基金項目：湖北省2023年教育科學規(guī)劃一般課題“基于項目式學習的高中數(shù)學主題式教學研究”（課題編號：2023GB077）.

作者簡介：

劉師妤，女，湖北武漢人，博士，湖北第二師范學院教育科學學院講師，研究方向：教師教育、數(shù)學教育.

（湖北第二師范學院 教育科學學院，武漢 430205）

摘要：數(shù)學思維方式就是數(shù)學地思考問題和解決問題的思維活動形式。培育學生的數(shù)學思維方式是數(shù)學教學的根本旨趣，也是適應未來社會發(fā)展的必備要求。數(shù)學思維方式兼具歸納性與演繹性、漸進性與靈活性、抽象性與具化性等二元辯證特征。在數(shù)學問題解決的全過程中，數(shù)學思維方式存在轉化與化歸、簡化與優(yōu)化、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造三方面的價值。要實現(xiàn)這些價值，應做到：采用元認知策略、運用序化策略、使用概括整合策略。

關鍵詞：數(shù)學思維方式；內涵特征；價值意蘊；培育策略

中圖分類號：G652

文獻標識碼：A文章編號：20955995（2024）03008307

數(shù)學教師有一項常規(guī)工作，就是要時常針對數(shù)學學習困難的學生進行學習診斷，啟發(fā)他們用數(shù)學思維方式思考問題、用數(shù)學符號語言進行表達或交流，以協(xié)助他們改進學習方法。對于師范生來說，數(shù)學思維方法的訓練，不僅可以幫助他們學好數(shù)學，更是對他們進行學科教學法的訓練，讓他們今后也用這種方法去教育和訓練他的學生去學好數(shù)學。實踐也反復表明，數(shù)學學習困難學生普遍存在著不良思維定式以及某些思維障礙。思維是人腦對客觀世界投射在意識中的映像進行認知的過程，思維亦是人腦對客觀事物進行識別、邏輯歸納，從中形成有自身意義認識的過程。一個人的思維方式，在某種程度上決定著他的發(fā)展。數(shù)學學習的根本目的是發(fā)展學生的理性思維。新課程、新教材、新高考、雙減等一系列教學變革，其目的都是要彰顯學科獨特的育人功能，使學生的學科核心素養(yǎng)得以培養(yǎng)，運用學科的能力得到提高，同時，讓學習者以“深思”的方式面對文本或實踐，讓“思維教學”再度被重視起來。因此，培育學生的數(shù)學思維方式就顯得關鍵且緊要。

一、數(shù)學思維方式的內涵特征

正如克萊因所說，數(shù)學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度。可見，數(shù)學思維有著獨特的魅力和無窮的力量。數(shù)學家與數(shù)學教育家按照不同的標準常將數(shù)學思維方式分為四類：收斂思維和發(fā)展思維（思維的指向是單一方向還是多方向）；邏輯思維和直覺思維（思維是否以每前進一步都有充足理由為其特征）；正向思維和逆向思維（使用分析還是綜合的推理形式，具體體現(xiàn)在條件與結論的思考方向上）；創(chuàng)造性思維和再現(xiàn)性思維（思維的結果有無創(chuàng)新，體現(xiàn)在結果的延伸上、方法的再創(chuàng)上或觀念的更新上）。之所以照此分類，旨在培養(yǎng)學生思維的廣闊性（多方面、多角度思考問題）、思維的深刻性（善于透過現(xiàn)象看本質）、思維的靈活性（具體問題具體分析、善于調整和變化）、思維的批判性（善于質疑、勇于評判，有自己的主張）等思維品質。實際上，并非是數(shù)學學科所特有的思維方式，它適用于任何有意義的思維活動。正如經(jīng)濟學家張五常先生所提出的“科學的思考方式”。教師的專業(yè)發(fā)展不能僅靠悟性，還應有一套適宜的方法論作為指引，這就少不了科學的思考方式。何為科學的思考方式呢？要思考有價值、有意義的問題；要問得明確，且允許有不同答案的可能性；有針對性的轉換視角，以衡量答案。具體到數(shù)學學科，丘維聲先生認為數(shù)學的思維方式應是一個全過程：觀察客觀世界的現(xiàn)象抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，進行探索，通過直覺判斷或者歸納推理、類比推理作出猜測；然后進行深入人分析和邏輯推理，揭示事物的內在規(guī)律，從而使紛繁復雜的現(xiàn)象變得井然有序，這就是數(shù)學的思維方式。[1]因而，以發(fā)展思維為根本旨趣的數(shù)學教學活動，更要嘗試著找聯(lián)系、能轉換視角、有一定的預見性，好想法才會如雨后春筍般頻頻涌現(xiàn)出來。

