高向輝　張艷　刁善玉思佳　劉延革

【摘 要】文章以小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域中“長方體和正方體的體積”的學(xué)習(xí)為例，以北京市小學(xué)數(shù)學(xué)教研團(tuán)隊(duì)開發(fā)的“單元教學(xué)路徑”（第二版本）為依據(jù)，進(jìn)行了單元教學(xué)的研究與實(shí)踐。從度量對象、度量單位和度量方法等方面分析度量本質(zhì)的一致性，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，即在角的度量學(xué)習(xí)中建立起的度量結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行遷移，實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 單元設(shè)計 度量結(jié)構(gòu) 自主遷移

新課標(biāo)在課程實(shí)施中提出，要注重教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化；把握知識間的關(guān)聯(lián)，建立有支撐意義的知識結(jié)構(gòu)，能幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，促進(jìn)遷移式學(xué)習(xí)，更好發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

體積是小學(xué)階段最后一次幾何度量的學(xué)習(xí)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長度、面積、角度，探索了共性化的認(rèn)識路徑，積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，初步形成了幾何度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，可以引導(dǎo)學(xué)生借助已有的度量學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)，運(yùn)用遷移學(xué)習(xí)體積，并在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)一步豐富完善度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以促進(jìn)學(xué)生形成更廣泛的遷移，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。下面具體闡述單元整體設(shè)計和實(shí)施的思考。

一、單元的學(xué)習(xí)主題及具體觀念

（一）聚焦新課標(biāo)變化，明確度量學(xué)習(xí)的方向

“長方體和正方體的體積”屬于圖形與幾何領(lǐng)域中“圖形的認(rèn)識與測量”這一主題。新課標(biāo)將圖形認(rèn)識與測量合并為一個主題，更關(guān)注二者之間的聯(lián)系。對于立體圖形的學(xué)習(xí)，新課標(biāo)要求教師引導(dǎo)學(xué)生通過對立體圖形的測量，從度量的角度認(rèn)識立體圖形的特征，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。有關(guān)體積的學(xué)習(xí)內(nèi)容，新課標(biāo)提出：要通過實(shí)例了解體積的意義，知道體積的度量單位，能進(jìn)行單位之間的換算，體驗(yàn)不規(guī)則物體體積的測量方法，探索并掌握長方體、正方體的體積計算公式，能用這些公式解決簡單的實(shí)際問題。從中可以看出，新課標(biāo)是從認(rèn)識“度量屬性”、確定“度量單位”、探索“度量方法”、解決“實(shí)際問題”的角度明確了學(xué)習(xí)內(nèi)容，提出了具體要求，同時這也是學(xué)生認(rèn)識體積要經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程。這樣的學(xué)習(xí)過程與長度、面積、角度的學(xué)習(xí)具有一致性，素養(yǎng)表現(xiàn)是量感和推理意識。

（二）分析教材設(shè)計，梳理度量學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)

在“長方體和正方體”單元，學(xué)生第一次深入研究立體圖形，是從二維平面圖形到三維立體圖形的一次跨越。學(xué)生通過展開與折疊、視圖與還原、切割與堆積多角度進(jìn)行二維與三維的轉(zhuǎn)化，了解了長方體、正方體的特征。但如何從量化的角度認(rèn)識三維空間呢？這就需要引入新的度量屬性—體積。

對比人教版、北京版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，三個版本教材在編排時都引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“認(rèn)識度量屬性體積—確定體積單位—單位累加度量體積—探索體積與圖形要素關(guān)系獲得公式—選擇合適方法解決生活問題”的過程，這樣的研究過程與學(xué)習(xí)長度、面積、角度相同，體現(xiàn)了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一致性。

北京版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編排中更突顯溝通長度、面積、體積之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，運(yùn)用遷移學(xué)習(xí)體積度量，豐富對度量內(nèi)涵的認(rèn)識，在聯(lián)系與對比中進(jìn)一步完善度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這樣的學(xué)習(xí)過程符合學(xué)生的認(rèn)知，也體現(xiàn)了知識的進(jìn)階。

