蔣世雷 鄭閩

［摘 ?要］ 在分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合等方法，讓學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)乘法的意義，加強(qiáng)基本數(shù)量關(guān)系和各類解決問(wèn)題的算理及算法的口述訓(xùn)練，溝通與其他相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，幫助學(xué)生厘清并拓展解決問(wèn)題的思路。

［關(guān)鍵詞］ 分?jǐn)?shù)乘除法；解決問(wèn)題；幾何直觀；數(shù)形結(jié)合；口述訓(xùn)練

與整數(shù)、小數(shù)的解決問(wèn)題相比，分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題由于數(shù)量關(guān)系比較抽象，學(xué)生理解難度增大，因此一直是解決問(wèn)題教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。怎樣突破這一教學(xué)難點(diǎn)呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)整體把握分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容自身的結(jié)構(gòu)化，處理好教學(xué)內(nèi)容的整體性、一致性和階段性等關(guān)系，緊扣分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)乘法的意義，借助實(shí)物圖、直條圖、線段圖等幾何直觀手段，讓學(xué)生建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，并利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索出各類解決問(wèn)題的思路。

分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的教學(xué)，從縱的方面來(lái)說(shuō)，要提前訓(xùn)練，多層次孕伏；從橫的方面來(lái)說(shuō)，一要充分揭示分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題本身各要素之間的關(guān)系，加強(qiáng)基本數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練，二要溝通與此有關(guān)的其他知識(shí)（如倍數(shù)、比等）的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師應(yīng)如何利用幾何直觀來(lái)加強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題分析思路的口述訓(xùn)練呢？

一、借助直觀，深度理解

在分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)整體把握教學(xué)內(nèi)容，厘清層次，提前規(guī)劃訓(xùn)練，步步孕伏鋪墊，運(yùn)用幾何直觀手段、數(shù)形結(jié)合等方法，從分率句（即用分?jǐn)?shù)反映兩個(gè)量之間的關(guān)系句）入手，引導(dǎo)學(xué)生緊扣分?jǐn)?shù)的意義理解分率句所反映的兩個(gè)量的倍比關(guān)系，在理解的基礎(chǔ)上厘清數(shù)量關(guān)系，探尋解題思路，為形成算法漸次過(guò)渡。

1.結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義用份數(shù)理解分率句，提前孕伏

到了五年級(jí)下期，學(xué)生開(kāi)始系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義，對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)更加抽象。學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)，特別是對(duì)分率句的理解，這需要一個(gè)長(zhǎng)期漸進(jìn)的過(guò)程。

（1）包含關(guān)系分率句的理解。

比如在“男生人數(shù)占全班人數(shù)的”中，男生人數(shù)包含于全班人數(shù)之中，兩者是局部與整體之間的包含關(guān)系。在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，結(jié)合直條圖（如圖1），教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生理解：把全班人數(shù)看作單位“1”，平均分成5份，男生人數(shù)占其中的3份。

（2）并列關(guān)系分率句的理解。

比如在“男生人數(shù)是女生人數(shù)的”中，男生人數(shù)和女生人數(shù)是同類量之間的并列關(guān)系。在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義后，教師可呈現(xiàn)此類分率句，結(jié)合線段圖（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生敘述為：把女生人數(shù)看作單位1”，平均分成5份，男生人數(shù)相當(dāng)于這樣的4份。

此類口述訓(xùn)練，既加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，又溝通了分?jǐn)?shù)與份數(shù)的聯(lián)系，同時(shí)為用份數(shù)來(lái)解決與分?jǐn)?shù)乘除法相關(guān)的問(wèn)題做了提前孕伏，可謂“一石三鳥(niǎo)”。敘述時(shí)教師可以用課件逐步呈現(xiàn)直條圖或線段圖，幫助學(xué)生更好地用份數(shù)來(lái)理解。

2. 分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算教學(xué)中透徹理解一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義

在六年級(jí)的分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算教學(xué)中，教師要讓學(xué)生知道：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，都是求幾個(gè)相同加數(shù)的和，即求幾個(gè)幾是多少；一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，就是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。前者體現(xiàn)出整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法意義的一致性，學(xué)生容易理解，教學(xué)時(shí)教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注后者。在分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)如何通過(guò)數(shù)形結(jié)合提前孕伏，幫助學(xué)生理解透一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義呢？

比如，教師可以出示以下練習(xí)：

（1）你能畫圖分別表示出8個(gè)蘋果、12個(gè)蘋果的嗎？

（2）8個(gè)蘋果的是幾個(gè)蘋果？12個(gè)蘋果的是幾個(gè)蘋果？說(shuō)一說(shuō)你是怎么想的？

（3）都是這些蘋果的，為什么蘋果的個(gè)數(shù)不一樣？

在第（2）個(gè)問(wèn)題中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生這樣敘述理解：8個(gè)蘋果的是把8個(gè)蘋果看作單位“1”，平均分成4份，每份是8÷4=2（個(gè)），其中的3份就是2×3=6（個(gè)）蘋果，所以8個(gè)蘋果的是6個(gè)蘋果。同樣，12個(gè)蘋果的是把12個(gè)蘋果看作單位“1”，平均分成4份，每份是12÷4=3（個(gè)），其中的3份就是3×3=9（個(gè)）蘋果，所以12個(gè)蘋果的是9個(gè)蘋果。通過(guò)這樣的口述訓(xùn)練，學(xué)生弄清了求一個(gè)數(shù)的，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，就是把這個(gè)數(shù)平均分成4份，取其中的3份是多少，由此幫助學(xué)生建立起分?jǐn)?shù)的意義與求一個(gè)數(shù)的幾分之幾的內(nèi)在聯(lián)系（如圖3）。