（一）歸納與演繹思維協(xié)作

數(shù)學思維作為特殊的思維方式，承繼了思維的一般特征：間接性和概括性。即能根據(jù)某一事物推斷或預測、猜想出另一事物的特征或者根據(jù)事物的共同特質、本質特質總結出結論。因而數(shù)學思維被劃分為演繹和歸納兩大類。數(shù)學思維的發(fā)展歷程與高低水平也常以此作為主要的衡量標準，可見數(shù)學思維存在內在的層次性。一般地，按照邏輯的延展性及嚴密程度，數(shù)學思維可分為三個層次，從低到高依次是分類窮舉、歸納類比、演繹推理。歸納類比實現(xiàn)從未知到可能的探索，演繹推理則是將可能變?yōu)榇_定。歸納和演繹是對事物間本質特征的敏銳洞察方式，是出于“找聯(lián)系”的研究需要。歸納是為了提出合情的猜測或論斷，演繹則是為了驗證真理性和一般性。歸納和演繹作為數(shù)學的思維利器，不僅能有效地組織已有數(shù)學知識，還能創(chuàng)生知識。數(shù)學知識大廈奠基于數(shù)學公理、基礎概念和定理，知識本身的發(fā)生發(fā)展過程（原始學術形態(tài)）以及知識的探究學習過程（經(jīng)加工后的教育形態(tài)）都內在闡明了知識組織的基本形式，即從特殊到一般，或從一般到特殊。更為重要的是，經(jīng)由抽象得到的數(shù)學真理具有一般性，在應用到其他具體的系統(tǒng)中就具備了催生新知識的可能。

一個完整的數(shù)學思維過程是離不開歸納與演繹的交互協(xié)作的，尤其在猜測結果的真理性不明朗時。對證實或證偽工作的選擇既體現(xiàn)了歸納與演繹的相對性，又彰顯了二者之間的辯證性。數(shù)學思維同時兼具“邏輯性”和“直覺性”。“邏輯”的思維特征是：它是一種“無意識”成分很少、指向更窄的思維，是前后一貫的，思維過程分段清楚；而“直覺”思維的特征是“無意識”成分很多，是更多“分散”的思維，迅速而且思維過程簡縮了[2]?？梢?，數(shù)學思維方式本質上是一種辯證思維?！秾O子兵法》有云“兵無常勢，水無常形，能因敵變化而取勝者，謂之神?！苯虒W活動亦是如此，要做深刻的教情分析和精準的學情分析，以合理選用歸納法或演繹法。如開展以“三角形”為主題的教學，可遵循“從一般三角形到特殊三角形”“以等腰三角形、直角三角形的特例學習引致一般幾何圖形”的學習路徑，以呈現(xiàn)一個完整的“抽象數(shù)學概念—形成聯(lián)結數(shù)學概念的判斷而得出命題—通過推理、論證，形成一個層次分明、結構嚴密的邏輯系統(tǒng)”的過程[3]。

歸納與演繹從方向上對數(shù)學思維特征做了概括，不受局部觀念的指引。數(shù)學思維方式是基于數(shù)學內容包含數(shù)學結構的理性思維方式，故是一種整體性思維方式。整體性思維方式要求用全方位的視角去思考知識整體及局部的內在結構[4]。這里的全方位視角指的是整體規(guī)劃問題解決的全局思路、局部挖掘已有的相關經(jīng)驗、遷移相似問題的研究策略。它們所對應的正是數(shù)學思維方式。

