孫鍇

［摘? 要］ 折疊是圖形變換的一種方式，圖形折疊中涉及了點(diǎn)、線段、圖形的一些特殊性質(zhì)，是幾何綜合題構(gòu)建的基礎(chǔ). 中考綜合題中常見(jiàn)幾何折疊，探究問(wèn)題特征，總結(jié)解題策略就顯得十分有必要. 文章挖掘幾何折疊的本質(zhì)，歸納解題策略，探究矩形背下的幾何折疊問(wèn)題.

［關(guān)鍵詞］ 圖形；折疊；線段；模型；矩形

問(wèn)題綜述

折疊是幾何變換的一種方式，以其為背景構(gòu)建的幾何問(wèn)題在中考中十分常見(jiàn)，問(wèn)題設(shè)計(jì)新穎，變化多樣，能夠全面考查學(xué)生的讀圖與分析能力.

幾何中的折疊問(wèn)題，本質(zhì)上就是對(duì)稱問(wèn)題，圖形折疊中隱含著全等，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等. 實(shí)際考查時(shí)常從綜合視角切入，涉及三角形全等及相似、四邊形的性質(zhì)定理、勾股定理等知識(shí)，同時(shí)隱含了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程、模型構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想. 探究解析需要立足折疊特性，把握知識(shí)關(guān)聯(lián)、合理使用幾何的方法技巧來(lái)構(gòu)建思路.

關(guān)于幾何折疊問(wèn)題，解題突破有如下三種策略，可根據(jù)題型特點(diǎn)靈活選用.

策略1：根據(jù)圖形折疊的知識(shí)本質(zhì)，折疊前后所得的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，可利用其幾何特性來(lái)構(gòu)建模型；

策略2：提取問(wèn)題中的特殊模型和特殊關(guān)系，如直角三角形、三角形相似等，靈活運(yùn)用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)來(lái)構(gòu)建線段關(guān)系；

策略3：把握知識(shí)關(guān)聯(lián)，結(jié)合問(wèn)題中的相關(guān)圖形性質(zhì)，如圓的性質(zhì)、四邊形性質(zhì)等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的幾何問(wèn)題.

問(wèn)題探究

幾何折疊問(wèn)題的類型較多，圖形結(jié)構(gòu)豐富多變，圖形的構(gòu)建背景不唯一，常見(jiàn)的有矩形、三角形、一般四邊形等. 設(shè)問(wèn)涉及線段關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)軌跡、分類討論模型等多種形式，下面結(jié)合實(shí)例探究矩形背景中的折疊問(wèn)題，總結(jié)方法.

1. 矩形折疊與線段比值

矩形折疊中的線段比值問(wèn)題，即以矩形為背景構(gòu)建幾何折疊，探尋其中的線段比值關(guān)系. 探究解析的核心是轉(zhuǎn)化構(gòu)建圖形中的線段關(guān)系，可提取其中的特殊模型，利用勾股定理、三角形相似的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化構(gòu)建.

解析? 由題干條件可知，將矩形ABCD對(duì)折，折痕為PQ，所以AP=BP=DQ=CQ，∠ADC=90°. 點(diǎn)F是線段AQ的中點(diǎn)，則DF=AF=QF.

設(shè)AP=BP=DQ=CQ=m，則AB=CD=2m. 由題意可知將∠C沿DE折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AQ的中點(diǎn)F處，所以DF=CD=2m，EF=CE，可推得DF=AF=QF=2m，設(shè)EF=CE=n.

解后評(píng)析? 上述為矩形折疊中的線段比值問(wèn)題，考查了軸對(duì)稱、矩形、勾股定理、直角三角形斜邊中線等相關(guān)知識(shí). 解題的關(guān)鍵是把握折疊過(guò)程，合理構(gòu)建模型，提取其中的特殊三角形，利用勾股定理來(lái)構(gòu)建線段關(guān)系，將線段比值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與線段參數(shù)相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行分析.

2. 矩形折疊與模型討論

矩形折疊與模型討論問(wèn)題，即以矩形為背景構(gòu)建動(dòng)態(tài)問(wèn)題，解析時(shí)需要討論其中的模型，如點(diǎn)位置模型、圖形形狀模型等. 問(wèn)題解析需要關(guān)注其中的動(dòng)態(tài)要素，設(shè)定條件，分類構(gòu)建模型，針對(duì)模型開(kāi)展討論分析.

例2？搖 如圖3，在矩形ABCD中，已知AB=10，AD=6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP. 作射線PE與邊AB交于點(diǎn)Q，當(dāng)QE=QB時(shí)，t=______.

解析? 本題目以矩形為背景構(gòu)建了動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)以及三角形折疊. 問(wèn)題分析等線段情形下動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)時(shí)間，需要討論點(diǎn)E的位置，分別構(gòu)建幾何模型討論.

情形1：當(dāng)點(diǎn)E在矩形ABCD的內(nèi)部時(shí)，如圖4所示. 四邊形ABCD為矩形，則AB∥CD，∠APD=∠BAP. 題目中將△ADP沿著AP翻折得到△AEP，其中AD=6，由折疊特性可推得∠APD=∠APE，∠D=∠AEP=90°，AD=AE=6，DP=EP=2t，所以∠BAP=∠APE，∠AEQ=90°，從而有QA=QP=PE+QE=2t+QE.

