徐亞楠　孫丹丹

摘 要：問題解決教學是信息技術應用最廣泛的場景之一，而高中平面解析幾何是融合信息技術教學最多的主題，教師操作、師生互動是最常見的技術使用類型.未來信息技術與中學幾何教學的融合應更加關注初中學段，應重視信息技術在新授課場景中的應用，重視技術使用中學生的主體地位.

關鍵詞：信息技術；中學幾何；幾何教學；融合

促進信息技術與課程的融合是2022年義務教育數學課程標準的基本課程理念之一，教師應合理利用現代信息技術，設計生動的教學活動，提升學生的探究熱情，提高學生的信息素養(yǎng).信息技術包括通用信息技術，如PPT、視頻、在線學習平臺等，這種技術可用于各個學科的記錄、展示與不同學科之間的交流，也包括數學專用技術，如幾何畫板、GeoGebra、超級畫板、圖形計算器等，這類技術專用于數學教學及研究場景.數學專用信息技術可與數學課程深度融合，培養(yǎng)學生的數學思考，本文中的信息技術均指數學專用信息技術.

幾何是中學數學的重要內容之一，貫穿中學數學課程，有助于培養(yǎng)學生的空間觀念，增強學生的邏輯推理能力等.中學幾何的教學中涉及大量作圖以及對圖形的操作變換，這為信息技術與中學幾何教學的融合提供了巨大空間.區(qū)別于傳統(tǒng)教學，利用信息技術可對圖形進行拖拽等動態(tài)操作，動態(tài)的幾何環(huán)境更有利于學生探索發(fā)現新知識，為教師的教、學生的學創(chuàng)造了別樣的情境，蘊含獨特的教育潛力.已有研究探索了信息技術與中學幾何教學的融合，并給出了若干案例，本文將基于21世紀以來中國大陸的相關文獻刻畫信息技術與中學幾何教學的融合現狀，分析融合特點，以期未來以信息技術助力為幾何教學提供啟示.本文的中學幾何指初中學段“圖形與幾何”領域以及高中學段必修課程“幾何與代數”主題中的立體幾何初步、選擇性必修課程“幾何與代數”主題中的平面解析幾何.

1 文獻篩選

本文關注信息技術與中學幾何教學的融合現狀，為了得到聚焦該主題的代表性研究以進一步分析，本文選定了五種期刊：數學教育學報、數學通報、中學數學月刊、中國數學教育、數學之友.之所以選擇這五種期刊，首先是因為它們是數學教育領域認可度較高的專業(yè)期刊，另一個重要原因是它們設有信息技術與數學教學融合專欄，比較關注信息技術與數學教學的融合.

本文關注信息技術與中學幾何教學實踐的融合現狀，因此，首先在已檢索出的文獻中刪除只討論函數、概率與統(tǒng)計等與中學幾何無關的文獻，另外部分文獻主題是信息技術在中學教學的應用探索，其中包含某個或某幾個案例與中學幾何相關，這類文獻被保留；其次，篩除文獻側重點是教學理論探討而非教學實踐的文獻，篩除用信息技術探索問題解決方法而非利用信息技術教學的文獻；最后，共得文獻121篇，這些文獻在五種期刊的分布情況如表1所示.本文以案例為單位分析這些研究中信息技術與中學幾何教學的融合，其中討論信息技術與一個幾何主題教學融合的片段即視為一個案例，討論利用信息技術進行一個幾何問題解決教學的片段也視為一個案例，從121篇文獻中共提取出199個案例.本文采用內容分析法分析案例，綜合采用自上而下的推論式編碼及自下而上的歸納式編碼兩種方式建構類目.

2 融合特點

2.1 技術類型

在中國大陸使用比較頻繁的信息技術主要是幾何畫板、GeoGebra、超級畫板及圖形計算器，為分析在中學幾何教學中信息技術使用類型隨時間變化的趨勢，以8年為一個跨度，對199個案例中的技術類型進行匯總，具體結果如圖1所示.選8年為一個跨度首先是因為2008年是重要的時間節(jié)點，國家高度重視教育信息化，不僅舉辦了全國多媒體教育軟件大獎賽，還發(fā)布了多項文件，如《中央電化教育館、教育部基礎教育資源中心2008年工作要點》等，強調了教育信息化建設的重要性，促進信息技術與教育教學的深度融合，此外，以8年為跨度的信息技術類型的變化趨勢特征明顯，較能反映信息技術的使用趨勢.

