胡貴喜

［摘? 要］ 踐行“立德樹(shù)人”的教育理念是當(dāng)前學(xué)科教育的大方向. 發(fā)揮例題資源的教育教學(xué)功能是優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要舉措. 實(shí)踐證明，拓展例題背景，可降低問(wèn)題的難度，豐富教學(xué)過(guò)程，有效提升思維的靈活性；變式拓展例題可揭露問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性；引申例題問(wèn)題可增加知識(shí)的寬度與廣度，提升學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

［關(guān)鍵詞］ 例題；拓展；思維品質(zhì)

高品質(zhì)的數(shù)學(xué)例題具有豐富的內(nèi)涵，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)有著重要價(jià)值. 數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中呈現(xiàn)出來(lái)的思維特征，它包含思維的靈活性、深刻性、廣闊性、批判性、創(chuàng)造性等. 教師若能有針對(duì)性地將一些例題進(jìn)行拓展與延伸，則可進(jìn)一步開(kāi)闊學(xué)生的視野，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

拓展例題背景，提升學(xué)生思維

的靈活性

數(shù)學(xué)是思維的體操. 教學(xué)中，我們常發(fā)現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象：學(xué)生在小學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不錯(cuò)，到初中階段之后明顯下滑，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因在于前期的數(shù)學(xué)教育重點(diǎn)關(guān)注了學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的掌握情況，忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生思維靈活度欠缺，只能機(jī)械地模仿，無(wú)法自主靈活地解決更多問(wèn)題.

現(xiàn)代教育心理學(xué)提出：思維是人類(lèi)認(rèn)知的核心組成部分，它的發(fā)展水平對(duì)學(xué)生的整個(gè)認(rèn)知體系具有重要影響，尤其是思維靈活性的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生的可持續(xù)性發(fā)展具有重要意義［1］. 究竟該如何借助例題拓展來(lái)靈活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？事實(shí)證明，拓展例題背景，往往能帶給學(xué)生耳目一新的感覺(jué)，或者帶領(lǐng)學(xué)生從不同的視角與途徑探尋同一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，也能增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性.

例1 ？搖如圖1，已知△ABC為一直角三角形，已知△ABE和△DBC均為直角三角形，∠B為直角，BE=3 m，AE=DC=5 m，求當(dāng)AD=EC時(shí)，AD=EC=_____m.

本題雖然難度不大，但比較枯燥，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的解題興趣. 為了提升學(xué)生思維的靈活性，針對(duì)本題筆者將問(wèn)題背景進(jìn)行了拓展，將原題進(jìn)行了如下改編：

如圖1，此為一根5 m長(zhǎng)的梯子斜靠在與地面垂直的墻壁上，已知梯子下端與墻腳距離為3 m，若梯子底端向墻壁相反方向滑動(dòng)的距離與頂端向下滑動(dòng)的距離相等，那么梯子究竟滑動(dòng)了多少米呢？

通過(guò)這個(gè)案例不難看出，在教學(xué)中拓展例題背景，一方面能將教學(xué)生活化，簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解；另一方面能幫助學(xué)生更好地提煉數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從生活的角度思考與分析問(wèn)題，提升思維的靈活度，為后續(xù)解決更多問(wèn)題奠定方法基礎(chǔ).

變式拓展例題，提升學(xué)生思維

的深刻性

例題的變式拓展在近年來(lái)應(yīng)用得較多，尤其是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出要讓人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，讓每個(gè)學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得不同程度的發(fā)展. 這一要求，讓教師更注重各個(gè)水平階層學(xué)生的思維發(fā)展程度. 例題的變式拓展一般是通過(guò)對(duì)問(wèn)題條件或結(jié)論的變換，但問(wèn)題的本質(zhì)卻不發(fā)生改變，變式的應(yīng)用為揭露知識(shí)本質(zhì)服務(wù).

變式拓展例題的主要目的就在于引導(dǎo)學(xué)生突破數(shù)學(xué)事物的表象，讓學(xué)生從全方位的視角來(lái)審視、觀察問(wèn)題，并從知識(shí)間的聯(lián)系與矛盾中建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)［2］. 因此，變式拓展的應(yīng)用從一定程度上可幫助學(xué)生消減思維惰性，增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性與廣闊性.

例2??如圖2，在△ABC中，已知∠B與∠C的角平分線相交于點(diǎn)O，∠A=100°，則∠BOC的度數(shù)是多少？

在學(xué)生順利解決此問(wèn)之后，為了進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生從根本上掌握這部分知識(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下變式：

變式1? 觀察圖2，在其他條件不變的情況下，求∠2+∠4的度數(shù)；

變式2? 結(jié)合圖2，在原題條件不變的情況下，說(shuō)說(shuō)∠BOC與∠2、∠4之間存在怎樣的關(guān)系？

變式3? 如圖2，在△ABC中，已知∠B與∠C的角平分線相交于點(diǎn)O，∠A=80°，則∠x(chóng)的度數(shù)是多少？

變式4? 如圖2，在△ABC中，已知∠B與∠C的角平分線相交于點(diǎn)O，∠A=y°，則x，y之間具有怎樣的聯(lián)系？

變式拓展引申出一個(gè)個(gè)類(lèi)似又有區(qū)別的問(wèn)題，這些問(wèn)題雖然呈現(xiàn)出來(lái)的形式各不一樣，但探索的知識(shí)本質(zhì)卻沒(méi)有發(fā)生變化. 隨著變式問(wèn)題的逐個(gè)突破，學(xué)生不僅在自我挑戰(zhàn)中獲得了學(xué)習(xí)的成就感，數(shù)學(xué)思維也隨著問(wèn)題的逐漸深入拾級(jí)而上，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性發(fā)展具有重要意義，也讓學(xué)生從教學(xué)中有所收獲.

