摘" 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》新增了全概率公式和貝葉斯公式的內(nèi)容。兩個(gè)公式分別“由因?qū)Ч薄皥?zhí)果索因”，都是用簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算復(fù)雜事件的概率。從編排順序、問(wèn)題情境、知識(shí)闡述以及例題與習(xí)題等方面對(duì)現(xiàn)行7個(gè)版本高中數(shù)學(xué)教材中有關(guān)這兩個(gè)公式的內(nèi)容進(jìn)行分析比較，進(jìn)而提出相應(yīng)的教學(xué)建議：優(yōu)化引入公式的問(wèn)題情境，提供解決問(wèn)題的直觀模型，增加全概率公式的探究活動(dòng)，強(qiáng)化貝葉斯公式的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；全概率公式；貝葉斯公式；教材比較；概率思想

相比于之前的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，最新的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）中“概率與統(tǒng)計(jì)”主線的內(nèi)容要求發(fā)生了比較大的變化。特別是“隨機(jī)事件的概率”部分，增加了樣本點(diǎn)與樣本空間的概念，從而用集合語(yǔ)言闡明隨機(jī)事件及其關(guān)系和運(yùn)算，得到隨機(jī)事件概率的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則（包括互斥、不互斥時(shí)的加法公式和獨(dú)立、不獨(dú)立時(shí)的乘法公式等）。這樣處理凸顯了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)思想，也增強(qiáng)了知識(shí)體系的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。在此基礎(chǔ)上，還新增了全概率公式和貝葉斯公式的內(nèi)容，要求“結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率。了解貝葉斯公式”［1］。學(xué)習(xí)這兩個(gè)公式能幫助學(xué)生自然延伸、合理完善隨機(jī)事件概率的知識(shí)（運(yùn)算法則）體系。本文在簡(jiǎn)單分析這兩個(gè)公式的內(nèi)涵、關(guān)系及其背后思想的基礎(chǔ)上，對(duì)現(xiàn)行7個(gè)版本高中數(shù)學(xué)教材中有關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行分析比較，進(jìn)而提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、 知識(shí)分析

如下頁(yè)圖1，設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間，A1，A2，…，An是試驗(yàn)E的一組事件，滿足AiAj=（i，j=1，2，…，n；i≠j）且A1∪A2∪…∪An=Ω（即A1，A2，…，An為Ω的完備事件組），則對(duì)于任意事件BΩ，有P（B）=∑ni=1P（BAi）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai），這就是全概率公式。全概率公式的本質(zhì)是：先利用完備事件組分割事件B，再由概率的加法公式和乘法公式求得事件B的概率。在實(shí)際應(yīng)用中，完備事件組A1，A2，…，An是導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的各種可能原因（條件），所以P（Ai）（ｉ＝1，2，…，ｎ）稱(chēng)為先驗(yàn)概率（在試驗(yàn)前已知）；P（B）是事件B（作為試驗(yàn)結(jié)果）分別在這些原因下發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均，所以全概率公式是“由因?qū)Ч闭蛴?jì)算概率的公式，即利用先驗(yàn)概率計(jì)算試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率的公式。

圖1

顯然，還應(yīng)該有“執(zhí)果索因”逆向計(jì)算概率的公式，即在事件B發(fā)生的結(jié)果下，計(jì)算其是由各種可能原因（條件）A1，A2，…，An導(dǎo)致的概率。［2］這就是貝葉斯公式：P（Ai|B）=P（Ai）P（B|Ai）P（B）=P（Ai）P（B|Ai）∑nk=1P（Ak）P（B|Ak），i=1，2，…，n。自然，P（Ai|B）（ｉ＝1，2，…，ｎ）稱(chēng)為后驗(yàn)概率（在試驗(yàn)后推知），貝葉斯公式就是利用試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率計(jì)算后驗(yàn)概率的公式。

全概率公式和貝葉斯公式同為概率論中基礎(chǔ)而重要的公式，其基本思想都是用簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算復(fù)雜事件的概率，體現(xiàn)了“化整為零”與“化零為整”（即分解與綜合）以及化難為易的轉(zhuǎn)化思想。［3］通過(guò)兩個(gè)公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以體會(huì)利用研究對(duì)象的性質(zhì)探尋解決問(wèn)題的方法和將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

二、 教材比較

目前，根據(jù)新課標(biāo)編寫(xiě)的高中數(shù)學(xué)教材一共有7個(gè)版本，分別是人教A版、人教B版、北師大版、滬教版、蘇教版、湘教版和鄂教版?；谌怕使胶拓惾~斯公式的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和本質(zhì)一致，它們通常是被安排在一起教學(xué)的。下面，對(duì)這7個(gè)版本教材中有關(guān)這兩個(gè)公式的內(nèi)容進(jìn)行分析比較。