圖1表明2008年后，除圖形計算器外，各類信息技術的使用明顯增加.圖形計算器在本世紀早期使用較多，此后呈下降趨勢.相對而言，幾何畫板的使用頻率一直較高，在近8年的使用率僅低于GeoGebra，超級畫板使用頻率相對較低.GeoGebra軟件的使用呈明顯上升趨勢，逐漸成為中小學乃至大學相關學科的師生進行教學及研究的主流平臺，尤其是2017年后，這可能與2019年人教版高中教科書明確使用GeoGebra進行相關信息技術探索有關，幾何畫板在中學使用較多可能也與教科書的倡導有關，如人教版初中教科書等.

2.2 融合場景

信息技術與中學幾何教學的融合場景主要有三種：新知講解、問題解決、課外拓展.其中，新知講解及問題解決針對課程標準之內的內容，課外拓展針對課程標準之外的內容.經統(tǒng)計，問題解決占比高達57.3%，新知講解占比29.6%，課外拓展占比13.1%.

信息技術融于新知講解的教學即在新知識的教學中，教師利用信息技術，通過對傳統(tǒng)教學進行改進或重構以求達到更優(yōu)的教學效果，常見于新知講授課型.例如，在講解平行線的性質時，傳統(tǒng)的教學手段是鼓勵學生通過畫、剪、疊、拼等操作活動探索平行線的性質，紙張不透明等現實原因往往導致教學效果較差，借助GeoGebra軟件，學生可通過拖動、復制等動態(tài)功能自主探索平行線的性質，促進新知理解.

除新知講解，問題解決也是信息技術的常見融合場景.信息技術融于問題解決的教學即在講解某些問題的求解過程時，信息技術可在啟發(fā)思路、闡明原理等方面扮演重要角色，常見于習題課課型.例如，在講解一個關于正方體截面面積最值的高考立體幾何題時，傳統(tǒng)教學后學生仍無法想象出具體截面情形，GeoGebra軟件能讓學生感受截面面積動態(tài)變化的過程，進而助力問題解決.在中學幾何教學中，教師最傾向在問題解決的教學中使用信息技術，這可能是由于問題求解本身是中學數學教學的重要組成部分，尤其涉及動點及參數等的相關問題較容易與信息技術結合.

除課程標準指定的課程內容，信息技術還用于拓展內容的教學中.課外拓展場景指借助信息技術展示課程標準之外的知識，以拓展知識面或增強對數學美的認識等，常見于拓展課課型.例如，借助GeoGebra軟件向學生展示多次扭曲的莫比烏斯帶、牟合方蓋等極具數學特色的圖形，讓學生直觀感受數學的獨特美.

2.3 融合主題

初中學段“圖形與幾何”領域可進一步分為圖形的性質、圖形的變化及圖形與坐標三個子領域，高中學段的幾何領域包括立體幾何初步、平面解析幾何兩個子領域.將199個案例按子領域分類匯總，并歸納各領域融合信息技術的典型主題，結果如表2所示.由表可知，74.4%的案例聚焦于高中學段，其中信息技術與中學幾何教學融合最多的主題是平面解析幾何，占比高達54.8%，這可能由于平面解析幾何多涉及動點或動直線.相對而言，初中的案例較少，占總案例數的25.6% ，其主要集中在圖形的性質領域.

2.4 使用主體

信息技術與數學教學融合的重要問題之一是誰使用信息技術，即技術的使用主體是教師還是學生.其中有38.2%案例未指明技術操作者，例如，在講解圓的一般方程時，作者指明可借助超級畫板設置三個滑動條來控制參數，從而動態(tài)演示方程參數對圓的影響，作者介紹了技術操作及效果，但并未考慮技術的使用主體.61.8%的案例明確指出了技術的使用主體是教師還是學生，并且考慮在利用信息技術教學過程中師生角色的不同，可以分為三種類型：教師操作—師生互動、學生操作—教師驅動、學生操作—自主探究.其中教師操作—師生互動占比最高，高達42.7%，學生操作—教師驅動占比12.6%，學生操作—自主探究占比6.5%，由此可見教師是目前信息技術的操作主體，學生動手操作的機會較少，原因之一可能是受以教師為中心的教學理念的影響，硬件不足也可能是重要制約因素.

