摘 要：培養(yǎng)學生數(shù)學思維是數(shù)學教育的核心目標，數(shù)學思維也是數(shù)學高考改革的重要考查方向，文章通過分析全國高考數(shù)學卷，明確高考卷對中學教學的引導方向，探索學生在解高考題時存在的典型思維障礙，并進行成因分析，最終提出了破解方法。

關鍵詞：數(shù)學思維；思維障礙；教學方法

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2024）07-0066-05

一、 數(shù)學思維：數(shù)學高考改革的重要考查方向

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出，數(shù)學教育要引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界，促進學生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展。高考作為中學教學的指揮棒，肩負引領教學方向，為社會和國家選拔人才的重任，其改革的重要考查方向也是以促進數(shù)學思維，培養(yǎng)學生邏輯能力和創(chuàng)新能力為導向。

高考卷在引導中學教學方向上起到怎樣的作用？筆者分析了2023年的全國新高考1卷數(shù)學試題，發(fā)現(xiàn)其有以下幾個特點：

（一）重視思維基礎：強化對基礎知識的深入理解和綜合運用

全國新高考1卷突出對基本概念、基本原理等內容的考查，強化對基礎知識的深入理解和綜合運用，弱化“二級結論”，盡量回避高等數(shù)學的應用。例如，第3題考查平面向量垂直的充要條件、第5題考查向量的定義，這些試題來源于教材，回歸到對基礎知識的考查，凸顯基本概念、基本規(guī)律和基本原理的重要地位。對中學數(shù)學教學回歸課標、回歸教材有積極的引導作用，教師要引導學生重視對基礎知識本質屬性和內在聯(lián)系進行深刻理解與充分掌握，通過深化基礎知識教學，培養(yǎng)學生能力素養(yǎng)。

（二）促進思維活力：創(chuàng)新開放性考查方式，問題解決途徑靈活多樣

新高考1卷重視思維的靈活性，突出問題解決路徑的多樣性，為不同水平的學生提供發(fā)揮空間，不拘泥于死板單一的思路，對同質化的思維具有很強的包容性。學生在解題過程中，體現(xiàn)出有價值的思維，包括與這個數(shù)學問題有關聯(lián)的、準確的原理、知識點、性質等，均可得分。以第20題為例：

設等差數(shù)列｛an｝的公差為d，且d>1。令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項和。若｛bn｝也為等差數(shù)列，且S99-T99=99，求d。

此例中，學生的思路很多，方法各異。從等差數(shù)列的性質出發(fā)，包括：等差中項（列出12a2=2a1+12a3），后一項減去前一項的差為常數(shù)（列出an+1-an=r），等差數(shù)列的通項是一次函數(shù)等性質（列出bn=n（n+1）a1+（n-1）d=b1+（n-1）r），均可通向最后的結論，解決問題。

這樣的題型設置，不拘泥于一種標準解法，倡導學生將與問題有關聯(lián)的、有價值的思維聯(lián)系起來并深化理解應用，也旨在促進教師在平時的教學中，發(fā)展學生思維的靈活性，讓學生學會分析問題，從多角度思考去解決問題。課堂上，教師要借助一題多解的形式，引導學生積極利用對比、聯(lián)想等方法，拓展解題思路，鍛煉思維的靈活度與敏捷度。

（三）注重思維品質：強調融會貫通，會用關鍵能力解決實際問題

高考試題聯(lián)系學生的學習和生活實際，創(chuàng)設真實的學習探索和日常生活情境，考查學生運用所學知識解決具體問題、理論聯(lián)系實際的能力，引導學生關心日常生活、生產活動中蘊含的實際問題，助力核心素養(yǎng)的落實。