在上面的練習(xí)中，教師通過(guò)數(shù)形結(jié)合恰當(dāng)?shù)靥幚砹酥庇^與抽象的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀表述既理解了的意義，還理解了由于單位“1”不同，同樣是單位“1”的，但是所表示具體數(shù)量并不相同。這樣的練習(xí)溝通了一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義與分?jǐn)?shù)的意義之間的聯(lián)系，為以后的分?jǐn)?shù)乘法中用“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”來(lái)解決問(wèn)題做好了鋪墊。

3. 強(qiáng)化“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”解決問(wèn)題中解題思路的口述訓(xùn)練

學(xué)生透徹理解了一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義后，教師即可在分?jǐn)?shù)乘法的解決問(wèn)題教學(xué)中強(qiáng)化“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”解題思路的口述訓(xùn)練。眾所周知，在分?jǐn)?shù)乘除法的解決問(wèn)題教學(xué)中，簡(jiǎn)單的用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題是基礎(chǔ)。因此，在分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算教學(xué)中，教師要充分結(jié)合分?jǐn)?shù)乘法的意義，在具體的問(wèn)題情景中借助線段圖或直觀圖讓學(xué)生充分感知并理解一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，就是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。

（1）簡(jiǎn)單的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”？

西南大學(xué)版教材六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)乘法例題：從甲地到乙地共有84千米，已經(jīng)行了全程的，汽車已經(jīng)行了多少千米？

教師先引導(dǎo)學(xué)生畫出線段圖（如圖4），然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合線段圖從分率句入手，用份數(shù)和一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義分析解題的思路。

①用份數(shù)分析：“行了全程的”，把全程看作單位“1”，平均分成3份，行了的路程占其中的2份。已知全程是84千米，平均分成3份，每份是84÷3=28（千米），2份是28×2=56（千米）。列式為：84÷3×2=56（千米）。

②用一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義分析：“行了全程的”是指已經(jīng)行了的路程占全程的，把全程看作單位“1”，已經(jīng)行了的路程=全程×，已知全程是84千米，求已經(jīng)行了多少千米，就是求84千米的是多少，用乘法算，列式為：84×=56（千米）。

（2）稍復(fù)雜的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”？

如前所述，在用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題中，簡(jiǎn)單的用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題是基礎(chǔ)和關(guān)鍵。如果學(xué)生掌握了用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題的解題思路，在面對(duì)稍復(fù)雜的用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題時(shí)，也能從基本的數(shù)量關(guān)系和基本的解法遷移拓展過(guò)去。

比如在教學(xué)“足球有20個(gè)，籃球的個(gè)數(shù)比足球多，籃球有多少個(gè)”時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生理解題意，畫出線段圖（如圖5），然后結(jié)合線段圖，從分率句入手用不同的思路進(jìn)行分析。

分析一：“籃球的個(gè)數(shù)比足球多”，是把足球的個(gè)數(shù)看作單位“1”，籃球的個(gè)數(shù)相當(dāng)于足球個(gè)數(shù)的1+，已知足球有20個(gè)，求籃球有多少個(gè)，就是求20個(gè)的1+是多少，列式為：20×1+=25（個(gè)）。

分析二：“籃球的個(gè)數(shù)比足球多”，是把足球的個(gè)數(shù)看作單位“1”，籃球比足球多的個(gè)數(shù)相當(dāng)于足球個(gè)數(shù)的。已知足球有20個(gè)，所以籃球比足球多20×=5（個(gè)），再用20+5=25（個(gè)）即可求出籃球的個(gè)數(shù)。

二、數(shù)形結(jié)合，注重歸類

“結(jié)構(gòu)化”是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容、方法都具有高度的結(jié)構(gòu)化特征。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要站在整體、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的高度把握、處理教學(xué)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)與組織教學(xué)。在分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生借助實(shí)物圖或線段圖等直觀圖示，厘清各種基本類型的結(jié)構(gòu)，在各種類型的解決問(wèn)題教學(xué)中加強(qiáng)口述訓(xùn)練，幫助學(xué)生弄清分析問(wèn)題的思路，從而提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

比如，在“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”類型的題目解題思路口述訓(xùn)練時(shí)，以解決問(wèn)題“合唱隊(duì)有男生15人，女生20人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的幾分之幾”為例，教師應(yīng)緊扣分?jǐn)?shù)的意義，引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：求“男生人數(shù)是女生人數(shù)的幾分之幾”，是把“男生人數(shù)”同“女生人數(shù)”做比較，因此“女生人數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)，是單位“1”。題目中“男生有15人，女生有20人”，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，可以這樣想：把“女生人數(shù)”看作單位“1”，平均分成20份，男生有這樣的15份，所以男生人數(shù)是女生人數(shù)的，列式為：15÷20=。