綜上分析發(fā)現(xiàn)，體積與長度、面積、角度都在圍繞度量的本質(zhì)展開教學(xué)，它們之間呈現(xiàn)的知識結(jié)構(gòu)和思維方法具有一致性。因此，教學(xué)時可以運(yùn)用類比遷移，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和方法自主探究，使學(xué)生體會到度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是可以遷移的，能應(yīng)用到新的度量學(xué)習(xí)中。在這個過程中，發(fā)展量感、推理意識、空間觀念，以及解決實(shí)際問題能力和創(chuàng)新意識。因此，北京研究團(tuán)隊(duì)確定了本單元的學(xué)習(xí)主題和具體概念。

（三）單元具體概念及學(xué)習(xí)主題

學(xué)習(xí)主題：借助結(jié)構(gòu)，促進(jìn)遷移。

單元具體概念如下：

具體概念一：體積刻畫物體所占空間的大小，度量的基本方法是體積單位的累加。通過尋找長方體、正體積與要素之間的關(guān)系，獲得體積公式。

具體概念二：解決體積問題選取的度量方法和度量單位源于實(shí)際生活的需要。

具體概念三：在上述過程中，發(fā)展學(xué)生量感、推理意識、空間觀念，以及解決問題的能力和創(chuàng)新意識。

以上的單元具體概念明確了度量對象、度量過程和素養(yǎng)目標(biāo)。本單元要在單元具體概念引領(lǐng)下，基于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來展開教學(xué)。

二、學(xué)情分析

所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生掌握新知識的過程，就是他們逐步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。根據(jù)教材中度量領(lǐng)域的學(xué)習(xí)路徑分析，得知學(xué)生在中、低年級學(xué)習(xí)長度、面積、角度時，早已進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)。為了突顯學(xué)生的主體地位，強(qiáng)調(diào)知識的理解與遷移，“體積”相關(guān)內(nèi)容的學(xué)情分析將分別從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰性、辨析性、穩(wěn)定性三個方面進(jìn)行。（如圖1）

調(diào)研對象：30名五年級學(xué)生。

調(diào)研目的1：了解度量領(lǐng)域?qū)W習(xí)中，學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

題目1：生活中經(jīng)常遇到“測量”活動。比如，測量出一個蘋果的質(zhì)量約200克；某學(xué)生的身高140厘米；一間屋子的占地面積40平方米；等等。你知道生活中還能測量些什么呢？

通過梳理學(xué)生提到的度量屬性，大體分為生活中常見的量（質(zhì)量、溫度）、幾何的量（長度、角度、面積、體積、容積），還有一些不太熟悉的導(dǎo)出的量（速度、密度、濃度）。其中大部分學(xué)生都提到“體積”這個詞。

隨后，教師以訪談的方式追問學(xué)生：“哪些是我們已經(jīng)能夠測量出來的呢？怎樣測量？請你舉例說一說。”有的學(xué)生說：“時間我們可以用鐘表來測量，比如一節(jié)課40分鐘。”有的學(xué)生說：“測量溫度可以用溫度計，比如室溫是25攝氏度?！边€有的學(xué)生說：“人的質(zhì)量可以用稱來測量，我的質(zhì)量是40千克?！庇械膶W(xué)生說：“我用尺子可以測量出一本數(shù)學(xué)書的厚度是0.5厘米。要求它的面積可以先測出長和寬，然后將長和寬相乘就可以得到面積。”