“教師操作—師生互動”即在信息技術與中學幾何教學融合的過程中，教師對相關軟件進行操作，在操作過程中，教師就某些技術操作結果提出問題，學生思考回答.例如，在借助幾何畫板講解直線與圓的位置關系時，教師操作幾何畫板，畫出直線與圓，并拖動控制點，使直線與圓相離、相切及相交.當教師拖動控制點使直線與圓相切時，提問學生“此時，直線與圓的位置關系是什么呢？”“該如何判斷直線與圓的位置呢？”引導學生用嚴謹的數學語言描述直線與圓的位置關系.在這個過程中教師操作信息技術輔助講解，教師決定了進行什么樣的技術操作以及在何時進行怎樣的思考，問題常較為簡單，留給學生的思考時間也比較短，信息技術主要是以直觀演示配合教師講解.

“學生操作—教師驅動”即學生操作信息技術，學生何時進行何種技術操作由教師設定，技術操作在教師任務或問題的驅動下一步步推進.在學生操作過程的重要節(jié)點，教師會通過引導學生思考“為什么”來關聯技術操作及其中蘊含的數學本質，促進學生的數學理解.例如，教師指定學生使用TI圖形計算器探索雙曲線的定義時，先給出動點軌跡問題，學生操作TI圖形計算器得出動點軌跡是之前學過的橢圓，此時，教師拋出問題“為什么是橢圓”，學生結合操作中的圖形關系及橢圓定義解釋緣由，為下一步學習雙曲線定義打下基礎.緊接著，教師提出上述動點問題的變式，驅動學生操作TI圖形計算器發(fā)現此時動點軌跡為兩條不封閉且對稱的曲線，教師指明這就是雙曲線，并拋出問題“雙曲線是怎樣的點集”，學生通過不斷演示雙曲線的生成過程以及類比橢圓從而給出雙曲線的定義.在這個過程中主要由學生操作信息技術，教師則是有計劃地給出一系列操作任務，并在關鍵節(jié)點拋出問題引發(fā)學生的數學思考，教師拋出的問題一般是針對學生操作的結果提出，學生思考的結果又驅動后續(xù)的操作或學習.

“學生操作—自主探究”即學生操作信息技術并在信息技術提供的動態(tài)環(huán)境中進行自主探究活動以深化對知識的理解，教師以語言鼓勵或點評建議的方式參與其中，一般出現在數學實驗課中.例如，在探究拋物線焦點弦的相關問題時，由已得到拋物線焦點弦的性質，學生猜想該性質“是否可推廣到雙曲線或橢圓？”，學生操作幾何畫板進行自主檢驗、修正猜想，最終深化對該問題的認識.在此過程中學生操作信息技術并進行一系列自主探究活動，通過操作信息技術完成“類比猜想—動手實驗—檢驗猜想—改進猜想—證明猜想”的過程，教師在學生完成每個階段時及時鼓勵并點出學生探索的關鍵之處.在親自操作并探索的過程中，學生可以感受到數學知識的發(fā)現與發(fā)展過程.

3 啟示思考

重視初中學段信息技術與幾何教學的融合.研究發(fā)現已有大部分案例聚焦于高中學段，尤其圓錐曲線主題，而初中“圖形與幾何”領域融入信息技術的案例相對較少.事實上，初中階段學生的數學抽象、幾何直觀及空間觀念相對高中較弱，更需要直觀演示，且初中學生更樂于動手探究，信息技術可以提供操作實踐的動態(tài)環(huán)境，使抽象的數學知識以形象、生動的方式呈現出來，促使學生在做中學.許多初中學段的主題都適合與信息技術相結合，例如平行四邊形性質、圓周角定理、三角形全等及相似等.

重視信息技術與新授課的融合.目前，大部分案例討論了信息技術與習題教學的融合，信息技術與新授課的融合的案例相對較少.知識的深入理解是靈活應用的前提，教師要充分重視新知生成的過程，探求信息技術與該過程的結合點，促使學生在動手操作及數學思考的碰撞中激發(fā)數學學習的興趣，更好地理解和掌握知識.

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