大部分教材都將“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的教學(xué)安排在“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)之后，此時(shí)學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)約分等知識(shí)。如果學(xué)生學(xué)習(xí)了約分以后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將5個(gè)人作為1份，畫出實(shí)物圖（如圖6）或線段圖（如圖7），然后采用數(shù)形結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生分析：如果把5個(gè)人作為1份，求男生人數(shù)是女生人數(shù)的幾分之幾，是把女生人數(shù)看作單位“1”，平均分成20÷5=4份，男生有這樣的15÷5=3份，所以男生人數(shù)是女生人數(shù)的。列式為：15÷20==。

三、運(yùn)用圖表，溝通關(guān)聯(lián)

1. 厘清乘除法的關(guān)聯(lián)性，根據(jù)乘除法的互逆關(guān)系完善基本數(shù)量關(guān)系和解決思路的口述訓(xùn)練

在學(xué)生理解了“一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)，就是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾”這一含義后，筆者要求學(xué)生先讀分率句，找出單位“1”，然后說(shuō)出基本的數(shù)量關(guān)系。比如在“男生人數(shù)是女生人數(shù)的”中，筆者引導(dǎo)學(xué)生這樣理解：“把女生人數(shù)看作單位‘1，男生人數(shù)＝女生人數(shù)×。”在充分理解算理的基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)乘除法的互逆關(guān)系得出“女生人數(shù)＝男生人數(shù)÷”后，還可以開(kāi)展這一數(shù)量關(guān)系的口述訓(xùn)練（如表1）。這樣學(xué)生對(duì)基本的用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的算理理解更深刻，算法形成更清晰，更易于知識(shí)的系統(tǒng)化。

如前所述，在用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題中，簡(jiǎn)單的用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題是基礎(chǔ)和關(guān)鍵。如果學(xué)生掌握了用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題的解題思路，在教學(xué)“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”時(shí)，學(xué)生自然而然就會(huì)想到用方程解或根據(jù)乘除法的互逆關(guān)系來(lái)解答。在解答稍復(fù)雜的用分?jǐn)?shù)乘除法解答的解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生也能從基本的數(shù)量關(guān)系和基本的解法遷移拓展過(guò)去。

2. 聯(lián)想訓(xùn)練

實(shí)踐證明，在教學(xué)用分?jǐn)?shù)乘除法來(lái)解決問(wèn)題的教學(xué)中，“多想幾步”這種訓(xùn)練方法，對(duì)打開(kāi)學(xué)生思路和提高解題能力很有幫助。比如“一段路，已修了全長(zhǎng)的”，要求學(xué)生想到“還剩全長(zhǎng)的”；“一堆煤，第一次運(yùn)走這堆煤的，第二次運(yùn)走這堆煤的”，要求學(xué)生想到“兩次共運(yùn)走這堆煤的”“第二次比第一次多運(yùn)走這堆煤的”“還剩下這堆煤的1－－＝”（見(jiàn)表2）。

“多想”是根據(jù)整體與部分之間的內(nèi)在聯(lián)系、部分與部分之間的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的。經(jīng)過(guò)“多想幾步”訓(xùn)練，可以使題目中隱含的數(shù)量明朗化，開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力。

3. 溝通與其他知識(shí)的聯(lián)系

在分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的教學(xué)中，教師要適度引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)的其他知識(shí)進(jìn)行溝通訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)知識(shí)上的融會(huì)貫通。比如在比的相關(guān)知識(shí)教學(xué)后，教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生找出整體與部分之間、部分與部分之間存在的各種倍比關(guān)系，并將相關(guān)的兩個(gè)量之間的比和分率關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化清晰地表述出來(lái)，把分?jǐn)?shù)、份數(shù)、倍數(shù)、比等相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。比如，對(duì)于“蘋果樹(shù)的棵數(shù)比梨樹(shù)多”，教師可以引領(lǐng)學(xué)生從不同角度理解和口述（如表3）。

在此基礎(chǔ)上，教師還可以通過(guò)設(shè)計(jì)題組來(lái)溝通用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題和用份數(shù)、倍數(shù)、比的知識(shí)等來(lái)解決問(wèn)題之間的聯(lián)系，以形成更宏大的知識(shí)體系。這為學(xué)生掌握、拓展并優(yōu)化解決問(wèn)題的策略提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

總之，幾何直觀有助于學(xué)生把握問(wèn)題的本質(zhì)和明晰思維的路徑。在分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)從整體把握好教學(xué)內(nèi)容，利用實(shí)物圖、條形圖、線段圖等幾何直觀、數(shù)形結(jié)合等方法，提前孕伏，層層深入，讓學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)乘除法的意義，注重各種類型解決問(wèn)題思路的口述訓(xùn)練，利用圖表溝通與其他相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，探索出解決問(wèn)題的多種思路，從而達(dá)到理想的教學(xué)效果。