對“這些度量方法之間有沒有相同的地方？”這個問題，30名學(xué)生，累計收集了46次共同點(diǎn)。這些相同點(diǎn)的占比如圖2：

基于這樣的數(shù)據(jù)，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生提煉的共同點(diǎn)都是通過最直觀地觀察得到的表象特征，缺乏對度量方法本質(zhì)和共性之間關(guān)聯(lián)（即為什么會有這些共性）的深層次理解。由此，教師得到調(diào)研結(jié)果：一方面，學(xué)生有著豐富的度量經(jīng)驗(yàn)，了解常見屬性的度量單位和度量工具，會簡單應(yīng)用工具測出相應(yīng)的數(shù)值；另一方面，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，度量知識是碎片化的，沒有形成清晰的度量性概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，在后續(xù)的教學(xué)中，我們應(yīng)把“體積”單元的教學(xué)內(nèi)容嵌入更大的“度量”視角，讓學(xué)生經(jīng)歷類比、推理的思考過程，加深對度量本質(zhì)的理解，幫助學(xué)生構(gòu)建度量性概念的學(xué)習(xí)路徑。

調(diào)研目的2：了解易混概念學(xué)生是否產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

題目2：同學(xué)們聽說過體積嗎？什么是物體的體積？

97%的學(xué)生聽說過“體積”這個概念。對于“什么是物體的體積？”這個問題，調(diào)研數(shù)據(jù)分布如圖3：

基于這樣的數(shù)據(jù)分布，教師發(fā)現(xiàn)有20%的學(xué)生認(rèn)為體積就是空間，即沒有把體積歸為是用“數(shù)”去表達(dá)的量。還有部分學(xué)生對體積的理解，受到面積和質(zhì)量屬性的干擾。尤其是受到面積干擾，就像學(xué)生在接觸一維概念長度和二維概念面積時發(fā)生混淆，二維概念和三維概念之間，也發(fā)生了混淆。17%的學(xué)生沒有直接回答什么是體積，但模糊地描述了與體積相關(guān)的知識。當(dāng)然，還有33%的學(xué)生說出了體積的含義。面對這樣的結(jié)果，教師后續(xù)設(shè)計體積的學(xué)習(xí)活動時，一是要關(guān)注體積概念的本質(zhì)，因?yàn)轶w積是可測屬性，要突顯體積是用數(shù)量去刻畫立體圖形的大小的；二是要關(guān)注學(xué)生受質(zhì)量和面積屬性的干擾，在適當(dāng)?shù)臅r候，設(shè)計容易產(chǎn)生認(rèn)知沖突的活動內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在辨析中突破認(rèn)知障礙，從而理解體積的概念。

調(diào)研目的3：了解學(xué)生是否具備自主遷移的學(xué)習(xí)能力。

在學(xué)生理解體積的概念后，教師想要進(jìn)一步了解學(xué)生在以往度量知識的學(xué)習(xí)中，是否有一定的知識遷移意識與能力，因此設(shè)計如下題目。

題目3：結(jié)合長度、面積、角度的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你們覺得應(yīng)該從哪些方面來研究體積？對每個方面的內(nèi)容有哪些猜想？

對于第一小問，學(xué)生能夠想到可以從體積單位、單位進(jìn)率、體積計算公式、體積在生活中的應(yīng)用四個方面進(jìn)行研究。調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示（如圖4），大部分學(xué)生都能想到2～3個方面，被提到最多的方面就是體積單位和體積計算公式。這表明多數(shù)學(xué)生能夠遷移長度、面積的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)行體積單位、進(jìn)率及體積公式和應(yīng)用等方面學(xué)習(xí)規(guī)劃，但是思考不夠全面，需要在后續(xù)的學(xué)習(xí)活動中，繼續(xù)補(bǔ)充完善。同時，從學(xué)生的猜想中可以看出，多數(shù)學(xué)生猜想正確，具有一定的推理意識。

綜上分析，學(xué)生具備一定知識遷移的能力。在已有的研究中也曾指出，學(xué)生進(jìn)入體積測量學(xué)習(xí)之前積累了大量的度量經(jīng)驗(yàn)，無論是度量對象、度量方法，還是解決問題，都可以進(jìn)行遷移式學(xué)習(xí)。因此，教師應(yīng)充分借助學(xué)生已有的關(guān)于度量學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生自主規(guī)劃“體積”內(nèi)容的探究與推理。

