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        自然數(shù)的類楊輝三角性與循環(huán)性

        2013-12-18 03:22:14鄧海云
        關(guān)鍵詞:楊輝三角個位數(shù)三位數(shù)

        劉 輝, 鄧海云

        (云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650500)

        1 引言和預(yù)備知識

        數(shù)學(xué)大師陳景潤、張明堯給出了一些自然數(shù)二次冪的獨特性質(zhì):兩位數(shù)(xy)102=(abcd)10((abc)10),且(yx)102=(dcba)10((cba)10),三位數(shù)性質(zhì)類似,并找出了具有這一性質(zhì)的所有兩位、三位數(shù).本文在此基礎(chǔ)上首先對二次冪的性質(zhì)作進一步的完善,同時給出兩個相應(yīng)定義;其次研究兩位數(shù)三次冪的相應(yīng)性質(zhì),并對具有這一性質(zhì)的兩位數(shù)給出證明.有關(guān)自然數(shù)的獨特性質(zhì)可參見文獻[1-6].

        定義1若兩位數(shù)(xy)102=(abcd)10((abc)10),且(yx)102=(dcba)10((cba)10),則稱自然數(shù)(xy)10具有2-循環(huán)性.

        定義2若兩位數(shù)(xy)10n=(ab…pq)10,且(yx)10n=(qp…ba)10,則稱自然數(shù)(xy)10具有n-循環(huán)性,簡稱循環(huán)性.

        定義3若兩位數(shù)(xy)102=(abcd)10((abc)10)滿足(x+y)2=a+b+c+d(a+b+c),則稱自然數(shù)(xy)10具有2-類楊輝三角性.若(xy)10對三次冪具有這一性質(zhì),則稱(xy)10具有3-類楊輝三角性,簡稱類楊輝三角性.

        以上3個定義可以推廣到三位數(shù)及更高次冪.

        定理1若自然數(shù)(xy)10具有類楊輝三角性,則它必具有循環(huán)性,即對一個自然數(shù)(xy)10而言,類楊輝三角性是循環(huán)性的充分條件.

        證明假設(shè)以2次冪為例,自然數(shù)(xy)10若具有類楊輝三角性,即(xy)102=(abcd)10((abc)10)滿足(x+y)2=a+b+c+d(a+b+c),通過計算發(fā)現(xiàn),112=121,又(1+1)2=1+2+1,則自然數(shù)11具有2-循環(huán)性.依次試下去,可得下列兩位數(shù)具有類楊輝三角性的性質(zhì):

        112=121,112=121,(1+1)2=1+2+1;

        122=144,212=441,(1+2)2=1+4+4;

        132=169,312=961,(1+3)2=1+6+9;

        222=484,222=484,(2+2)2=4+8+4.

        則自然數(shù)(xy)10具有2-循環(huán)性.同時我們發(fā)現(xiàn)152=225,而512≠522;552=3025,而3025≠5203,所以這兩個自然數(shù)不滿足類楊輝三角性,故也不滿足循環(huán)性.同理可得高次冪也具有該性質(zhì).則自然數(shù)(xy)10具有循環(huán)性.

        2 兩位、三位數(shù)的2-循環(huán)性和2-類楊輝三角性

        2.1 兩位數(shù)的循環(huán)性和類楊輝三角性

        性質(zhì)1所有具有類楊輝三角性的兩位數(shù)為:11,12,13,22.

        先固定其中一個,即x=1,就有(1y)2=100+20y+y2,(y1)2=100y2+20y+1.(1y)2的最大值小于400,于是1≤y≤3,否則它的平方數(shù)達到四位數(shù),不符合要求.即當(dāng)x=1時,具有這種性質(zhì)的二位數(shù)只能從以下數(shù)字中找:11,12,13,但是它們都符合要求.

        若x=5,…,9,可證明其具有類似的情況.因此,只有11,12,13,21,22,31這6個兩位數(shù)滿足上述性質(zhì).

