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        乘法公式與幾何圖形

        2024-05-29 11:42:01萬廣磊
        初中生世界·七年級 2024年5期
        關鍵詞:楊輝三角次方平方差

        萬廣磊

        學習整式的乘法公式時,大部分同學都是通過背誦來記憶公式的,很容易忘記和混淆。其實,同學們不妨選擇運用數(shù)形結合的思想,結合幾何圖形進行理解,這樣不僅能記憶清晰,還能準確應用。

        在解決數(shù)學問題的過程中,人們常對同一個量(圖形的面積、點的個數(shù)、三角形的內角和等)用兩種不同的方法計算,從而建立相等關系,我們把這個思想稱為“算兩次”,也稱作“富比尼原理”。這是一種重要的數(shù)學方法。接下來,我們就運用“算兩次”的方法,結合長方形和正方形,來理解和記憶完全平方公式與平方差公式。

        如圖1,大正方形的面積可以表示成(a+b)2,也可以表示成a2+2ab+b2,于是,我們得到兩數(shù)之和的平方公式(a+b)2

        =a2+2ab+b2;同理,如圖2,我們得到兩數(shù)之差的平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2;如圖3,我們得到a+b、a-b、ab之間的等量關系公式(a+b)2=(a-b)2+4ab;如圖4,我們得到三個數(shù)之和的平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。

        同理,如圖5,我們還可以得到兩個數(shù)的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;如圖6,我們得到兩數(shù)之和的立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。

        利用圖形來記憶這些公式,你有沒有覺得更簡單呢?

        我們再來繼續(xù)研究,兩個數(shù)之和的4次方、5次方……n次方(n≥4)的結果,有沒有什么規(guī)律可循呢?對于這個問題,我們要請出“楊輝三角”了。我國南宋數(shù)學家楊輝給出了如圖7所示的三角形,這個三角形叫作“楊輝三角”,它里面的數(shù)字就是我們要找的規(guī)律。

        我們把圖7中局部的漢字轉化為圖8中的數(shù)字,再來研究a、b之和的乘方公式,如圖9所示。

        如圖8、圖9,這個三角形給出了(a+b)n(n=0、1、2、3、4)的展開式(按a的次數(shù)由大到小順序排列)的系數(shù)規(guī)律。例如,第三行的三個數(shù)1、2、1,恰好對應(a+b)2的展開式a2+2ab+b2中各項的系數(shù);第五行的五個數(shù)1、4、6、4、1,恰好對應著(a+b)4的展開式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4中各項的系數(shù)。沒錯,“楊輝三角”給出了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律,體現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一美、對稱美、奇異美。

        同學們,此時你應該會寫出(a+b)5的展開式了吧?老師再來考考你們,如圖10,兩個兩條直角邊的長分別為a、b,斜邊長為c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成了一個梯形。你能利用面積相等的原理,發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a、b、c之間的數(shù)量關系嗎?如果能,說明你真的很棒,因為你驗證了數(shù)學史上著名的勾股定理哦!

        (作者單位:江蘇省南京市鼓樓實驗中學)

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