三、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)及結(jié)果表現(xiàn)

基于以上分析，我們確定了單元學(xué)習(xí)目標(biāo)及結(jié)果表現(xiàn)（見表1）。在結(jié)果表現(xiàn)中，第1～8條對應(yīng)知能目標(biāo)，第9～10條對應(yīng)理解目標(biāo)，第11～12條對應(yīng)遷移目標(biāo)。

四、學(xué)生思考的關(guān)鍵問題及學(xué)習(xí)任務(wù)序列

（一）學(xué)生思考的關(guān)鍵問題

由單元具體觀念衍生出的關(guān)鍵問題是學(xué)習(xí)任務(wù)的核心，是學(xué)生理解、感悟并形成單元具體概念的依據(jù)。確立關(guān)鍵問題，可以引導(dǎo)學(xué)生開展深度思考和合作交流，是“達(dá)到理解意義和自主遷移目標(biāo)的關(guān)鍵”。基于“體積”單元具體概念，我們設(shè)計了本單元需要學(xué)生深入思考的三個關(guān)鍵問題。（如圖5）

關(guān)鍵問題1指向單元具體概念1。度量刻畫的是事物屬性的“大小”，其中體會被測事物的屬性對于學(xué)生是重要的，有時候還是困難的。這個關(guān)鍵問題重點(diǎn)就是思考度量屬性，下面對應(yīng)著兩個子問題：子問題1，使學(xué)生關(guān)注一個度量對象具有不同的度量屬性；子問題2，從不同的度量屬性中聚焦三維空間的度量，認(rèn)識體積。關(guān)鍵問題引領(lǐng)學(xué)生將體積概念的學(xué)習(xí)放置度量領(lǐng)域的知識體系中，從更大的度量視角來認(rèn)識體積，有助于學(xué)生建立度量性概念的知識結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵問題2指向單元具體概念1，2，3。這個關(guān)鍵問題旨在借助已有度量認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用遷移進(jìn)行學(xué)習(xí)。首先遷移在長度、面積、角度學(xué)習(xí)中獲得的知識結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生自主規(guī)劃體積的學(xué)習(xí)內(nèi)容。然后在規(guī)劃下展開結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)，聯(lián)系已有的度量學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分別研究體積單位、體積的基本度量方法、圖形要素與體積大小的關(guān)系，以及如何選擇合適的度量方法和單位解決實(shí)際問題。在規(guī)劃與研究的過程中，使學(xué)生不斷自我完善度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的量感、推理意識、空間觀念，以及解決問題的能力及創(chuàng)新意識。因此，在這個關(guān)鍵問題下對應(yīng)著四個子問題，分別聚焦如何規(guī)劃體積學(xué)習(xí)內(nèi)容，體積單位的研究，體積公式的猜想驗(yàn)證，解決生活中的體積問題。

關(guān)鍵問題3指向單元具體概念1，3。在完成小學(xué)階段最后一次幾何度量學(xué)習(xí)后，在關(guān)鍵問題3的引領(lǐng)下，通過兩個子問題，引導(dǎo)學(xué)生溝通不同屬性度量之間的聯(lián)系，豐富度量的認(rèn)知體系，完善度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并能將結(jié)構(gòu)自主遷移到新屬性的度量研究中，形成善于應(yīng)用結(jié)構(gòu)研究問題的意識，發(fā)展學(xué)生的量感和推理意識。

在單元具體概念引領(lǐng)下，基于三個關(guān)鍵問題，研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計了學(xué)習(xí)任務(wù)序列。

（二）基于關(guān)鍵問題的學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計框架

本單元共14個學(xué)習(xí)任務(wù)，分6課時進(jìn)行教學(xué)。學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計體現(xiàn)度量的全過程，注重借助已有的度量認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生在遷移中學(xué)習(xí)。（如圖6）