例如，新高考1卷中的第21題，以投籃為背景，巧妙地將概率問題融入兩人連續(xù)投籃的情景當中，貼近生活實際創(chuàng)設問題情境。試題將概率的加法和乘法公式，等比數(shù)列的構造和計算有機結合，重在考查學生的邏輯思維能力，以及對事件進行分析、分解和轉化的能力。引導中學教學不斷提高課程實施水平，重視在基礎知識深層次理解基礎上的融會貫通，深入考查思維品質。讓學生運用必備知識和關鍵能力解決實際問題，體會課堂所學內容的應用價值，從而激發(fā)學習興趣，為促進終身發(fā)展努力學習。

二、 學生在解高考時存在的典型思維障礙以及成因分析

研究錯題，思考學生答題錯誤的成因是一項有意義的工作。每一個錯題都不是偶然，它反映出學生對原理、定理等認識不清，理解不準確或記憶錯誤等問題，以及在運算推理過程中，思路不清，方向不明導致的推理錯誤等問題。追本溯源，是學生長期積累的一些不恰當?shù)膶W習方法造成了數(shù)學能力薄弱，進而阻礙了數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展，形成了思維障礙。

分析學生常見的思維障礙主要有：

（一）認知型思維障礙

1. 認知型思維障礙的特征及表現(xiàn)形式

認知型思維障礙主要是指學生在數(shù)學問題解決中，無法利用某一知識與數(shù)學問題之間的聯(lián)系解決數(shù)學思維困境，或者出現(xiàn)知識記憶錯誤的情況。以新高考1卷19題為例：

如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3。

（1）證明：B2C2∥A2D2；

（2）點P在棱BB1上，當二面角P—A2C2—D2為150°時，求B2P。

本題的第一小問是一個證明線線平行的問題，學生在卷面上反映出來的典型錯誤有：

錯誤證法1：由面面平行直接推導出線線平行，這屬于定理記憶錯誤；

錯誤證法2：由面面平行，推出線面平行，再推出線線平行，錯誤原因是由線面平行推導到線線平行的過程中缺少共面的證明，屬于運用定理不準確問題；

錯誤證法3：用兩組對邊相等，推出平行四邊形，證線線平行。這種錯誤的原因同樣是缺少共面的證明，推理過程不準確。

2. 認知型思維障礙的成因分析

學生之所以會產生對原理、定理理解不準確或記憶錯誤的問題，主要是在學習過程中有一些不正確的學習習慣，如對概念學習只求記憶，不求理解，對性質推論，只求結論，不求過程。

首先，高中數(shù)學的概念課，要求在情境中抽象出數(shù)學概念、命題和方法，學習過程貫穿數(shù)學概念的產生、發(fā)展和應用等。如果學生在學習過程中，只是死記硬背公式和定理，不求甚解，忽略了知識產生發(fā)展的過程，就會影響知識的靈活應用。

其次，在數(shù)學學習中，一些學生追求所謂的“效率”，忽視邏輯推理的過程，只追求一些現(xiàn)成的二級結論并將其用以解題。然而，只記住結論，往往會在題目錯綜復雜的變幻中迷失方向。只有擁有邏輯推理的能力，提高自身思維能力，才能以不變應萬變。邏輯推理素養(yǎng)是伴隨著數(shù)學知識出現(xiàn)，卻不會隨著數(shù)學知識消失的一種思維方式，是學生要具備的關鍵能力之一。在教學中，教師要引導學生對定理、推論進行正逆兩方面的推導論證，重視推理論證的過程。同時，教師還可以對已有的例題進行變式、延伸，進而培養(yǎng)學生抓住問題本質的能力，提高學生的邏輯思維能力。

（二）定式型思維障礙

1. 定式型思維障礙的特征及表現(xiàn)形式

定式思維是指學習者在長期的固定化思維狀態(tài)下形成的一種習慣性思維方向，具體表現(xiàn)為思維專注性或者思維趨向性。對于高中學生來講，定式型思維不利的影響在于學生在知識的學習中依靠記憶，問題的思考中循規(guī)蹈矩，問題的解決中盲目模仿，思維呆板，靈活性不強，長此以往養(yǎng)成了惰性思維，不利于學生思維能力的發(fā)展。