        2.2 三位數(shù)的循環(huán)性和類楊輝三角性

        定理2若三位自然數(shù)具有循環(huán)性,當(dāng)且僅當(dāng)它具有類楊輝三角性.

        證明對于三位數(shù)與二位數(shù)討論方法一樣,(xyz)10表示三位數(shù),x,y,z分別表示百十及個位數(shù)字.為了使(xyz)10具有上述性質(zhì),則必須滿足1≤x≤9,0≤y≤9,1≤z≤9.

        在這里我們只討論x=1的情況,則有:

        (1yz)102=(100+10y+z)2=10000+100y2+

        2000y+20yz+z2

        (1)

        (zy1)102=(100z+10y+1)2=10000z2+

        2000yz+100y2+20y+1

        (2)

        由式( 2 )可知,(zy1)102的個位數(shù)為1,由于10000<(1yz)102≤39601,故(1yzx)102是一個五位數(shù).對0≤y≤3有(1yz)102≤1392=19321,對y≥5有(1yz)102>1502=22500,而y=4時,對z=1有(1yz)102=1412=19881,對2≤z≤9有20164=1422≤(1yz)102≤1492=22201.因此必須有

        0≤y≤3,1≤z≤9或y=4,z=1

        (i)

        又若z≥4,則(zy1)102≥4012=160801,這是一個六位數(shù),而(1yz)102<2002=40000,這是一個五位數(shù),因此必須有

        0≤y≤3,1≤z≤3或y=4,z=1.

        (ii)

        而對y=3,則有

        (1yz)102=(13z)102=16900+260z+z2

        (3)

        (zy1)102=(z31)102=10000z2+6200z+961

        (4)

        當(dāng)z=3時,式(3)的個位數(shù)為9,而式(4)的最高位數(shù)為1,顯然不符合條件,則必須有

        (iii)

        要滿足( iii),則只有在下列數(shù)中尋找:

        101,102,103,111,112,113,121,122,123,131,132,141.

        經(jīng)計算,當(dāng)y=0時,z=1,2,3都滿足上面的性質(zhì);當(dāng)y=1時,z=1,2,3時滿足上面的性質(zhì);當(dāng)y=2時,z=1,2滿足上面的性質(zhì).其余的三位數(shù)依此類推.綜上所知,僅以下15個數(shù)滿足要求,即101,102,103,111,112,113, 121,122, 201, 202,211,212,221,301,311.還可以對更高位數(shù)進行討論,這里不再說明.

        通過2.1及2.2的證明說明,滿足循環(huán)性的自然數(shù)必定滿足類楊輝三角性,則給出如下定理.

        3 兩位數(shù)的3-循環(huán)性和3-類楊輝三角性

        上面已經(jīng)給出了所有滿足2-循環(huán)性和2-類楊輝三角性的兩位自然數(shù),那么現(xiàn)在將這兩個性質(zhì)推廣到3-循環(huán)性和3-類楊輝三角性.

        性質(zhì)2所有具有3-類楊輝三角性的兩位數(shù)為:11.

        證明記(xy)10表示一個兩位數(shù),為使其滿足2-循環(huán)性和2-類楊輝三角性,顯然x=0或y=0不成立,于是必須有1≤x≤9,1≤y≤9.

        1)當(dāng)y=1時,有

        (x1)103=(10x+1)3=(100x2+20x+1)×

        (10x+1)=1000x3+300x2+30x+1

        (5)

        (1x)103=(10+x)3=(100+20x+x2)×

        (10+x)=1000+300x+30x2+x3

        (6)

        于是,由式(5)得(x1)103的個位數(shù)為1,若(x1)10要滿足上述性質(zhì),則(1x)103的最高位數(shù)必須為1,而1331≤(1x)103<8000,并且它只是一個四位數(shù),而2≤x≤9時,最高位數(shù)均不為1,即只有11滿足.