（一） 編排順序

一般地，數(shù)學(xué)教材要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯編排教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”，使教材具有內(nèi)容的連貫性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。［4］高中數(shù)學(xué)“隨機(jī)事件的概率”內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)及課程安排如圖2所示?？芍?，全概率公式和貝葉斯公式的建立是以隨機(jī)事件概率的加法公式和乘法公式為基礎(chǔ)的（乘法公式的建立要以條件概率為基礎(chǔ)——事件的獨(dú)立性是條件概率的特殊情況）。各版本教材基本上都按照這樣的邏輯結(jié)構(gòu)（順序）安排“隨機(jī)事件的概率”內(nèi)容，并且都將“條件概率（包括乘法公式）”內(nèi)容和“全概率公式”“貝葉斯公式”內(nèi)容安排在一節(jié)中。存在不同的是，人教A版、北師大版、鄂教版教材把“貝葉斯公式”內(nèi)容融合在“全概率公式”小節(jié)內(nèi)，人教B版、滬教版、蘇教版、湘教版教材則把“貝葉斯公式”內(nèi)容獨(dú)立于“全概率公式”小節(jié)后單獨(dú)作為一個(gè)小節(jié)。前者一氣呵成，突出了兩個(gè)公式的關(guān)聯(lián)；后者顯性處理，能引發(fā)師生對(duì)貝葉斯公式的關(guān)注。

（二） 問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)通常是在綜合化、復(fù)雜化的問(wèn)題情境中，通過(guò)學(xué)生與情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)生成的。“教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問(wèn)題是多樣的、多層次的。教學(xué)情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，每種情境可以分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的。數(shù)學(xué)問(wèn)題是指在情境中提出的問(wèn)題，分為簡(jiǎn)單問(wèn)題、較復(fù)雜問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題。”［5］

為了引入全概率公式，各版教材都注重選取體現(xiàn)時(shí)代發(fā)展、科技進(jìn)步和符合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的鮮活素材，創(chuàng)設(shè)合適的情境和問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考和交流，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的思維過(guò)程。各版教材中相關(guān)內(nèi)容的分析梳理如表1所示。

建立全概率公式的關(guān)鍵是選擇完備事件組。以人教A版教材為例，所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境如下：

從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1球，摸出的球不再放回，顯然，第1次摸到紅球的概率是aa+b，那么，第2次摸到紅球的概率是多少？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？

這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于，第2次摸球結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響，而第1次摸球的結(jié)果具有隨機(jī)性。但是，在已知第1次摸到紅球或藍(lán)球的條件下，就容易求得第2次摸到紅球的概率。因此，設(shè)Ri表示“第i次摸到紅球”，Bi表示“第i次摸到藍(lán)球”（i=1，2），利用第1次摸球的結(jié)果R1和B1，將“第2次摸到紅球”R2分解為兩個(gè)互斥事件的和事件，即R1R2∪B1R2，然后利用概率的加法公式和乘法公式，就可求得P（R2）。相比于利用古典概型的列舉法（樹(shù)形圖）求解，這樣計(jì)算思路更簡(jiǎn)潔、清晰，也更具一般性。將這個(gè)方法一般化，便得到全概率公式。

此外，各版教材在選擇例題時(shí)，同樣遵循了“情境真實(shí)且多樣化”的原則，力求既簡(jiǎn)單又典型。例如，人教A版例4（餐廳選擇概率）、例5（混合產(chǎn)品次品率）、例6（接受錯(cuò)誤信息概率）代表了不同的實(shí)際問(wèn)題情境，都是典型的應(yīng)用全概率公式的問(wèn)題，而且計(jì)算量較小。

（三） 知識(shí)闡述

為了促進(jìn)和提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，各版教材在對(duì)全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行解釋說(shuō)明時(shí)，都充分考慮了學(xué)生的心理體驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律，增強(qiáng)了內(nèi)容的可讀性和親和力；抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)，做到了“少而精”“簡(jiǎn)而明”。同時(shí)，各版教材又各有側(cè)重，有的強(qiáng)調(diào)“可視化”，有的突出“高觀點(diǎn)”……體現(xiàn)了鮮明的版本特色。例如，關(guān)于全概率公式，人教B版和湘教版教材給出了類(lèi)似圖1的直觀意義，說(shuō)明：已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai（i=1，2，…，n，且任意兩種情形均互斥），事件B發(fā)生的可能性就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和；滬教版教材則凝練地指出：全概率公式是說(shuō)一個(gè)事件發(fā)生的概率是其在不同條件下發(fā)生概率的加權(quán)平均。關(guān)于貝葉斯公式，人教A版教材在旁白中指出：貝葉斯公式用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系；滬教版教材借助旁白指出：貝葉斯公式誘導(dǎo)出一種統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)，也是哲學(xué)觀點(diǎn)，即事件的概率可以根據(jù)出現(xiàn)的新信息進(jìn)行修正。

