陶慶梅

函數(shù)既是中學數(shù)學中的核心內(nèi)容，又是高等數(shù)學中最基礎的知識。在高中階段乃至是在高考中，函數(shù)的相關內(nèi)容都是重點和必考點，因此函數(shù)在高中數(shù)學中占有很高的地位。歷年高考答題中都會有函數(shù)相應內(nèi)容的出現(xiàn)，而且考查的方式以及題型都在逐年變化。在新高考函數(shù)類型中大多會將函數(shù)圖象與函數(shù)解析式相結合（即數(shù)形結合），這一類型的試題大多會在高考填空或選擇題中出現(xiàn)，該類題型主要是考查學生對函數(shù)表達式以及三角函數(shù)、對勾函數(shù)等的掌握程度，以及與之對應的圖象轉(zhuǎn)換進行判斷和分析。這題型在新高考數(shù)學中占一定比例的分值，是一種不容小覷的考試題型。所以，教師在平時針對分段函數(shù)進行教學時應多通過一些典型的考試題目或者借助歷年的考試真題，讓學生有針對性地訓練，提升學生分析問題和解決問題的能力，讓學生對與分段函數(shù)相關的題型有進一步的了解以及更深刻的認識，從而促使學生在高考中對這一類問題的解決達到事半功倍的效果。

下面主要通過近幾年的新高考試題來探討分段函數(shù)在高考中的應對措施和解決方法。

一、分段函數(shù)中的奇偶性問題

例1（2022 上海8）若函數(shù)f（x）=a2x-1，x＜00，x=0x+a，x＞0為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為_________.

考點：函數(shù)的奇偶性﹢函數(shù)的解析式（理性思維）

分析：判斷分段函數(shù)的奇偶性要分段進行判斷、整體考慮，即在分段函數(shù)的定義域內(nèi)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別考慮各個分段上函數(shù)f（-x）與f（x）的關系，判斷各個分段上函數(shù)的奇偶性，然后綜合在一起判斷分段函數(shù)的奇偶性。

分段函數(shù)中奇偶性在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，但學生在利用函數(shù)奇偶性的定義判斷和研究分段函數(shù)中奇偶性時，經(jīng)常會犯以下幾種錯誤：（1）函數(shù)的奇偶性的概念理解不清由奇偶函數(shù)的定義可知，具有奇偶性的函數(shù)的定義域必是關于原點對稱的；（2）函數(shù)的奇偶性在關于原點對稱的定義域內(nèi)是一致的，不能把定義域分割開來，因此，“當x＜0時，函數(shù)是偶函數(shù)；當x＞0時，函數(shù)是偶函數(shù)”的說法是錯誤的。

本題主要考查函數(shù)的奇偶性，所以函數(shù)的奇偶性的定義為突破口。即（1）定義域關于原點對稱；（2）f（x）=f（-x）（奇函數(shù)）和f（x）=f（-x）（偶函數(shù)）；（3）對于填空題和選擇題中根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式中的參數(shù)問題，學生不會靈活應用奇偶性的定義與特殊值法快速求解，在教學過程中教師應對學生多加引導。

二、分段函數(shù)中的定義域和值域

1.分段函數(shù)的定義域求法：每一段函數(shù)定義域的并集為整個函數(shù)的定義域。

2.分段函數(shù)的值域求法：是其定義域內(nèi)不同子集上各關系式的取值范圍的并集，即每一段函數(shù)值域的并集為整個函數(shù)的值域。求分段函數(shù)的最值通常有兩種方法：（1）先求出分段函數(shù)在各個范圍內(nèi)的最值，這些最值中的最大值即為該函數(shù)的最大值，這些最值中的最小值即為該函數(shù)的最小值；（2）作出分段函數(shù)的圖象，從中觀察可得出分段函數(shù)定義域和值域。

例2（2022上海8）已知函數(shù)f（x）=2x，x＞01，x≤0，則f（x）的值域為_________.

分析：主要考查分段函數(shù)的定義域和值域。

（1）分段函數(shù)對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集；分段函數(shù)的值域是其定義域內(nèi)不同子集上各關系式的取值范圍的并集，即每一段函數(shù)值域的并集為整個函數(shù)的值域。

（2）本題以分段函數(shù)為載體，使學生對分段函數(shù)的認識更加深刻，提高學生的觀察能力。

【解析】當x＞0時，f（x）=2x單調(diào)遞增，f（x）＞1；當x≤0時，f（x）=1.故f（x）的值域為[1，+∞）.

點撥：分段函數(shù)的定義域和值域在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，但學生在解答與分段函數(shù)定義域和值域有關的問題時，經(jīng)常會犯幾種錯誤：一是學生會把分段函數(shù)看成幾個函數(shù)，就把定義域和值域弄成幾個函數(shù)的。二是對定義域和值域的表示格式不清楚，往往會寫成不等式的形式，而沒有用集合來表示；不能填f（x）≥1，因為定義域和值域都是集合，可以填{f（x）|f（x）≥1}或[1，+∞）。

點撥：畫分段函數(shù)的圖象對學生來說是一個難點，畫分段函數(shù)的圖象先過分段點作垂直于x軸的虛線，弄清楚基本初等函數(shù)圖象的形狀，再針對x的每一段范圍畫出圖象。

三、分段函數(shù)的單調(diào)性問題（討論分段函數(shù)的單調(diào)性常常借助圖象來解決）

例4（2013年 四川）已知分段函數(shù)

f（x）=x2+2x+a（x＜0）lnx（x＞0），其中a是實數(shù)，指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

分析：對于分段函數(shù)在定義域上的單調(diào)遞增（減）問題，除了保證在定義域的每一個區(qū)間上單調(diào)性相同之外，還要考慮在分界點處的函數(shù)值的大小關系。若函數(shù)是增函數(shù)，則左邊函數(shù)值小于或等于右邊函數(shù)值（若函數(shù)是減函數(shù)，則右邊函數(shù)值小于或等于左邊函數(shù)值），這樣才能滿足在定義域上的單調(diào)遞增（減），否則求出的參數(shù)范圍會出現(xiàn)錯誤，而學生常常忘記判斷分界點處左右兩段函數(shù)值的大小關系。分段函數(shù)的單調(diào)性在高考試題中出現(xiàn)的頻率比較高，對學生來說也是一個難點。本題還以分段函數(shù)為載體，考查學生對對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性的掌握及運算能力。

【解析】作出函數(shù)f（x）的大致圖象（見圖2），由圖象可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1]，單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），（0，+∞）.