（二）漸進性與靈活性結合

數(shù)學思維的復雜性還體現(xiàn)在漸進性與靈活性的錯綜盤結上。由基礎逐步推向復雜，是數(shù)學思維特征由單一向多樣演化、由直覺向分析突破、由常規(guī)向創(chuàng)新轉變的直接外顯形式，如集合論的建立者康托爾利用集合這一“最基本”的研究對象來描述和刻畫代數(shù)學中的研究對象，奠定了“現(xiàn)代數(shù)學”的基礎。如果說數(shù)學的可信性依賴于其思維的漸進性，那么數(shù)學的美妙則主要體現(xiàn)在數(shù)學思維的靈活性上。數(shù)學思維的靈活性尤為講究“具體問題，具體分析”，既強調整體性著眼于構建，又突出重要細節(jié)問題。

數(shù)學思維雖然抽象，但仍呈現(xiàn)階段化漸變特征。按照皮亞杰對兒童認知發(fā)展過程的劃分標準：7歲之前主要靠感覺和動作認識世界，能進行簡單的思考活動，傾向于以培養(yǎng)感性思維為主；7歲之后能利用符號進行邏輯思考能力，會進行概括和抽象思維了，傾向于以培養(yǎng)理性思維為主。數(shù)學思維便是遵循著由感性認知到理性認知的螺旋式漸進過程，否則極易陷入思維停滯或跳躍的窘境，造成思維的混亂乃至邏輯思維的喪失。漸進性數(shù)學思維的主動習得，有賴于對數(shù)學知識生發(fā)邏輯過程的尊崇以及對自然理性的追求。

當學習條件發(fā)生改變時，應對的數(shù)學思維方式也會隨之變化。隨著學習者的認知水平的提升甚至躍遷，思維方式的自動化程度越來越高，并逐步優(yōu)化，從而跳過程式化的認知過程直接選用更為便捷的方法，也即產(chǎn)生了頓悟。頓悟不是憑空產(chǎn)生的，它是漸悟的升華，它由特定的教學環(huán)境和“似乎偶然”的教學因素所引發(fā)，當積累的學習經(jīng)驗越豐富且知識理解水平越高時，頓悟的效果往往就越好。根據(jù)認知靈活性理論，應主動摒除“教條式”的學習方式，注重在復雜問題解決及多維環(huán)境中的反省性思考，才能養(yǎng)成思維的靈活性。數(shù)學思維的靈活性體現(xiàn)在思維起點的選擇以及思維過程的優(yōu)選組合上，故數(shù)學思維的靈活性是基于思維整體性和邏輯性的更高思維品質。需要指出的是，后者也同樣遵循漸進過程，只是它把之前更為基礎的認知過程充當了歸納素材。因而，對數(shù)學對象的理解層次的不同，決定著思維方式的異同。

（三）抽象與具化相融合

數(shù)學的基礎學科地位是由其高度的抽象性所決定的。通過對現(xiàn)實客觀世界中的對象的抽象與概括，數(shù)學只研究空間形式和數(shù)量關系，為保證抽象過程的自然性與合理性，它又必須借助于具體、生動的現(xiàn)實原型。因此，抽象與具化是數(shù)學內在的辯證屬性，兩者的有機融合也成為數(shù)學思維方法的呈現(xiàn)形態(tài)。如在數(shù)學核心概念的學習中，可通過函數(shù)圖象、函數(shù)解析式或表格等具體實例概括抽象出函數(shù)的本質（對應關系），從而達到概念的形成與精致。