我們仍然以新高考1卷的19題立體幾何為例，此證明題除了用幾何定理推出線線平行，還可以通過建立坐標系，利用兩直線的方向向量平行，從而得到兩直線平行的方法。在閱卷過程中，“向量法”的準確率更高，相對“幾何法”更有優(yōu)勢，也更便利。但是，只有較少的學生利用“向量法”來解決這個問題，是學生沒有想到“向量法”嗎？也不盡然，此題的第二問，是一個空間角中的二面角問題，絕大多數(shù)的學生都采用了建立坐標系，用向量解決空間二面角的問題。所以，這就是一個典型的思維定式的問題，學生依據(jù)經驗，認為證明線面關系多用“幾何法”，求空間角多用“向量法”，進而不深入思考就去套用，而不是通過分析問題，靈活處理，找尋最佳解決方法。

2. 定式型思維障礙的成因分析

定式型思維形成的原因是在課堂教學上，沒有真正觸發(fā)學生的思維活動，一些看似高效的課堂，其實只是教師傳授、板演，學生模仿、操練的過程，忽略了教學中最重要的環(huán)節(jié)：即讓學生學會思考分析問題。尤其是解題教學，要弱化甚至避免沒有分析的套路化解題，把“讓學生學會思考”作為解題教學的靈魂。通過變式、一題多解等方式，讓學生理解問題的本質，找到解題的突破口，進而歸納總結出解決問題的最佳方案，提高學生的思維能力。

例：設a>0，b>0，且1a+1b=1，求a+2b的最小值。

變式：設a>0，b>0，且12a+b+1b+1=1，求a+2b的最小值。

此例中，很多學生都會用a+2b=1a+1b（a+2b）=3+2ba+ab≥3+22求得，但如果只是記得“相乘”這個套路，到變式，兩式相乘就無法解決最值問題，就無從下手了。所以，還是要去分析“相乘”的意義在哪里？這個解題方法的本質是將1a+1b化為a+2ba+a+2bb這樣的“齊次式”，進而利用把ba當作整體的思想，達到消元的目的。經過分析，學生就可以嘗試對變式解法的探索：

解法1：化為齊次式的關鍵是次數(shù)相同，因此可以用換元的方法轉化成例題的形式。令2a+b=x，b+1=y，得到：b=y-1，a=12（x-y+1），且1x+1y=1，得：a+2b=12（x+3y-3）=12（x+3y）1x+1y-3=121+3yx+xy≥1+232。

當且僅當a=12+33，b=33時取等號。

解法2：利用消元思想

解：由12a+b+1b+1=1，可得a=b+1-b22b>0（b∈0，1+52），所以a+2b=3b2+12b+12≥3+12，當且僅當b=33時等號成立。

（三）“見山是山”型思維障礙

1. “見山是山”型思維障礙的特征及表現(xiàn)形式

數(shù)學是一門通過量化關系尋求邏輯關聯(lián)的學科，它通過從具體事物中抽象出數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，分析不同事物之間的內在本質聯(lián)系，從而找到解決問題的方法。然而，不少同學無法轉化思維，不會用數(shù)學邏輯去思考問題和解決問題，主要表現(xiàn)為：（1）同樣本質的題目只要換個方式，有些學生就不知道該如何作答。（2）對數(shù)學的各個知識點的掌握是單一的，孤立的，不能建立知識點之間的相互聯(lián)系和轉化。

例：已知直線l：x-y+1=0，若P為l上的動點，過點P作⊙C：（x-5）2+y2=9的切線PA，PB，切點為A，B，當｜PC｜·｜AB｜最小時，直線AB的方程為？

此題重點考查學生是否有數(shù)形結合的思想，能將線段PC和AB的乘積轉化為線段PC的長度，從而解決線段PC的最值問題。學生在卷面上反映出來的問題主要有：

問題1：沒有把動態(tài)的｜AB｜進行轉化的思想，直接求｜AB｜，未知數(shù)太多，不能解決最值問題；

問題2：沒有很好地建立知識點之間的聯(lián)系，不能聯(lián)想到利用面積S=12｜PC｜·｜AB｜=3｜PB｜=3｜PC｜2-9來實現(xiàn)變量之間的轉化，化多變量為單變量問題，從而求出最值。