情形2：當(dāng)點(diǎn)E在矩形ABCD的外部時(shí)，如圖5所示. 可推知∠APQ=∠APD=∠PAQ，所以AQ=PQ. 因?yàn)镼E=PE－PQ=DP－PQ=2t－PQ=QB，所以BQ=2t－AQ=AB－AQ，則AB=2t=10，可解得t=5秒.

解后評(píng)析? 上述探究等線段條件下移動(dòng)時(shí)間t的值時(shí)，采用了數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法. 基于動(dòng)點(diǎn)E的位置來(lái)分別構(gòu)建模型，充分利用圖形折疊的相關(guān)知識(shí)，把握其等線段、等角條件展開(kāi)推導(dǎo). 整個(gè)過(guò)程全面考查了幾何相關(guān)知識(shí)，涉及矩形的性質(zhì)、幾何動(dòng)點(diǎn)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).

3. 矩形折疊中的路徑與面積

矩形折疊中的路徑與面積，即以矩形折疊為背景，探究其中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，以及由此生成的關(guān)聯(lián)圖形的面積. 問(wèn)題解析依然需要從圖形折疊出發(fā)，分析折疊前后點(diǎn)、線、圖形之間的關(guān)聯(lián)，再確定其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡，構(gòu)建最值模型求解.

例3？搖 如圖6所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG，CG，則三角形AGC的面積的最小值為_(kāi)_____.

解析? 本題目中以矩形折疊為背景，探究三角形的面積最小值，屬于幾何動(dòng)態(tài)面積問(wèn)題. 問(wèn)題解析需要關(guān)注圖形折疊后的位置，分析動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)范圍，再構(gòu)建模型開(kāi)展面積最值分析.

解后評(píng)析? 上述探究幾何折疊背景中的圖形面積最值時(shí)，把握?qǐng)D形折疊過(guò)程，確定點(diǎn)的位置關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建最值模型求解. 問(wèn)題解析的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，一是解析折疊，確定點(diǎn)的相關(guān)位置關(guān)系；二是轉(zhuǎn)化面積問(wèn)題，構(gòu)建△ACG面積最值與點(diǎn)G的位置.

4. 矩形折疊與坐標(biāo)函數(shù)

矩形折疊與坐標(biāo)函數(shù)，即在坐標(biāo)系中分析矩形折疊，坐標(biāo)系中的幾何折疊具有了“數(shù)”的特性，可結(jié)合函數(shù)曲線推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)坐標(biāo)求解線段長(zhǎng). 對(duì)于折疊中的幾何特性，可從幾何、代數(shù)兩大視角來(lái)進(jìn)行突破.

解析? 上述問(wèn)題中將矩形折疊與坐標(biāo)系相結(jié)合，求解反比例函數(shù)特征參數(shù)的值. 解析時(shí)要充分利用折疊特性來(lái)推導(dǎo)線段長(zhǎng)，充分利用相似特性及勾股定理構(gòu)建線段關(guān)系，解方程求k值.

解后評(píng)析? 上述探究坐標(biāo)系中的矩形折疊，折疊過(guò)程中的線段長(zhǎng)、點(diǎn)位置具有了“數(shù)”的特性，于是問(wèn)題解析時(shí)可利用函數(shù)解析式來(lái)求點(diǎn)坐標(biāo). 對(duì)于問(wèn)題中的線段推導(dǎo)，可以利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，另外還可以利用正切值求反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

教學(xué)建議

上述探究了矩形背景中的折疊問(wèn)題，深入挖掘了問(wèn)題知識(shí)背景及破解策略，并結(jié)合實(shí)例探究了四類常見(jiàn)題型. 下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出幾點(diǎn)建議.

建議1：透視幾何折疊，挖掘折疊本質(zhì)

圖形折疊是幾何運(yùn)動(dòng)的方式之一，開(kāi)展幾何折疊探究教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生透視折疊，深刻理解折疊. 因此，教學(xué)中要挖掘其知識(shí)本質(zhì)，可從兩大視角進(jìn)行：一是全等視角，即折疊前后的圖形為全等關(guān)系，如三角形全等；二是對(duì)稱視角，即圖形關(guān)于折痕對(duì)稱，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕平分. 教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生思考，結(jié)合圖形進(jìn)行論證. 可采用如下兩種方式：一是設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，結(jié)合矩形折疊的常見(jiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生口述折疊過(guò)程，提起其中的幾何性質(zhì)；二是拓展引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生思考折疊中的知識(shí)關(guān)聯(lián).

建議2：總結(jié)歸納問(wèn)題，形成解題策略

上述探究了矩形折疊常見(jiàn)的四類問(wèn)題，涉及了線段比值、模型討論、路徑與面積以及坐標(biāo)函數(shù). 問(wèn)題形式雖多樣，但其解題方法及構(gòu)建思路具有一定的關(guān)聯(lián)性，解題探究時(shí)要注意總結(jié)歸納，生成相應(yīng)的解題策略. 如提取問(wèn)題中的特殊圖形和特殊關(guān)系，基于全等、相似來(lái)構(gòu)建線段關(guān)系. 處理折疊中的面積問(wèn)題時(shí)，基于割補(bǔ)法將其轉(zhuǎn)化為特殊圖形的面積. 教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化訓(xùn)練，積累經(jīng)驗(yàn)，生成解題策略.