點撥：關鍵是熟悉基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，充分使用數(shù)形結合思想，在教學中注意基本知識的教學。

四、分段函數(shù)中的求參數(shù)問題

例5（2022北京14）設函數(shù)f（x）=-ax+1，x＜a，（x-2）2，x≥a.若f（x）存在最小值，則a的一個值為_________；a的最大值為_________．

考點：分段函數(shù)的最值（理性思維、數(shù)學探索）。

分析：本題涉及分類討論思想，以分段函數(shù)為載體考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，隱含一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，一次函數(shù)y=-ax+1的單調(diào)性與一次項系數(shù)-a有關；因為函數(shù)f（x）存在最小值，所以-a＜0，即a＞0；二次函數(shù)y=（x-2）2，（x≥a）是軸定區(qū)間動的問題，要討論對稱軸x=2與區(qū)間[a，+∞）的位置關系（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、被對稱軸穿過等情況），這對學生來說是一個難點，學生不易理解，在講解時利用數(shù)形結合的思想，要讓學生多畫圖、多觀察，教師再引導學生分析如何解決這類題型；二次函數(shù)軸定區(qū)間動、軸動區(qū)間定等設問方式是出題人最青睞的題型之一。

分段函數(shù)最值的求解方法：（1）最大值求法：每段函數(shù)先在所在范圍內(nèi)求最大值，所有最大值中最大的一個值為該分段函數(shù)的最大值；（2）最小值求法：每段函數(shù)先在所在范圍內(nèi)求最小值，所有最小值中最小的一個值為該分段函數(shù)的最小值。

【解析】當a=0時，函數(shù)f（x）=1，x＜0，（x-2）2，x≥0，存在最小值0，所以a的一個取值可以為0；

當a＜0時，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時函數(shù)f（x）不可能存在最小值；

當0＜a≤2時，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，則f（x）=（x-2）2∈[0，+∞）；若函數(shù)f（x）存在最小值，則-a2+1≥0，得0＜a≤1；

當a＞2時，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，則f（x）=（x-2）2∈[（a-2）2，+∞）；若函數(shù)f（x）存在最小值，則-a2+1≥（a-2）2，此時不等式無解.綜上，0≤a≤1，所以a的最大值為1.

點撥：對于含有參數(shù)的分段函數(shù)，要讓學生充分理解代數(shù)式的意義，抓好數(shù)形結合思想。

五、新高考試題中的分段函數(shù)與方程思想

高考試題通過分段函數(shù)與方程相結合的方式考查學生對抽象圖形的處理及解答能力。分段函數(shù)與方程的結合是新題型，它主要考查學生數(shù)形結合能力，試題有一定難度，但有較強的再生能力。這種分段函數(shù)與方程相結合的出題方式不僅可以提高學生的綜合能力，還是對學生基礎能力的整體考查。針對這類問題，首先學生要分析問題中所給出的信息系統(tǒng)性，其主要考查學生做題時的細心程度，因此在對該類型題目進行計算時，一定要認真審題確保答案正確。針對這一問題，學生在掌握分段函數(shù)以及方程基本內(nèi)容的同時，只有將兩者結合在一起并通過繪制圖象的形式才能保證答案的正確率。

例6（2021 浙江12）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2-4，x＞2x-3+a，x≤2.若f（f（■））=3，則a=_________.

考點：分段函數(shù)的求值（理性思維）。

分析：本題看上去是分為兩段，實則是分為三段；求分段函數(shù)的函數(shù)值時，關鍵是判斷出自變量的取值所處的區(qū)間，再代入相應的函數(shù)解析式，嚴格用分段函數(shù)的定義，由內(nèi)到外求值。

【解析】因為■＞2，所以f（■）=6-4=2，所以f（f（■））=f（2）=1+a=3，解得a=2.

點撥：關鍵是充分理解分段函數(shù)的定義。

總之，在新高考試題中針對分段函數(shù)的考試題型，還會通過讓學生根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及特點，通過讓學生帶入數(shù)值的方法和數(shù)形結合思想對問題進行解答，該類型題目大多是以填空的形式出現(xiàn)，讓學生通過計算從而得出正確答案。該類型題目中涉及了計算，所以很多學生會因為計算失分，同時該類型的考題主要考查學生對分段函數(shù)基本性質(zhì)的掌握程度，因此學生在對分段函數(shù)展開探索和計算時，一定要多方面地對問題結構以及內(nèi)容進行分析，結合教師在課上所講的分段函數(shù)的解題技巧進行思考，然后可以通過觀察、分析及計算對練習題或高考真題進行解答，從而最大限度地確保答題的正確率。

以分段函數(shù)為載體的函數(shù)問題是每年必考的高考題型。通過以上內(nèi)容總結，我們會發(fā)現(xiàn)在新高考試題中針對分段函數(shù)并不會單一地進行考查，會結合圖象、方程等多種考試類型進行考查，從而提升學生的綜合答題能力。

（作者單位：云南省曲靖市宣威市第五中學）

編輯：陳鮮艷