（四） 例題與習(xí)題

例題與習(xí)題作為教材的重要組成部分，構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的訓(xùn)練系統(tǒng)，其選擇、布局、數(shù)量、設(shè)計(jì)等都影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。其中，習(xí)題包括小節(jié)后的“練習(xí)題”、大節(jié)后的“習(xí)題”和章末的“復(fù)習(xí)（參考）題”。

各版教材“全概率公式”內(nèi)容的例題與習(xí)題數(shù)量見(jiàn)表2。由此可知：（1） 從數(shù)量來(lái)看，各版教材配置的例題數(shù)量差不多，都是3—4道（含1道應(yīng)用貝葉斯公式的題目）；各版教材配置的習(xí)題數(shù)量不均衡，湘教版教材最多（16題），北師大版教材最少（5題）。（2） 從梯度來(lái)看，各版教材題目的設(shè)計(jì)富有層次性與發(fā)展性，體現(xiàn)了“以學(xué)生發(fā)展為本”“讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念。例如，人教B版教材將“練習(xí)題”拆分為A和B兩個(gè)層級(jí)，人教A版教材將“習(xí)題”和“復(fù)習(xí)參考題”都細(xì)分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”三個(gè)層級(jí)。（3） 從難度來(lái)看，部分教材例題和習(xí)題的難度較大，更加貼近評(píng)價(jià)試題，體現(xiàn)了“教—學(xué)—評(píng)”一體化的原則，改變了教材題目和評(píng)價(jià)試題差距懸殊、教考分離的痹癥。

此外，部分教材通過(guò)輔助性欄目介紹了貝葉斯公式在人工智能場(chǎng)景中的應(yīng)用，幫助學(xué)生“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，悟道理”，體現(xiàn)了文化性、思想性。

三、 教學(xué)建議

教師要在研究教材的基礎(chǔ)上教學(xué)，發(fā)揮自身的創(chuàng)造性，提升學(xué)情的針對(duì)性?；谏鲜鼋滩谋容^，對(duì)“全概率公式”內(nèi)容提出如下教學(xué)建議：

（一） 優(yōu)化引入公式的問(wèn)題情境

鑒于全概率公式、貝葉斯公式本身的抽象性，教師要通過(guò)豐富有趣又簡(jiǎn)單熟悉的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具體實(shí)例分析→共性特征歸納→本質(zhì)特征抽象”的完整過(guò)程，在具體背景的基礎(chǔ)上建立抽象知識(shí)，并體會(huì)這一過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。這對(duì)學(xué)生能否真正理解公式，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)能否正確選用公式起著關(guān)鍵作用。因此，建議教師在各版教材的基礎(chǔ)上進(jìn)一步精選背景素材，優(yōu)化問(wèn)題情境。例如，基于人教A版教材教學(xué)全概率公式之后，可以出示湘教版教材第120頁(yè)的問(wèn)題：“如圖3，甲盒里有3個(gè)黃球、2個(gè)藍(lán)球，乙盒里有4個(gè)黃球、1個(gè)藍(lán)球。某人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子并從中摸出一個(gè)黃球，若此人選擇甲盒或乙盒的概率相等，求這個(gè)黃球來(lái)自甲盒的概率。”這一問(wèn)題情境與之前引入全概率公式的問(wèn)題情境一脈相承，都是摸球試驗(yàn)，難易適中，有一定的熟悉度，有利于通過(guò)與之前問(wèn)題情境的對(duì)比，幫助學(xué)生理解全概率公式的“由因?qū)Ч彼枷肱c貝葉斯公式的“執(zhí)果索因”思想，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、一致性，促進(jìn)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體把握。

（二） 提供解決問(wèn)題的直觀模型

鑒于全概率公式、貝葉斯公式應(yīng)用的復(fù)雜性，教師在例題教學(xué)中要提供直觀的模型，如樹(shù)狀圖、列表、卡片實(shí)物以及隨機(jī)模擬等，幫助學(xué)生理解題意、分析事件的意義和概率之間的關(guān)系，從而分割事件，求解概率，解決問(wèn)題。例如，對(duì)人教A版例4的第（1）問(wèn)求混合產(chǎn)品的次品率，可以使用如圖4所示的結(jié)構(gòu)圖分析，使解題思路更清晰。

（三） 增加全概率公式的探究活動(dòng)