2. “見山是山”型思維障礙的成因分析

此類型的思維障礙成因最為復雜，甚至有人認為能否把各個知識點的應用融會貫通，實現(xiàn)靈活轉化，取決于學生是否有數(shù)學天賦，也就是所謂的“悟性”。但事實上，很多理論與實踐研究表明，學習能力的差異性主要源于后天積累，其中學習方法是很重要的因素。數(shù)學學習不是建“空中樓閣”，它是建立在一定知識、技能基礎上的，學生要從一個知識點能聯(lián)想到另一個知識點，并實現(xiàn)兩者之間的轉化應用。首先，要有東西可“想”，這些東西就是學過的知識和方法。沒有強大的知識儲備，聯(lián)想就無法展開，造成思維受阻。因此，不能順利實現(xiàn)知識點間靈活轉化是因為學生對基礎知識不熟悉，對方法技能的不熟練。

此外，在教學中，如果對各個模塊的學習是分裂孤立的，不注重新舊知識之間的聯(lián)系，解題教學時就題論題，不去挖掘公式是否有多種形式，定理正逆兩方面是否都成立等更深入的問題，學生的學習也將只停留在“認知”階段，難以有思維的提升拓展。根據(jù)布魯納的認識發(fā)展理論，從學生已經建立的知識結構中找到最有效的認知和途徑來接受新知識，這樣舊的知識就得到不斷擴充，原有的知識結構得到重組，知識和能力的提升才能得到螺旋式上升。

三、 學生數(shù)學思維障礙的破解策略

（一）重理解：厘清數(shù)學知識的生成發(fā)展與邏輯結構

數(shù)學概念是學好高中數(shù)學的基石，其重要性不言而喻。因此，教師首先要重視數(shù)學概念的教學。簡單的知識羅列和記憶的方式，并不能使學生理解深刻定義，往往存在一知半解的現(xiàn)象，不能真正掌握概念。如何向學生揭示概念的本質？首先，知識的學習是循序漸進的，教師要讓學生先找到與新知有關的舊知，聯(lián)系已經掌握的知識去學習新的概念，從而讓學生掌握知識的基本規(guī)律，理解知識的內涵。

例如，高中必修1中《三角函數(shù)的定義》的教學，可以結合初中學過的三角函數(shù)的定義，兩者有聯(lián)系也有區(qū)別，在高中階段，我們把角的范圍擴充到全體實數(shù)，初中的定義已經不適用于實數(shù)范圍內的角了。教師應先讓學生感受到這種沖突，并試圖尋求突破，再通過初高中三角函數(shù)定義的聯(lián)系，逐漸找到新的定義。在教學中，以學生為主導，思考概念的形成過程，引導學生進行思維的聯(lián)系，逐步形成知識結構體系。

其次，結合一些具體的實例，通過類比、歸納等方法，由特殊到一般，從事實案例中抽象出概念性質，讓學生體會數(shù)學概念的生成發(fā)展過程，經歷歸納推理、演繹推理等過程，學生就會更易于理解和接受新的知識。例如，在學習《平面向量的概念》時，可以結合物理中的位移、功、力等，歸納它們共同的特點是既有大小又有方向，區(qū)別只有大小的數(shù)量，進而理解向量的概念。

（二）重推理：自覺養(yǎng)成用數(shù)學概念、性質解決問題，開展數(shù)學思維的習慣

數(shù)學概念和定義是中學數(shù)學的基石，通過建立完整的數(shù)學邏輯思維和框架，才能促進數(shù)學體系的建立。學生要通過對知識的梳理和分析，厘清知識之間的內部邏輯關系，做到對知識點的整合應用。在教學中，促使學生在分析問題和解決問題中引發(fā)自身的思考，不斷積累數(shù)學經驗，以此來提升學生的數(shù)學能力。