學(xué)習(xí)任務(wù)1～4突出度量屬性，創(chuàng)設(shè)有關(guān)冰激凌的生活情境，提出多種度量屬性，在多種度量屬性中聚焦三維空間度量，在度量活動中感受立體圖形的三維屬性特點(diǎn)，認(rèn)識到體積的大小是可量化的。學(xué)習(xí)任務(wù)5規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容，借助已有的度量認(rèn)知結(jié)構(gòu)自主規(guī)劃，以利于展開結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)任務(wù)6～7關(guān)注度量單位，遷移長度單位和面積單位的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)度量屬性先猜想，再統(tǒng)一體積單位的形狀、大小與進(jìn)率，并能靈活選擇單位度量，再一次感受單位累加的基本度量方法。學(xué)習(xí)任務(wù)8自學(xué)容積和容積單位。學(xué)習(xí)任務(wù)9～10優(yōu)化度量方法，類比遷移長方形面積公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，研究立體圖形的要素與體積的關(guān)系，獲得長方體、正方體體積公式。學(xué)習(xí)任務(wù)11～12解決生活問題，根據(jù)實(shí)際需要，選擇合適的度量方法解決問題。學(xué)習(xí)任務(wù)13～14回顧梳理反思，溝通不同度量屬性間的聯(lián)系，豐富度量體系，完善度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并能遷移到新屬性的度量研究中，形成結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的意識。

（三）設(shè)計特色說明

1.在多屬性測量中激活度量經(jīng)驗(yàn)

無論是幾何領(lǐng)域中的長度、面積、體積等概念，還是生活中常見的量，比如溫度、時間、質(zhì)量等，都具有用“數(shù)”去刻畫大小的本質(zhì)。因此，“體積”單元的設(shè)計起點(diǎn)并沒有從研究體積概念直接入手，而是先將“體積”這一概念嵌入更大的度量知識體系中，體會度量的一致性。教學(xué)時創(chuàng)設(shè)有關(guān)冰激凌的情境，引導(dǎo)學(xué)生借助熟悉的“量”，如可以測量冰激凌的質(zhì)量、冰激凌杯子的表面積、冰激凌的溫度等，喚醒度量經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)自主研究體積或其他屬性相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊。

2.在自主規(guī)劃中遷移度量結(jié)構(gòu)

基于課前的學(xué)情調(diào)研， 可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生能夠遷移長度和面積研究的內(nèi)容，自主規(guī)劃出研究體積需要從哪些方面入手。課堂中通過學(xué)生之間的交流、補(bǔ)充和啟發(fā)，學(xué)生意識到無論長度、面積，還是體積，都需要研究它們各自的單位、進(jìn)率、計算公式以及靈活解決問題等方面的內(nèi)容。這樣的自主規(guī)劃，不僅實(shí)現(xiàn)了對體積這一數(shù)學(xué)概念與相關(guān)知識的理解，也引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注一維（長度）、二維（面積）、三維（體積）之間的聯(lián)系，完善幾何領(lǐng)域的度量認(rèn)知。

3.在梳理反思中豐富度量體系

怎樣將幾何領(lǐng)域的度量結(jié)構(gòu)拓展到更大的一般性度量結(jié)構(gòu)中？和本單元的起始學(xué)習(xí)任務(wù)形成呼應(yīng)，從一般性度量經(jīng)驗(yàn)中走進(jìn)體積的學(xué)習(xí)，最終還要回到對一般性度量的認(rèn)識與反思。學(xué)生用喜歡的方式整理所有度量學(xué)習(xí)的發(fā)現(xiàn)與再認(rèn)識。在這些度量內(nèi)容中，既要梳理長度、角度、面積、體積四次幾何度量學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)，還要尋找小學(xué)階段其他常見的量之間的聯(lián)系，從而豐富度量體系，形成結(jié)構(gòu)化思考問題的一般方式，實(shí)現(xiàn)真正意義上的自主遷移。

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注：本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃一般課題“運(yùn)用大觀念發(fā)展兒童數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的實(shí)踐探索”（課題編號：CDDB2020140）的研究成果之一。