列表格觀察數(shù)據(jù)的特點，作圖把函數(shù)表達式的特征在圖象中呈現(xiàn)出來，觀察常數(shù)a、h、k與圖象的對應關系，完成由數(shù)據(jù)轉化為圖形的過程。其次，教師引導學生觀察二次函數(shù)y=ax2的圖象，讓學生通過圖象的平移變換，認識y=a（x-h）2+k型二次函數(shù)的圖象特征，體會常數(shù)a、h、k在圖象中的作用，從而掌握二次函數(shù)的開口方向、頂點坐標、對稱軸、y的最大值或最小值等性質。學生在理解y=a（x-h）2+k型二次函數(shù)圖象特征的基礎上，通過代數(shù)式的變換，得出y=ax2+bx+c型二次函數(shù)的性質，完成由圖形轉化為文字的過程。經(jīng)歷了以上復習過程以后，學生便可以根據(jù)任意一個二次函數(shù)的表達式，在頭腦中呈現(xiàn)出該函數(shù)的大致圖象；還可以根據(jù)二次函數(shù)圖象的特征，確定表達式中常數(shù)的取值情況。

（二）找準解題突破口，搭建數(shù)與形之間的橋梁

將數(shù)形結合思想用于理解和解決二次函數(shù)圖象及其性質的問題，學生還必須根據(jù)實際條件找準解題突破口，搭建數(shù)與形之間的橋梁，實現(xiàn)數(shù)與形的有效結合。二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式有著密切的聯(lián)系，如何理解三者之間的關系，是學生學習的難點之一，借助數(shù)形結合直觀反映三者之間的聯(lián)系，有利于提高學生的綜合分析能力和靈活解決問題的能力。

初中數(shù)學學習主要是以形輔數(shù)，教師可以選取二次函數(shù)典型例題（如圖7）進行分析講解，突出數(shù)形結合思想的指導作用。教師從圖象入手，讓學生理解函數(shù)圖象與性質之間的聯(lián)系，并在此基礎上通過問題引導，幫助學生厘清二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式三者的關系。學生根據(jù)題目所提供的圖象及已知條件提取準確的信息解決二次函數(shù)相關問題，并依據(jù)二次函數(shù)圖象的幾何含義運用數(shù)形結合方法解答問題。

[例題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示。

（1）當x取什么值時，函數(shù)值

y>0？

（2）分別求出方程x2+bx+c=

0，ax2+bx+c=4，ax2+bx+c=5的解，

根據(jù)上述解的情況，若方程ax2+

bx+c=k有解，試求k的取值范圍。

（3）當x取什么值時，函數(shù)值

0≤y≤3？ ]

圖7 二次函數(shù)典型例題

教師通過提問，讓學生從數(shù)和形兩個方面回憶二次函數(shù)圖象及其性質。

師：不進行計算，同學們直接從函數(shù)圖象可以得到哪些信息？請從數(shù)和形兩個方面去歸納。

生1：函數(shù)圖象是一條拋物線，開口向下，與x軸有兩個交點，與y軸有一個交點。當x<1時，y隨x的增大而增大；當x>1時，y隨x的增大而減小。

生2：函數(shù)圖象的對稱軸是x=1，與x軸的交點分別是（-1，0），（3，0），與y軸的交點是（0，3）。當x<-1或x>3時，y<0；當-10。

對于第（1）問，可能會有部分學生通過解一元二次不等式ax2+bx+c>0求出x的取值范圍，由于一元二次不等式學生可能不太會解，會得出一些錯解。此時，教師引導學生觀察二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)不等式ax2+bx+c>0的解集，就是拋物線位于x軸上方部分對應自變量x的取值范圍，初步學會運用數(shù)形結合思想進行解題。第（2）問的設計，是讓學生加深對二次函數(shù)與一元二次方程的認識。同第（1）問一樣，學生可以有觀察函數(shù)圖象求解和用根的判別式求解兩種方法，學生通過數(shù)（方程的根）與形（二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標）的對應，可以直觀得出結論：方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標。對照圖形，二次函數(shù)與一元二次方程的關系便直觀顯現(xiàn)出來，學生進一步掌握運用數(shù)形結合的思想去解決問題。第（3）問如果學生直接用不等式來解答的話，是比較復雜且不容易得到正確答案，學生可以通過觀察二次函數(shù)圖象得到變量的范圍，并注意結果的完整性，從而強化了數(shù)形結合思想。

正確運用數(shù)形結合方法可以使二次函數(shù)問題簡單化、具象化，使復雜問題得以簡單、快速解決，有助于學生加深對二次函數(shù)的理解。可見數(shù)形結合在數(shù)學研究和解決問題中起著非常重要的作用。數(shù)形結合是將知識轉化為能力的橋梁，教師在九年級數(shù)學專題復習教學中，應借助數(shù)形結合方法優(yōu)化學生的數(shù)學認知結構，幫助學生構建有效的知識網(wǎng)絡，使學生掌握解題的技巧，發(fā)展數(shù)學思維。

總而言之，九年級數(shù)學專題復習課教學的目標是通過單位時間的復習，使學生對所學數(shù)學知識有一個系統(tǒng)化的整合和鞏固，從而提高分析問題和解決問題的能力。教師要一改往日數(shù)學復習按章節(jié)走流程的復習狀況，以專項練習為載體，以數(shù)學思想方法的提煉為手段，運用科學合理的教學策略幫助學生掌握相關知識，達到整理有序、復習有效，復習一塊、掌握一類的目的，從而有效提高專題復習的效率。

參考文獻

［1］顧彩芳.基于“生本課堂”的初中數(shù)學復習課活動組織研究［J］.新智慧，2022（22）：13-15.

［2］易美容.初中數(shù)學線上微專題復習與教學的實踐與思考［J］.上海教育，2022（增刊2）：96.

［3］張浩杰.初中數(shù)學專題復習“1+1”模式［J］.課程教材教學研究（中教研究），2020（增刊4）：10.

（責編 韋榕峰）