? 安徽省合肥市第十一中學(xué) 詹步創(chuàng)

抽象函數(shù)問題是近年來高考命題的熱點,因為它既能反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,又能體現(xiàn)新課標(biāo)對數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)考查的要求.在對抽象函數(shù)性質(zhì)的考查中,特別是周期性問題比較隱蔽,很難把握,在學(xué)習(xí)中不少學(xué)生只見樹木,不見森林,很有畏難情緒,甚至部分教師在教學(xué)中也是蜻蜓點水,淺嘗輒止.本文中將周期性的深度學(xué)習(xí)分為“四個境界”,層層遞進(jìn),結(jié)合近年來高考試題對此進(jìn)行剖析,供讀者參考.

1 境界一:由周期性的定義及變式推出周期性

定義:對于f(x)定義域內(nèi)的每一個x,都存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一個周期,則kT(k∈Z,k≠0)也是f(x)的周期,所有周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期.

變式設(shè)a是非零常數(shù),若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任一自變量x有下列條件之一成立,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且2|a|是它的一個周期.

A.-3 B.-2 C.0 D.1

分析：本題考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等核心素養(yǎng).該題的關(guān)鍵是通過題目所給條件得出相應(yīng)的等式,進(jìn)而對等式迭代得出函數(shù)的周期性,靈活賦值及掌握變式是解決此類問題的關(guān)鍵.x,y是兩個未知量,對x,y其中一個進(jìn)行賦值,令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x),用“x+1”代換“x”得f(x+2)+f(x)=f(x+1),兩式聯(lián)立,求出周期性.

2 境界二:由函數(shù)的奇偶性、對稱性推出周期性

解決已知奇偶性和對稱性推出周期性的問題時,首先需要掌握對稱性的相關(guān)知識,可類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù).而對稱性包括直線對稱和點對稱,尤其是函數(shù)圖象關(guān)于點對稱的問題處理至關(guān)重要.

注：f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x).

注：f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x).

例2已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數(shù),f(2x+1)為奇函數(shù),則( ).(B)

C.f(2)=0 D.f(4)=0

分析：若f(x+a)為奇函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱;若f(x+a)為偶函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.函數(shù)f(x+a)的奇偶性問題等價于f(x)的對稱性問題,該題的本質(zhì)是f(x)的“一點、一直線”對稱性問題.

結(jié)論1：若f(x)的圖象同時關(guān)于直線x=a與x=b對稱,則f(x)為周期函數(shù),且T=2|a-b|(a≠b).

結(jié)論2：若f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)與點(b,0)中心對稱,則f(x)為周期函數(shù),且T=2|a-b|(a≠b).

結(jié)論3：若f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱,且關(guān)于直線x=b軸對稱,則f(x)為周期函數(shù),且T=4|a-b|(a≠b).

結(jié)論4：若f(x)的圖象關(guān)于點(a,c)中心對稱,關(guān)于直線x=b軸對稱,則f(x)為周期函數(shù),且T=4|a-b|(a≠b).

結(jié)論5：若f(x)是奇函數(shù),且圖象關(guān)于x=a軸對稱,則f(x)是周期函數(shù),周期為4|a|.

結(jié)論6：若f(x)是偶函數(shù),且圖象關(guān)于x=a軸對稱,則f(x)是周期函數(shù),周期為2|a|.

結(jié)論7：若f(x)是奇函數(shù),且圖象關(guān)于點(a,0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),周期為2|a|.

結(jié)論8：若f(x)是偶函數(shù),且圖象關(guān)于點(a,0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),周期為4|a|.

注：結(jié)論3可以理解為是結(jié)論4的推論,結(jié)論5～8可以理解為是結(jié)論1～3的推論.

3 境界三:由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性關(guān)系推出周期性

原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象有著密切的聯(lián)系,導(dǎo)函數(shù)圖象不僅可以反映原函數(shù)的變化率和單調(diào)性,還可以描述它們的對稱性關(guān)系.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

拓展:設(shè)函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R,則有以下結(jié)論成立.

結(jié)論9：若f(x)的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱,則f′(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱.

結(jié)論10：若f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱,則f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱.

結(jié)論11：若f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱,則f(x)的圖象關(guān)于點(a,f(a))中心對稱.

結(jié)論12：若f′(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱,則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱.

注：熟練掌握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)對稱性之間的關(guān)系是有利于解題的.

4 境界四:構(gòu)造三角函數(shù)模型推出周期性

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

分析：本題從函數(shù)f(x)的角度考慮較為繁瑣,由于題目所給的條件中,函數(shù)g(x)的相關(guān)要素較多,可以考慮將兩個等式中的f(x)消去,得到g(x)的表達(dá)式,借助于g(x)的對稱性求得函數(shù)g(x)的周期,再構(gòu)造三角函數(shù)解決問題.

5 總結(jié)

周期性的學(xué)習(xí)可以劃分為四個境界,每個境界都有其獨特的特點和層次.這些境界層層遞進(jìn),幫助學(xué)生逐步理解和掌握周期性的概念和性質(zhì).

在境界一中,學(xué)生需要理解周期性的基本定義,并學(xué)會通過變式推導(dǎo)出周期性.周期性指的是函數(shù)在一定規(guī)律下重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì).學(xué)生應(yīng)該能夠判斷一個函數(shù)是否具有周期性,并且能夠找到該函數(shù)的周期.通過學(xué)習(xí)境界一,學(xué)生可以建立對周期性的初步認(rèn)識.

境界二的重點是由函數(shù)的奇偶性和對稱性如何推出周期性.奇偶性和對稱性是函數(shù)的重要特征,通過分析函數(shù)的奇偶性和對稱性,可以判斷函數(shù)是否具有周期性.例如,如果一個函數(shù)是偶函數(shù),則它具有關(guān)于y軸的對稱性,從而可以推斷它是周期性函數(shù).學(xué)生需要學(xué)會運用奇偶性和對稱性的概念,以及相關(guān)的性質(zhì)和定理,來判斷函數(shù)的周期性.

境界三涉及由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的對稱性關(guān)系如何推出周期性.原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間存在一定的對稱性關(guān)系,通過研究這種對稱性關(guān)系,可以進(jìn)一步推導(dǎo)函數(shù)的周期性.例如,如果一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)具有某種對稱性,那么可以推斷該函數(shù)具有相應(yīng)的周期性.學(xué)生需要深入了解原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系,以及如何利用這種關(guān)系來判斷周期性.

在境界四中,學(xué)生將學(xué)習(xí)如何通過構(gòu)造三角函數(shù)模型來推出周期性.三角函數(shù)是一類常見的周期函數(shù),通過構(gòu)造三角函數(shù)模型,可以更直觀地描述和理解抽象函數(shù)的周期性特征.學(xué)生需要學(xué)會選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù),調(diào)整其參數(shù)和變量,以構(gòu)造出符合要求的周期函數(shù)模型.這樣的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生深入理解周期性的本質(zhì),并提高解決周期性問題的能力.

綜上所述,上述四個境界層層遞進(jìn),每個境界都有其獨特的特點和層次.通過逐步深入學(xué)習(xí),學(xué)生可以全面理解抽象函數(shù)的周期性,并培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和解決實際問題的能力.這種學(xué)習(xí)方法不僅有助于應(yīng)試考試,還能夠為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).因此,學(xué)生應(yīng)該注重在每個境界上的學(xué)習(xí),并逐步提升對周期性問題的理解和應(yīng)用能力.