抽象與具化相融合的數(shù)學說理方式又稱數(shù)學抽象思維，它以更低級的抽象概念或具體的經(jīng)驗、物體作為推理的載體，涉及復雜概念的理解及思想方法的聯(lián)系與分析，故而數(shù)學抽象思維屬于高階思維類型。而數(shù)學教學實踐表明，受認知能力和人生經(jīng)歷的影響，學生抽象思維的發(fā)展呈現(xiàn)不均衡且不充分的態(tài)勢，主要表現(xiàn)在對具體直觀性素材的過分依賴、對抽象概念與具體實例的人為割裂等。因此，發(fā)展數(shù)學思維的核心要義就在于數(shù)學抽象思維的習得。數(shù)學抽象思維具有層次性。一般地，它分為弱抽象、強抽象、構象化抽象和公理化抽象。弱抽象指的是從同類對象中抽離出共性特征，以拓展其概念外延，以獲得比原結構更廣泛的結構形式。而強抽象則是指通過引入新特征強化原型并得到新概念，即由一般到特例。構象化抽象多是為了數(shù)學邏輯發(fā)展需要而抽象出來的，如無理數(shù)的引入擴充了數(shù)系系統(tǒng)，使得實數(shù)具有完備性。而公理化抽象則是更高形式的抽象，其對象不再是概念體系，而是更為基礎的公理化系統(tǒng)。因而，兼顧數(shù)學思維逐級抽象的特征，數(shù)學教學要循序漸進，要通過反復的“具體—抽象—具體”言語系統(tǒng)提升學生的抽象思維。

也有觀念認為，數(shù)學的本質就是抽象。原因有二：一是數(shù)學的語言系統(tǒng)是對具體事物變化過程中一般規(guī)律的概括與總結；二是數(shù)學的思維方法是超越具體事物對其的“數(shù)”化、“形”化以及關系化、算法化。

從這一意義上講，珍視數(shù)學思維的抽象屬性，是對數(shù)學的本質的彰顯。

二、數(shù)學思維方式的價值意蘊

理性與非理性，作為人類客觀存在不可或缺的兩種認知方式，主動參與到我們的學習和生活并為知覺和行動提供決策依據(jù)。遵照此理，發(fā)揮數(shù)學思維中的理性與非理性價值作用將有助于數(shù)學問題的提出、分析與解決，具體體現(xiàn)在轉化與化歸、簡化與優(yōu)化、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造三方面。

（一）轉化與化歸

數(shù)學思維方式的價值可經(jīng)由數(shù)學知識教學和數(shù)學文化教學體現(xiàn)出來，并落實在數(shù)學問題解決的全過程中。問題是數(shù)學的心臟（波利亞語），問題是思維的發(fā)端，更是創(chuàng)新思維的動力。好的數(shù)學思維方式還能將數(shù)學問題的本質凸顯出來，以體現(xiàn)數(shù)學問題教學的價值。

數(shù)學問題的解決過程是操作求解系統(tǒng)以趨于目標系統(tǒng)的過程，其本質上是問題得以轉化的過程。大眾熟知的“數(shù)學家燒開水”故事深刻地詮釋了轉化與化歸的巧妙哲學，其核心是將復雜問題簡單化、 陌生問題熟悉化、未知問題已知化。 這種轉化的能力正是數(shù)學思維能力的體現(xiàn)。如等與不等、數(shù)與形、正與反、常量與變量、運動與靜止間的辯證轉化。轉化與化歸思想方法依賴于既有經(jīng)驗，屬于典型的模型思維。模式識別是對數(shù)學問題的整體結構以及關鍵點進行自動判讀，進而歸結于已有問題模式的信息加工過程，它是模型思想的第一步。具體而言，即是對轉化的對象及目標作整體性預判及轉化方法上的準備。為了實現(xiàn)有效地轉化，往往需要變更問題的內部結構，或變換問題的外部形式。如求過正方體的頂點的異面直線的對數(shù)問題，借助于最簡單的空間幾何體模型——三棱錐就能巧妙地轉化與化歸，或者處理不規(guī)則幾何體的度量關系、位置關系也常常需要通過割補等方式建構規(guī)則圖形。

轉化與化歸方法的普適性還體現(xiàn)在它對于數(shù)學各板塊知識的溝通與促進作用。由于信息資源得不到有效的交叉融合，知識板塊之間相互割裂而形成的無序狀態(tài)，仿佛大海中的一個個“孤島”，被稱作“知識孤島”。知識孤島一旦產(chǎn)生，數(shù)學思維的界域性會受到極大簡縮，思維定勢也會頻繁出現(xiàn)。因此，知識的融會貫通是保證轉化與化歸方法能得以運用成功的前提條件，也是知識的意義象征及價值體現(xiàn)。如函數(shù)與方程思想作為中學數(shù)學四大思想方法之一，有效地溝通了函數(shù)、不等式及方程三個核心板塊，實現(xiàn)了“函數(shù)有零點”“函數(shù)圖象有交點”及“方程有實根”的三個等價條件的自動轉化。