鑒于不同認(rèn)知水平層次的學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受能力與理解能力有所差異，以上由淺入深的變式為學(xué)生的思維架起了橋梁，使得每個(gè)學(xué)生都從低起點(diǎn)開(kāi)始思考，并在問(wèn)題的逐漸深入中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì). 因此，變式拓展例題不僅具有揭露知識(shí)本質(zhì)，深化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要作用，還能從真正意義上促進(jìn)學(xué)生的差異化發(fā)展，這與新課標(biāo)對(duì)例題教學(xué)所提出的要求一致.

引申例題問(wèn)題，提升學(xué)生思維

的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)家波利亞提出，教學(xué)中，一個(gè)高質(zhì)量的問(wèn)題猶如野外生長(zhǎng)的蘑菇，它們都是成堆地在一起，當(dāng)你找到其中一個(gè)之后，極有可能在它的周?chē)l(fā)現(xiàn)更多個(gè)［3］. 例題教學(xué)通過(guò)對(duì)問(wèn)題的拓展可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生形成堅(jiān)忍的意志品質(zhì).

例題教學(xué)的問(wèn)題拓展一般是從一個(gè)基本問(wèn)題出發(fā)，借助聯(lián)想、類(lèi)比、一般或特殊的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的發(fā)展與變化情況，探尋出問(wèn)題本質(zhì)的同時(shí)形成創(chuàng)新思維. 值得注意的是在此過(guò)程中，應(yīng)注重克服思維定式的形成，只有帶領(lǐng)學(xué)生在變中求進(jìn)，在進(jìn)中求同，才能從真正意義上開(kāi)拓學(xué)生思維的創(chuàng)新空間.

如借助典型例題由淺入深地設(shè)計(jì)階梯式的問(wèn)題，可讓學(xué)生的思維經(jīng)歷由淺入深的變化過(guò)程，從而對(duì)知識(shí)形成深刻理解，為創(chuàng)新服務(wù).

原題：某港口位于東西向的海岸線，若甲乙兩艘輪船同時(shí)離開(kāi)港口，分別沿著固定方向航行. 甲船每小時(shí)能行駛16海里，乙船每小時(shí)能行駛12海里，在它們離開(kāi)港口1.5小時(shí)后，甲乙之間的距離是30海里，若明確甲船是向東北方向行駛的，那么乙船是朝向哪個(gè)方向行駛的呢？

在學(xué)生順利解決以上問(wèn)題后，為了進(jìn)一步提升學(xué)生思維的創(chuàng)造性，教師又提出如下幾個(gè)拓展性的問(wèn)題：

拓展一？搖 如圖3，乙船能向西南方向行駛嗎？

拓展二？搖 若甲船的航行方向?yàn)楸逼珫|50°，在其他條件不變的情況下，求乙船的航向.

拓展三？搖 已知甲、乙兩艘船停泊在某海域上，兩條船同時(shí)離開(kāi)停泊位置各自沿著一個(gè)固定方向行駛，已知甲船每小時(shí)可行駛16海里，乙船每小時(shí)可行駛12海里，1.5小時(shí)后，兩船之間的距離是30海里，若甲船是沿著北偏東60°的方向行駛，那么乙船的航行方向能確定嗎？

在原題的基礎(chǔ)上，第一個(gè)問(wèn)題拓展幅度小，與學(xué)生的思維水平相匹配，具有思維熱身的作用. 第二個(gè)問(wèn)題則在原題的基礎(chǔ)上增加了難度，這就需要學(xué)生積極開(kāi)動(dòng)腦筋，從多層次、多向性的交互思維中分析問(wèn)題. 拓展三則需要學(xué)生克服在解題過(guò)程中形成的思維定式，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，這也是促進(jìn)創(chuàng)新思維形成的根本.

拓展例題資源，提升學(xué)生的思維品質(zhì)還可以從其他方面實(shí)施，本文不再一一贅述. 綜上分析，不難看出充分利用好例題資源，并對(duì)其進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)不僅能豐富課堂教學(xué)，還能讓學(xué)生從多維度思考與分析問(wèn)題，促進(jìn)思維靈活性、深刻性、創(chuàng)造性的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］周奕連. 有效拓展數(shù)學(xué)例題資源［J］. 中學(xué)教學(xué)參考，2018（26）：20-21.

［2］張繼海. 初中數(shù)學(xué)教材中例題、習(xí)題的演變方法［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（23）：34-40.

［3］G·波利亞. 怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法［M］. 涂私，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.