新課標(biāo)將“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”作為高中數(shù)學(xué)課程的四條主線之一。這條主線不僅能幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)技能，更能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式思考和實(shí)踐，是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體。各版教材編寫(xiě)時(shí)也對(duì)這條主線的設(shè)計(jì)進(jìn)行了積極的探索。例如，在與“全概率公式”有關(guān)的“概率與統(tǒng)計(jì)”章節(jié)中，人教A版教材設(shè)置了“探究與發(fā)現(xiàn)”專(zhuān)題，探討“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”；人教B版教材通過(guò)“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”欄目，讓學(xué)生“了解高考選考科目是否與性別有關(guān)”；蘇教版教材設(shè)置了“問(wèn)題與探究”欄目，討論“你的彩票被扔掉了嗎”。但是，具體到“全概率公式”內(nèi)容，教師在教學(xué)中還需要適當(dāng)增加探究活動(dòng)。例如，可以參考如下習(xí)題進(jìn)行設(shè)計(jì)：

（蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題8.1第12題）盒子里放著三張卡片，一張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都黑色，剩下的一張卡片一面是紅色一面是黑色。現(xiàn)在隨機(jī)抽出一張卡片，并展示它的一面的顏色。假設(shè)這一面的顏色是紅色，那么剩下的顏色也是紅色的概率是多少？

考察下面的解法：隨意從三張卡片中抽出一張，抽到任何一張都是等概率的。如果抽出的卡片有一面是紅色，那么這張卡片有可能是兩面全是紅色的那張，也可能是一面紅一面黑的那張，因此抽到的是兩面全紅的那張卡片的概率是12。

好像很簡(jiǎn)單，但請(qǐng)?jiān)贀Q個(gè)問(wèn)題研究一下：如果展示出來(lái)的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到兩面全是黑色的卡片的概率也是12。所以，不管我們看到的是什么顏色，抽到兩面同色的卡片的概率都是12。這意味著雖然三張卡片中只有兩張是同色的卡片，但隨機(jī)抽到其中任何一張的概率都是12。

肯定有什么地方出錯(cuò)了。請(qǐng)問(wèn)：上述解法中，哪里出現(xiàn)錯(cuò)誤了呢？

（四） 強(qiáng)化貝葉斯公式的教學(xué)

可能考慮到學(xué)生的可接受性，新課標(biāo)將貝葉斯公式列入選學(xué)內(nèi)容，不做考試要求。這直接導(dǎo)致貝葉斯公式在大部分學(xué)校倍受冷落，教學(xué)流于形式，甚至完全缺失。對(duì)此，建議有條件的學(xué)校盡量將貝葉斯公式列入必學(xué)內(nèi)容。理由如下：（1） 從課程內(nèi)容看，貝葉斯公式與全概率公式都是用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件，利用概率的性質(zhì)以及概率公式簡(jiǎn)化概率的計(jì)算，為選修課程中概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容奠基；兩個(gè)公式聯(lián)系緊密、思想一致、功能相近，教學(xué)中不應(yīng)厚此薄彼，區(qū)別對(duì)待。（2） 從認(rèn)知規(guī)律看，全概率公式是“由因?qū)Ч保惾~斯公式是“執(zhí)果索因”，充分的貝葉斯公式的教學(xué)便于學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式加以比較，發(fā)現(xiàn)二者之間的聯(lián)系與異同，深化對(duì)兩個(gè)公式的理解。（3） 從學(xué)科體系看，以貝葉斯公式為基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)展出了系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推理與決策方法——貝葉斯方法，成為概率與統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域利用所觀察到的現(xiàn)象對(duì)有關(guān)概率分布的主觀判斷（即先驗(yàn)概率）進(jìn)行修正的標(biāo)準(zhǔn)方法。當(dāng)今，貝葉斯方法在搜索引擎、語(yǔ)音識(shí)別、大數(shù)據(jù)處理、人工智能等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，是很多統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。（4） 從更高的視角來(lái)看，貝葉斯公式對(duì)數(shù)理哲學(xué)的發(fā)展也有著巨大的影響。［6］所以，貝葉斯公式不應(yīng)缺席高中概率與統(tǒng)計(jì)課程。具體教學(xué)中，可以結(jié)合典型的問(wèn)題情境，滲透貝葉斯公式的思想。例如，補(bǔ)充一則醫(yī)學(xué)實(shí)例，用圖形表示題目信息進(jìn)而求解，讓學(xué)生體會(huì)貝葉斯公式中各條件概率的實(shí)際意義，理解概率思想。具體內(nèi)容如下：

用驗(yàn)血的方式診斷某人是否感染了乙肝病毒，用A表示“被檢者感染了乙肝病毒”，B表示“被檢者驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性”，P（B|A）=0.99，P（B|A）=0.05。假設(shè)某一群體感染乙肝病毒的概率為0.5％，如果該群體中某人檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，他感染乙肝病毒的概率是多大？

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