（二）簡化與優(yōu)化

借助合理的數(shù)學思維工具可以提高分析并解決問題的能力，其涵義是指簡化和優(yōu)化問題解決的全過程。數(shù)學的發(fā)展離不開簡化與優(yōu)化。數(shù)學問題的思考與解決過程本質上就是簡化和優(yōu)化的過程。

數(shù)學中的簡化包含數(shù)學用具的簡化、數(shù)學語言的簡化、人為規(guī)定的簡化、數(shù)學策略的簡化等，既符合人們的認知發(fā)展需求，又體現(xiàn)了數(shù)學求美、求簡的精神追求。大數(shù)學家羅素稱“數(shù)學是符號加邏輯”，是對數(shù)學簡潔之美的精辟概括。數(shù)學的簡潔美是數(shù)學內容和它的簡化形式的統(tǒng)一，是人類“思維經(jīng)濟化”在數(shù)學上的反映。數(shù)學家陳省身也曾言，在數(shù)學的世界中，簡單性和優(yōu)雅性是壓倒一切的。數(shù)學模型的簡潔美就是很好的例證。一個正確且恰當?shù)臄?shù)學模型滿足表征形式簡單、邏輯關系清晰、求解方法明確等特點，它試圖以最少的假設條件、采用盡可能簡潔的方法推出盡可能廣泛而深刻的結論。數(shù)學模型搭建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的一道橋梁，使數(shù)學應用成為可能并普及開來，絕大程度上要歸結于它對現(xiàn)實問題的本質抽象和極簡表達。李大潛院士也這樣評價數(shù)學模型：“數(shù)學上追求的是最有用廣泛的結論、最低的條件代價以及最簡明的證明，使學生形成精益求精的風格，凡事力求盡善盡美?！盵5]如數(shù)學證明中的“無字證明”（PROOFS WITHOUT WORDS）就是極簡的數(shù)學模型。無字證明由于其僅用圖象而無需文字解釋就可達到不證自明的目的，故被視作比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅且具條理。

簡化是為了優(yōu)化，反過來優(yōu)化又為了達致簡化，兩者的這種休戚共生關系彰顯出了數(shù)學思維的根本旨趣。優(yōu)化是數(shù)學思維逐步深入的必然結果，也是驅使其形成優(yōu)良思維品質的內在動力。通過對數(shù)學問題的優(yōu)化思考與求解，數(shù)學思維層次水平會不自覺地進階，從而走向深刻與完備。如數(shù)學的最優(yōu)化問題指的是要在盡可能節(jié)省人力、物力和時間的前提下，爭取獲得在可能范圍內的最佳效果，是數(shù)學分支統(tǒng)籌學的主要研究內容，更是數(shù)學思維應用價值的直接輸出與直觀呈現(xiàn)。

（三）發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造

觀照數(shù)學思維的顯性價值的同時，也應捕捉到數(shù)學思維的潛在聯(lián)絡功能，因為是其潛在功能決定了根本價值。作為一種內隱的心智活動，數(shù)學思維直接為發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造提供心理準備和促發(fā)條件。首先是意識上的準備。發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造意識源于志趣的驅使以及數(shù)學的本身之美的熏染。如卡爾達若在討論“怎樣的兩個數(shù)彼此相加之和為10，彼此相乘之積為40”的問題時，提出一個重要思想：如果承認虛數(shù)的合理性，那么原本沒有答案的問題也會有答案。這預示著虛數(shù)很有可能會被正式地提出并賦予合法化地位。其次是官能上的準備。思維由大腦主宰，數(shù)學思維中理性思維（如符號化、形式化的邏輯判斷與推理）和非理性思維（如歸納、類比、聯(lián)想）分別受左右腦控制，當對兩者的協(xié)同刺激和控制得當時，就會促進智能的有效提升。如笛卡爾意識到代數(shù)研究與幾何研究的范疇孤立問題，苦苦思索多年終于運用構造性思維引進了平面直角坐標系溝通了代數(shù)與歐幾里得幾何，創(chuàng)立了解析幾何學。再次是技法上的準備。重要數(shù)學問題的提出，實質上是思維工具加工處理的結果。如歐拉基對于“哥尼斯堡七橋”現(xiàn)實問題，就運用數(shù)學抽象方法提出了經(jīng)典的“一筆畫”問題，從而創(chuàng)立了圖論和拓撲學。