        2)當(dāng)y=2時,有

        (x2)103=(10x+2)3=(100x2+40x+4)×

        (10x+2)=1000x3+600x2+120x+8

        (7)

        (2x)103=(20+x)3=(400+40x+x2)×

        (20+x)=8000+1200x+60x2+x3

        (8)

        于是,由式(7)得(x2)103的個位數(shù)為8,若需滿足上述性質(zhì),則(2x)103的最高位必須為8,而9261≤(2x)103≤23489,則(x2)10顯然不滿足.

        3)當(dāng)y=3時,有

        (x3)103=(10x+3)3=(100x2+60x+9)×

        (10x+2)=1000x3+900x2+270x+27

        (9)

        (3x)103=(30+x)3=(900+60x+x2)×

        (30+x)=27000+2700x+90x2+x3

        (10)

        于是,由式(9)得(x3)103的個位數(shù)為7,而29791≤(3x)103≤59319,則(x3)10顯然不滿足.

        4)當(dāng)y=4時,有

        (x4)103=(10x+4)3=(100x2+80x+16)×

        (10x+4)=1000x3+1200x2+480x+64

        (11)

        而68921≤(4x)103≤117649,則(x4)10顯然不滿足.

        5)當(dāng)y=5時,(x5)103的個位數(shù)為5,而132651≤(5x)103≤205379,則(x5)10顯然不滿足.

        6)當(dāng)y=6時,(x6)103的個位數(shù)為6,而226981≤(6x)103≤328509,則(x6)10顯然不滿足.

        7)當(dāng)y=7時,(x7)103的個位數(shù)為3,所以(7x)103的最高位必須為3,而357911≤(7x)103≤493039,因為743=405224,故只能在71,72,73中找,由1),2),3)的討論可知,71,72,73均不滿足,則(x7)10不滿足.

        8)當(dāng)y=8時,(x8)103的個位數(shù)為2,而531441≤(8x)103≤704969,則(x8)10顯然不滿足.

        9)當(dāng)y=9時,(x9)103的個位數(shù)為9,而753571≤(9x)103≤970299,通過計算只有973,983,993三個數(shù)的最高位數(shù)為9,經(jīng)計算均不滿足,則(x9)10也不滿足.

        綜合1)~9)可知,所有具有3-類楊輝三角性的兩位數(shù)為11.

        4 結(jié)束語

        經(jīng)過計算還發(fā)現(xiàn):1113=1367631,(1+1+1)3=1+3+6+7+6+3+1=27;1013=1030301,(1+0+1)3=1+3+3+1.114=14641,(1+1)4=1+4+6+4+1;1014=104060401,(1+0+1)4=1+4+6+4+1;經(jīng)過計算1114不滿足類楊輝三角性,再考慮11,101的五次冪也不再滿足.通過上述兩位數(shù),三位數(shù)的二次、三次冪的證明可知,隨著位數(shù)及次冪的增大,滿足循環(huán)性和類楊輝三角性的自然數(shù)越來越少,那么是否可以斷定到了一定的p位數(shù)及q次冪后就不會出現(xiàn)自然數(shù)滿足上述性質(zhì),這有待于我們進一步的研究.

        [1]陳景潤,張明堯.關(guān)于自然數(shù)中的一些有趣的性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,1985(8):2-4.

        [2]吳維煊.由楊輝三角形構(gòu)建的數(shù)學(xué)聯(lián)系[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010,29(2):54-57.

        [3]王進明.初等數(shù)論[M].北京:人民教育出版社,2002.

        [4]朱偉義.有關(guān)自然數(shù)方冪和公式系數(shù)的一個新的遞推[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2004,34(10):170-173.

        [5]趙新華.自然數(shù)冪和公式的對稱形式[J].云南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,20(6):481-485.

        [6]孟凡申.自然數(shù)冪方和用二項系數(shù)表示的系數(shù)公式[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2010,40(20):159-166.

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