比較典型的是考試中的“信息給予題”，這是一種能力型題目，其背景新穎、構思巧妙，不僅能有效地考查考生的知識遷移能力，同時也能考查考生的自學能力、思維能力和繼續(xù)學習的潛在能力。解決這類問題，首先，要逐字逐句閱讀題干，理解發(fā)現(xiàn)信息。其次，要提煉信息，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。最后，要找出這些信息和相關規(guī)律，并與所學的相近知識進行整合，推理遷移舊知到新知，實現(xiàn)解決問題的目標。

（三）重方法：通過典型例題，學會數(shù)學思維方法

許多教師為了幫助學生掌握解題方法，傾向于直接分析解題過程，但無論是長篇大論地照本宣科，還是辛辛苦苦地板書講解，都不利于學生將思維方法內化為自己的能力，往往學生自己解題時還會遇到困難。筆者關注到數(shù)學學習優(yōu)秀的學生，往往源于他們長期積累的一些好的思維方式和習慣，這些促進了他們數(shù)學能力的提升。

首先，注重拓展，熱愛“刨根問底”。對知識不能只停留在“認知”階段，要思考公式的變形，逆定理是否成立等；對解題方法不能只停留在“理解”階段，要思考題目考查了什么知識，出題的意圖是什么；對章節(jié)內容的掌握不能只停留在“零散”狀態(tài)，要有全局觀，復習整理一整章學習的內容和方法，通過畫思維導圖等方式概括出知識點之間的聯(lián)系。

其次，注重聯(lián)系，善于相互轉化?？荚囍谐霈F(xiàn)的綜合性問題，往往不是只考查一個孤立單一的知識點，是幾個知識點的融合。例如：解析幾何中的最值問題，往往會先考慮數(shù)形結合，把最值轉化并化簡，常見的有把圓上的動點轉移到與圓心有關的量；兩條動線段之和（“將軍飲馬”模型）轉化成一直線等。但當幾何意義不能直接解決最值問題時，我們又會通過設坐標、列代數(shù)式、轉化成函數(shù)模型，利用函數(shù)單調性求最值的方法解題。因此，探索知識點之間的聯(lián)系，知識點與題目之間的聯(lián)系，以及解過的舊題與新的題目之間聯(lián)系，才能夠快速的轉化路徑，從而找到下一步的思維方向。

最后，注重發(fā)散，勇于大膽猜測。猜想是點燃創(chuàng)造性思維的火花，“觀察（實驗、分析）—猜想—證明”是數(shù)學乃至科學發(fā)展的重要途徑。要通過對所研究問題進行合情推理，提出猜想，再進行邏輯論證。推理時，優(yōu)秀的學生往往善于用特殊化、極限化、猜測、類比、舉反例等多種方式去尋求解題方向，這使得他們思維敏捷，能夠舉一反三，這也是學生創(chuàng)造力的體現(xiàn)。

（四）重歸納：做到一題一類一片，做好歸納整理，積累數(shù)學經驗

高考主要考查學生對基本知識、基本規(guī)律和方法的掌握程度，注重對知識的理解、歸納、整理與應用。想要讓學生在考場有思路、會靈活地分析和解決問題，不能靠“題海戰(zhàn)術”，更不能靠押題、猜題。教師要在數(shù)學解題過程中，通過對典型數(shù)學問題的解決進行深入分析，挖掘其中的數(shù)學價值，并盡可能地尋求較多的解題思路和方法，再通過適當變式訓練，講清一類問題的通法通解，概括一類問題的解決策略，并用“一題多解”等方式探究各個知識點的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，真正達到“解一題懂一類通一片”，以不變應萬變，真正提高解題思維與解題能力。

參考文獻：

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作者簡介：吳葉芳（1982～），女，漢族，浙江杭州人，浙江省杭州市蕭山第二高級中學，研究方向：高中數(shù)學教學。