知識的價值在于其能被意義建構，故知識的正確性存在一定條件，即知識存在不確定性。發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的不確定性遠比數(shù)學知識客觀存在上的不確定性程度高，因為思維具有復雜性和特殊性。而數(shù)學思維的要義則是從不確定性中找尋并驗證確定性，如概率論。本質上講，數(shù)學思維是近似確定性的。正如數(shù)學知識的不確定性為數(shù)學學科發(fā)展、教師教學創(chuàng)造和學生高效探究提供了無限可能性[6]，數(shù)學思維的近似確定性在積累豐富多變的數(shù)學思維素材的同時，為質疑與批判提供了土壤和環(huán)境。

三、數(shù)學思維方式的培育策略

從思維優(yōu)化層面培育數(shù)學思維方式，其主要路徑是建立思維意識與具化的“做數(shù)學”過程的對接通道。

在思維的前端和末端，注重思維的由來以及對思維過程的再認知；在思維的運作過程，強調思維的有序性；在思維的輸出階段，注重概括與整合策略的運用。

（一）采用元認知策略

元認知策略是指對學習過程進行計劃、監(jiān)控和調節(jié)的抽象層面的學習策略，需要刻意學習。計劃策略指明思維的方向性，監(jiān)控策略確保思維的邏輯性和層次性，調節(jié)策略則注重思維的深刻性。在數(shù)學解題活動中，人們總是忽視甚至無視最不起眼的部分，好比波利亞《怎樣解題表》中的第四個步驟——“回顧與反思”，但它卻往往是最核心的部分。沒有了對問題的回顧與反思，外顯體現(xiàn)在經(jīng)驗不能被推廣，新方法難以被發(fā)現(xiàn)；內在則是沒有對只有認知進行監(jiān)控、評價，知識理解難以進入深層次。當我們考查學生的數(shù)學學習時，不難發(fā)現(xiàn)，他們對自己學習活動和結果的自我觀察、自我評價、自我監(jiān)控和自我調節(jié)都存在著很大的差異，這種心理現(xiàn)象就是心理學中所說的元認知。元認知知識就是有關認知的知識，即人們對于什么因素影響人的認知活動的過程與結果，這些因素是如何起作用的，他們之間又是怎樣相互作用的等問題的認識。

總是采用元認知策略，能一步步接近問題的本質，這是深度思考的魅力所在。傅仲孫先生曾強調理解數(shù)學知識的三重境界：知其然，知其所以然、何由以知其所以然，這是對問題本質思考的不斷逼近。什么樣的問題容易引發(fā)深度思考呢？新奇或有一定難度的問題，本身所蘊含的元認知知識較豐富，容易激起學生高度自覺的思維，促使他們在求解前有預判意識，求解中有變換和調整，求解后有評價和優(yōu)化，這樣就有更多機會去體驗自己的思維與解法，并經(jīng)受成功或失敗的體驗。教學過程中教師模擬數(shù)學家思維過程、示范數(shù)學家的思維方式可視作是對教師和學生思維活動的元認知探索[7]。此外，通過元認知體驗，可以對元認知知識加以修正，能不斷發(fā)展擴大元認知知識；元認知體驗有助于對認知活動進行監(jiān)控，有利于激活策略與方法，確定新的認知目標和任務，或因困惑、失敗的體驗而放棄原來的認知目標和任務。

對認知加以認知，從知識應用回到知識起源，是對當今社會“碎片化學習潮流”的抗議與匡正，知識學習、思維發(fā)展要經(jīng)歷一個完整的過程，知識體系、思維方式才能重構并趨于完善。

（二）運用序化策略

思維序化指的是思維的秩序化和序列化，前者涉及思維的有序性，后者則注重思維的層次性。數(shù)學思維的層次性往往通過有序性進行表達，故我們的研究視點為有序化的思維及表達。波利亞根據(jù)生物發(fā)生律的思想將數(shù)學學習的過程由低級到高級分為三個不同的階段：（1）探索階段（直觀感知階段）；（2）形式化階段（引入符號與定義，使之上升到概念水平）；（3）同化階段（知識消化、吸收、融匯于學習者的智力結構中），每個人的思維都必須有序地通過這三個階段，即認知的過程應遵循階段序進原則。發(fā)展思維亦是如此，鄭毓信先生提出思維教學的“兩階段理論”——第一階段幫助學生了解、學習數(shù)學思維并改進日常思維；第二階段通過“數(shù)學學會思維”并提升思維品質[8]。實踐表明，“從做中學”的教育價值不僅在于溝通了兒童的心理世界與現(xiàn)實世界，而且為兒童提供了豐富的思考材料和可能的經(jīng)驗活動的積累。數(shù)學學習的過程還應是學生操作、感知、思考、探索、交流的過程。反過來，數(shù)學經(jīng)驗活動的積累，會使思維過程更加清晰、簡潔，思維方式更顯有序。從思維順序上看，強調逆向思維的教學價值不僅有助于消弭正向思維的思維定勢和片面弊端，而且能形成貫通的思維，讓思維流動起來[9]。如對數(shù)列綜合性質的考查上，一般先考慮特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的性質，行不通則再考慮轉化為基本量間關系；對圓錐曲線問題的考查，一般優(yōu)先考慮曲線的定義、幾何性質及圖形的幾何特征，主要是為了避免不必要或繁瑣的代數(shù)演算。又如估算優(yōu)先于精算，定性分析優(yōu)先于定量分析。龐加萊曾指出：數(shù)學理解的本質在于對“序”的把握，一個數(shù)學證明并不是若個三段論的簡單并列，而是眾多三段論在確定的序之中的安置。這種使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多，一旦直覺到這個序，就能領悟到整個推理?？梢?，我們更應主動去探尋數(shù)學學科中對提升學生思維品質（尤其是條理性）有益的東西。

新秩序的建立要以序作保障，新課程理念的深化更要有序為邏輯支撐。有序思想是客觀存在于課程體系的整個過程中的。如教學內容的選材與編排方式，教師教學活動的組織與開展，學生認知事物、習得并建構的過程。數(shù)學課程內容應符合知識內在邏輯要求，符合學生心理發(fā)展規(guī)律，每一后繼經(jīng)驗總是建立在前面經(jīng)驗基礎之上，同時又對有關內容作更深入、更廣泛的探討。從初等數(shù)學到高等數(shù)學，凡是講究序進原則，即保證學科的邏輯順序，又遵從學生的認知發(fā)展能力順序。內容的確定性與不確定性交替呈現(xiàn)，對培養(yǎng)學生的思辨能力、創(chuàng)新能力大有裨益。教學活動也應是井然有序，先后分明：創(chuàng)設問題情景為先，探尋解決辦法在后；建構結構框架為先，理解單一知識在后；學生親歷嘗試為先，教師干預指導在后；思考問題合情推理為先，演繹論證在后。

（三）使用概括整合策略

誠如懷特海所說：“語言雖不是邏輯思維的本質所在，但如果沒有語言，思維的維持、思維的從容恢復、思維的交織為更為復雜的東西、思維的交換，都要大大受到限制。”[10]也即思維的表達是建立于思維基礎上并忠實于它的。數(shù)學本身高度的抽象性和概括性決定了數(shù)學的學習方式應以數(shù)學的方式，即以形式化的數(shù)學符號語言體系從自然世界（包括不可觸摸的觀念等）抽象概括出對象間的本質特征。數(shù)學的歷史展示了數(shù)學理論的形成與發(fā)展是一個不斷概括的過程，這表明概括是研究數(shù)學的基本思想方法[11]。蔡金法認為數(shù)學概括能力是數(shù)學能力的核心，尤其從思維特征進行了深刻的論述[12]。他認為，思維具有概括性和間接性。所謂思維的概括性包含兩層意思：第一，能找出一類事物所持有的共性把它們歸結在一起，從而認識該類事物及其他事物的關系；第二，能從部分事物相互聯(lián)系的事實中找到普遍的或必然的聯(lián)系，將其推廣到同類的現(xiàn)象中去。思維的間接性就在于思維需要借助知識經(jīng)驗和加工來反映，而間接反映主要來自概括的反映。因而概括能力是思維的最顯著特征。由于數(shù)學內容及關系、規(guī)律的復雜性，數(shù)學學習中的概括亦包含多個方面：對數(shù)學符號語言意義的概括；對數(shù)學關系的概括；對數(shù)學表征形式的概括；對數(shù)學思想方法的概括。因此，教師為學生所做的思維示范或思維指導應當分層次展開，并且要教授學生樂于表達、善于表達的策略[13]。

在數(shù)學學習過程中，學生普遍容易出現(xiàn)思維混沌、思維中斷、思維停滯等障礙，皆是思維連貫性差的表現(xiàn)。思維的連貫性在于知識間的耦合性、轉承性。知識學習一定是經(jīng)歷零散到整合的過程，最終以知識網(wǎng)絡結構呈現(xiàn)，才能體現(xiàn)知識的價值。整合是關聯(lián)知識的重要手段，如《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》在教材編寫、教與學多個層面都強調整體設計、整合處理的重要作用。具體而言，有單元設計、優(yōu)化單元習題系統(tǒng)等。數(shù)學學科內部的整合是以優(yōu)化數(shù)學思維為目標的，而學科間的整合才是以人的全面思維方式為直接旨趣。持學科本位的思維方式是難以應對快速發(fā)展的社會節(jié)奏的，因而整合學科，貫通各學科思維是思維發(fā)展的必經(jīng)之路。如對于結構的認識，數(shù)學上的結構決定了思考的方向，而生物學中的結構決定了功能，化學中的結構決定了性質；又如唯一變量原則是自然科學實驗研究的重要控制原則，是研究問題的科學方法，各個學科都應予以特色的詮釋。有人說，21世紀應是跨界人才的時代，擁有跨界思維的人才能勝任一切工作。所謂跨界思維，就是大世界大眼光、用多角度、多視野地看待問題和解決問題的思維方式。顯然，整合就是培育跨界思維的策略。比如說芬蘭的課程體系的整合策略得到了世界各國的一致認可與好評。2016年頒布的新課程要求在不同學科和領域貫徹七種“廣泛基礎素養(yǎng)”（或“橫貫能力”）：思考與學習；文化素養(yǎng)、互動與表達；自我照料與日常生活管理；多元識讀素養(yǎng)；信息通訊素養(yǎng)；工作生活與創(chuàng)業(yè)素養(yǎng)；參與、授權與責任。同時設置整合生物、地理、物理、化學和健康研究等學科的環(huán)境研究課程，并通過整合教學開展學科融合式課程探索，實現(xiàn)學生的跨學科學習。“STEAM 2”（跨學科整合、自主與協(xié)作學習、教育AI實現(xiàn)）的教育理念的興起，試圖建立人與科技的高度協(xié)同和跨界整合。

總之，我們要綜合思維方式與學科特點的方方面面，積極、努力培養(yǎng)科學的思維方式。

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The Connotation Characteristics， Value Implications，

and Cultivation Strategies of Mathematical Thinking Patterns

Liu Shiyu

（Institute of Education Science， Hubei University of Education， Wuhan Hubei 430205）

Abstract：Mathematical thinking is a form of thinking activity that involves thinking and solving problems mathematically. Cultivating students mathematical thinking patterns is the fundamental purpose of mathematics teaching and a necessary requirement for adapting to future social development. The mathematical way of thinking has dual dialectical characteristics such as induction and deduction， progressiveness and flexibility， abstraction and concretization. In the entire process of solving mathematical problems， mathematical thinking methods have three values： transformation and reduction， simplification and optimization， and discovery and creation. To achieve these values， one should adopt metacognitive strategies， use sequencing strategies， and use summarization and integration strategies.

Keywords：mathematical thinking mode; connotation characteristics; value implications; cultivation strategy

（責任編校：吳云漢）